Rambler's Top100Astronet    
  по текстам   по ключевым словам   в глоссарии   по сайтам   перевод   по каталогу
 

На первую страницу << 3.10. Основы небесной механики | Оглавление | 3.10.2. Параметры и аномалии >>

3.10.1. Законы Кеплера

Для определения системы координат необходимо сначала определить плоскость, затем в плоскости определить направление на выделенную точку. Тогда с единичным вектором $ \mathbf{i}$, направленным в эту точку, можно связать ось $ x$, с перпендикуляром к плоскости -- единичный вектор $ \mathbf{k}$ и ось $ z$; единичный вектор $ \mathbf{j}$ (ось $ y$ системы координат) определяется на основе векторного произведения так, чтобы система осей была правой ( $ {\mathbf{j}}={\mathbf{k}}\times {\mathbf{i}}$).

Рассмотрим вопрос, как в пространстве определить эту плоскость и оси, лежащие в плоскости.

В основе динамического метода определения системы координат лежат уравнения динамики -- и в первую очередь закон притяжения Ньютона. Согласно этому закону два тела с массами $ m_1$ и $ m_2$ притягиваются с силой $ Gm_1m_2/r^2$, где $ r$ -- расстояние между телами. Коэффициент $ G=6,673\cdot 10^{-11}\ \textrm{м}^3\textrm{кг}^{-1}\textrm{с}^{-2}$ называется постоянной тяготения. Если тела расположены в точках $ P_1$ и $ P_2$ с декартовыми координатами $ x_1,y_1,z_1$ и $ x_2,y_2,z_2$, соответственно, то движение тела с массой $ m_2$ описывается уравнениями:

$\displaystyle m_2{\overset{..}{x}}_2$ $\displaystyle =-Gm_1m_2\frac{x_2-x_1}{r^3},$    
$\displaystyle m_2{\overset{..}{y}}_2$ $\displaystyle =-Gm_1m_2\frac{y_2-y_1}{r^3},$ (30)
$\displaystyle m_2{\overset{..}{z}}_2$ $\displaystyle =-Gm_1m_2\frac{z_2-z_1}{r^3};$    

точками обозначено дифференцирование по времени: $ \overset{..}{x}_2=d^2x_2/dt^2$ и т.д. Под действием той же силы, но противоположного знака, тело с массой $ m_1$ движется согласно уравнениям:

$\displaystyle m_1{\overset{..}{x}}_1$ $\displaystyle =Gm_1m_2\frac{x_2-x_1}{r^3},$    
$\displaystyle m_1{\overset{..}{y}}_1$ $\displaystyle =Gm_1m_2\frac{y_2-y_1}{r^3},$ (31)
$\displaystyle m_1{\overset{..}{z}}_1$ $\displaystyle =Gm_1m_2\frac{z_2-z_1}{r^3}.$    

Введем обозначения: $ \xi=x_2-x_1$, $ \eta=y_2-y_1$, $ \zeta=z_2-z_1$, $ \mu=G(m_1+m_2)$. Вычитая из уравнений (3.28) уравнения (3.29), получим

$\displaystyle {\overset{..}{\xi}} +\mu\frac{\xi}{r^3}$ $\displaystyle =0,$ (32)
$\displaystyle {\overset{..}{\eta}} +\mu\frac{\eta}{r^3}$ $\displaystyle =0,$ (33)
$\displaystyle {\overset{..}{\zeta}} +\mu\frac{\zeta}{r^3}$ $\displaystyle =0.$ (34)

В уравнения (3.30-3.32) входят лишь относительные координаты двух точек, т.е. уравнения движения не зависят от положения начала системы координат. Умножая уравнение (3.30) на $ \eta$, а уравнение (3.31) на $ \xi$, и затем вычитая из первого уравнения второе, получим

$\displaystyle \eta {\overset{..}{\xi}} - \xi{\overset{..}{\eta}}=0
$

или

$\displaystyle \frac{d}{dt}(\eta\overset{.}{\xi}-\xi\overset{.}{\eta})=0.$ (3.35)

Из (3.33) следует, что величина в скобках не зависит от времени, т.е.

$\displaystyle \eta\overset{.}{\xi}-\xi\overset{.}{\eta}=A=\textrm{const}.$ (3.36)

Аналогичным образом из уравнений (3.31),(3.32) получим выражение:

$\displaystyle \zeta\overset{.}{\eta}-\overset{.}{\zeta} \eta=B=\textrm{const},$ (3.37)

а из (3.30) и (3.32):

$\displaystyle -\zeta\overset{.}{\xi}+\overset{.}{\zeta} \xi=C=\textrm{const}.$ (3.38)

Уравнения (3.34-3.36) называются интегралами площадей, а постоянные $ A,B,C$ -- постоянными площадей.

Умножая уравнение (3.34) на $ \zeta$, (3.35) -- на $ \xi$, (3.36) -- на $ \eta$ и складывая, находим, что

$\displaystyle A\zeta +B\xi +C\eta=0.$ (3.39)

Уравнение (3.37) -- это уравнение плоскости. Значит, два тела, движущиеся в пространстве под действием силы притяжения, всегда находятся в одной и той же плоскости; траектория тела 2 относительно тела 1 является плоской кривой и называется орбитой. Другими словами орбита одного тела относительно другого лежит в плоскости.

Расположим оси $ Ox,Oy$ системы координат, которую мы хотим определить в плоскости орбиты, а ось $ Oz$ будет перпендикулярна ей. Точку $ O$ (начало системы координат) совместим с телом с массой $ m_1$. Тогда уравнения движения (3.30-3.32) можно записать в виде:

$\displaystyle \overset{..}{\mathbf{r}}+\mu\frac{\mathbf{r}}{r^3}=0,$ (3.40)

где $ \mathbf{r}$ -- вектор, направленный от тела 1 к телу 2. Умножая векторно (3.38) на $ \mathbf{r}$ слева, получим

$\displaystyle \mathbf{r}\times \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=0,
$

так как $ \mathbf{r}\times\mathbf{r}=0$. Интегрируя, мы получим, что

$\displaystyle \mathbf{r}\times\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{h},$ (3.41)

где $ \mathbf{h}$--не зависящий от времени вектор. Вектор $ \mathbf{h}$ называется вектором углового момента, и согласно определению векторного произведения он перпендикулярен плоскости орбиты, в которой лежат и радиус-вектор $ \mathbf{r}$, и вектор скорости $ d\mathbf{r}/dt$. Уравнение (3.39) эквивалентно уравнению (3.37): постоянные $ A,B,C$ представляют собой проекции $ \mathbf{h}$ на оси инерциальной системы координат.

Умножим теперь уравнения (3.30-3.32) соответственно на $ 2\overset{.}{\xi}$, $ 2\overset{.}{\eta}$, $ 2\overset{.}{\zeta}$ и сложим. Координаты $ \xi,\eta,\zeta$ являются координатами тела 2 относительно тела 1. В результате получим следующее уравнение:

$\displaystyle 2\overset{.}{\xi}{\overset{..}{\xi}}+2\overset{.}{\eta}{\overset{..}{\eta}}+2\overset{.}{\zeta}{\overset{..}{\zeta}} =
-\frac{2\mu}{r^3}(\xi\overset{.}{\xi}+\eta\overset{.}{\eta}+\zeta\overset{.}{\zeta}).
$

Так как $ r^2=\xi^2+\eta^2+\zeta^2$, то имеем

$\displaystyle \xi\overset{.}{\xi}+\eta\overset{.}{\eta}+\zeta\overset{.}{\zeta} = r{\overset{.}{r}},
$

вследствие чего предыдущее уравнение примет вид

$\displaystyle \frac{d}{dt}({\overset{.}{\xi}}^2+{\overset{.}{\eta}}^2+{\overset{.}{\zeta}}^2) =
-\frac{2\mu}{r^2}{\overset{.}{r}}= \frac{d}{dt}\left(\frac{2\mu}{r}\right).
$

Интегрирование уравнения дает:

$\displaystyle V^2= \frac{2\mu}{r}+W,$ (3.42)

где $ V^2={\overset{.}{\xi}}^2+{\overset{.}{\eta}}^2+{\overset{.}{\zeta}}^2$ -- квадрат скорости тела 2, движущегося относительно тела 1. Произвольная постоянная $ W$ в уравнении (3.40) называется постоянной энергии. Она может быть величиной равной нулю, положительной или отрицательной. В небесной механике доказывается, что от величины постоянной энергии зависит тип орбиты тела: при $ W\lt 0$ орбита есть эллипс, при $ W=0$ -- парабола и при $ W\gt 0$ -- гипербола.

Так как орбита лежит в плоскости, и положение тела 2 относительно тела 1 определяется лишь координатами $ x,y$, то удобно для дальнейших вычислений ввести полярные координаты $ r,\theta$ (рис. 3.12), так что

$\displaystyle x$ $\displaystyle =r\cos\theta,$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle =r\sin\theta.$    

Рис. 3.12. Определение полярных координат

В полярной системе координат введем два единичных вектора $ \mathbf{i}_r,\mathbf{i}_{\theta}$, причем первый из них направлен вдоль $ \mathbf{r}$, а второй--перпендикулярен ему и направлен в сторону увеличения угла $ \theta$. Тогда

$\displaystyle \overset{.}{x}$ $\displaystyle =\frac{dx}{dt}=\overset{.}{r}\cos\theta -r\sin\theta \overset{.}{\theta},$    
$\displaystyle \overset{.}{y}$ $\displaystyle =\frac{dy}{dt}=\overset{.}{r}\sin\theta +r\cos\theta \overset{.}{\theta}$    

или в векторном виде

$\displaystyle \frac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{i}_r\overset{.}{r} +\mathbf{i}_{\theta}r\overset{.}{\theta}.$ (3.43)

Следовательно, в полярных координатах уравнение углового момента (3.39) имеет вид:

$\displaystyle \mathbf{i}_r r\times(\mathbf{i}_r\overset{.}{r}
+\mathbf{i}_{\theta}r\overset{.}{\theta})=\mathbf{h}
$

или

$\displaystyle \mathbf{i}_r\times\mathbf{i}_{\theta}r^2\overset{.}{\theta}=\mathbf{k}r^2\overset{.}{\theta}=\mathbf{k}h,
$

где $ \mathbf{k}$--единичный вектор, направленный вдоль вектора $ \mathbf{h}$ и, согласно нашему определению совпадающий с направлением оси $ Oz$. Значит,

$\displaystyle r^2\frac{d\theta}{dt}=h.$ (3.44)

Допустим, что в момент $ t$ тело 2 находилось на расстоянии $ r$ от тела 1, а через промежуток времени $ \Delta t$ переместилось на угол $ \Delta\theta$, причем расстояние стало равняться $ r+\Delta
r$. Считая, что промежуток времени $ \Delta t$ мал, можно считать дугу, по которой движется тело 2, прямой линией. Тогда площадь сектора, который образуют два радиус-вектора $ r$ и $ r+\Delta
r$, будет близок к площади треугольника, равной $ \frac{1}{2}r(r+\Delta r)\sin\Delta\theta$. Устремляя $ \Delta\theta$ к нулю и деля на промежуток времени $ \Delta
t\rightarrow 0$, находим, что площадь сектора, описываемая телом равна $ \frac{1}{2}r^2\frac{d\theta}{dt}$. Следовательно, на основе уравнения (3.42) можно утверждать, что за одинаковые промежутки времени радиус-вектор описывает равные площади, причем величина углового момента равна удвоенной площади сектора. Это -- второй закон Кеплера.

Запишем теперь уравнение (3.38) в полярных координатах. Так как производная $ \overset{.}{\mathbf{r}}$ уже найдена (3.41), то

$\displaystyle \overset{..}{\mathbf{r}}=\overset{..}{r} {\mathbf{i}}_r+\overset{.}{r}\frac{d{\mathbf{i}}_r}{dt}+ \frac{d(r\overset{.}{\theta})}{dt}{\mathbf{i}}_\theta+r\overset{.}{\theta}\frac{d{\mathbf{i}}_\theta}{dt}.$ (3.45)

Единичные векторы $ {\mathbf{i}}_r$, $ {\mathbf{i}}_{\theta}$ меняют направление со временем, поэтому меняются их проекции на оси $ x,y$. Следовательно, производные $ d{\mathbf{i}}_r/dt$, $ d{\mathbf{i}}_{\theta}/dt$ не равны нулю. Чтобы их вычислить, найдем производную единичного вектора $ {\mathbf{i}}_r$ по углу $ \theta$ (рис. 3.12). Так как

$\displaystyle {\mathbf{i}}_r={\mathbf{i}}\cos\theta+{\mathbf{j}}\sin\theta,
$

то,

$\displaystyle \frac{d{\mathbf{i}}_r}{d\theta} =-{\mathbf{i}}\sin\theta+{\mathbf{j}}\cos\theta={\mathbf{i}}_r(\theta+\frac{\pi}{2})={\mathbf{i}}_{\theta}.
$

Из последнего выражения находим

$\displaystyle \frac{d{\mathbf{i}}_r}{dt}= \frac{d{\mathbf{i}}_r}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}={\mathbf{i}}_{\theta}\overset{.}{\theta}.
$

Аналогичным образом найдем выражение для производной $ {d{\mathbf{i}}_\theta}/dt$:

$\displaystyle \frac{d{\mathbf{i}}_\theta}{d\theta} =-{\mathbf{i}}\cos\theta-{\mathbf{j}}\sin\theta=-{\mathbf{i}}_r, \quad \frac{d{\mathbf{i}}_\theta}{dt}=
\frac{d{\mathbf{i}}_\theta}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=-{\mathbf{i}}_r\overset{.}{\theta}.
$

Подставляя значения производных $ {d{\mathbf{i}}_r}/dt$, $ {d{\mathbf{i}}_\theta}/dt$ в уравнение (3.43) и приводя подобные члены, получим, что ускорение тела разлагается на две компоненты -- радиальную и нормальную составляющие:

$\displaystyle \overset{..}{\mathbf{r}}=(\overset{..}{r}-r\overset{.}{\theta}^2) {\mathbf{i}}_r+ (r\overset{..}{\theta}
+2\overset{.}{r}\overset{.}{\theta}) {\mathbf{i}}_\theta.
$

Так как второй член в скобках можно записать в виде:

$\displaystyle r\overset{..}{\theta} +2\overset{.}{r}\overset{.}{\theta} = \frac{1}{r}\frac{d}{dt}
\Bigl(r^2\frac{d\theta}{dt}\Bigr),
$

то из второго закона Кеплера (3.42) следует его равенство (нормальной составляющей ускорения) нулю.

Полагая, что $ {\mathbf{r}}={\mathbf{i}}_r r$, запишем уравнение (3.38) в полярных координатах в следующем виде:

$\displaystyle \overset{..}{r} - r \overset{.}{\theta}^2 =-\frac{\mu}{r^2}.$ (3.46)

Дифференциальные уравнения (3.42) и (3.44) описывают зависимость расстояния $ r$ одного тела относительно другого и угла $ \theta$ от времени. Для решения этих уравнений обычно исключают время из (3.44) с помощью (3.42). Для удобства введем параметр $ u$, так что

$\displaystyle u=\frac{1}{r}.
$

Тогда закон Кеплера (3.42) записывается в виде: $ \overset{.}{\theta}=hu^2$. Теперь выразим производную $ \overset{..}{r}$ через параметр $ u$. Для этого найдем сначала производную $ \overset{.}{r}$:

$\displaystyle \overset{.}{r}=\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{1}{u}\Bigr)=
-\frac{1}{u^2}\frac{du}{dt} =
-\frac{1}{u^2}\frac{du}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=-h\frac{du}{d\theta},
$

и, учитывая, что $ \overset{.}{r}$ является неявной функцией $ \theta$, $ h=\textrm{const}$, получим

$\displaystyle \overset{..}{r}=\frac{d}{dt}(\overset{.}{r}) = \frac{d\overset{.}{r}}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=-h^2u^2\frac{d^2u}{d\theta^2}.
$

После подстановки $ \overset{..}{r}$ в уравнение (3.44) найдем:

$\displaystyle -h^2u^2\frac{d^2u}{d\theta^2}-h^2u^3=-\mu u^2
$

или

$\displaystyle \frac{d^2u}{d\theta^2}+u=\frac{\mu}{h^2}.$ (3.47)

Решение дифференциального уравнения второго порядка (3.45) записывается в виде:

$\displaystyle u=\frac{\mu}{h^2} + A\cos(\theta-\omega),
$

где $ A$ и $ \omega$ -- две константы интегрирования. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что $ u$ является решением уравнения (3.45). Заменяя $ u$ на $ r$ и вводя новые параметры: $ p=h^2/\mu$, $ e=Ah^2/\mu$, находим уравнение траектории тела в полярных координатах:

$\displaystyle r=\frac{p}{1+e\cos(\theta-\omega)}.$ (3.48)

Уравнение (3.46) является уравнением конических сечений. Вид орбиты зависит от параметра $ e$ -- эксцентриситета орбиты. Если $ 0\leq e \lt 1$, то траектория является эллипсом, если $ e=1$, то -- параболой, если $ e\gt 1$, то -- гиперболой. Вид орбиты можно определить также по величине постоянной энергии в уравнении (3.40), которая зависит от скорости и радиуса-вектора тела. Поэтому удобно связать вид орбиты с начальными параметрами $ V_0$ и $ r_0$:

$\displaystyle \textrm{если}\ V_0^2\lt \frac{2\mu}{r_0},\ \textrm{то}\ W\lt 0\ \textrm{и}\ 0\leq e\lt 1\ \textrm{ - эллиптическая орбита},$    
$\displaystyle \textrm{если}\ V_0^2= \frac{2\mu}{r_0},\ \textrm{то}\ W=0\ \textrm{и}\ e=1\ \textrm{ - парабола},$ (49)
$\displaystyle \textrm{если}\ V_0^2\gt \frac{2\mu}{r_0},\ \textrm{то}\ W\gt 0\ \textrm{и}\ e\gt 1\ \textrm{ - гиперболическая орбита}.$    

Ограничимся сейчас случаем, когда $ 0\leq e \lt 1$. В этом случае уравнение (3.46) является математической формой первого закона Кеплера.

Если тело с массой $ m_1$ назвать Солнцем, другое тело -- планетой, то первый закон Кеплера формулируется следующим образом: планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Параметр $ p$ называется параметром эллипса и связан с большой полуосью $ a$ эллипса формулой: $ p=a(1-e^2)$. Малая полуось $ b$ может быть выражена через $ a$ и $ e$: $ b^2=a^2(1-e^2)$ (рис. 3.13). На рис. 3.13 Солнце находится в точке $ O$, планета -- в точке $ P$, ось $ OX$ направлена в точку восходящего узла орбиты, а ось $ Ox$ -- в точку орбиты, ближайшей к Солнцу, которая называется перигелием. Угол $ \omega$ называется долготой перигелия.

Рис. 3.13. Определение параметров эллипса

Если обозначить период обращения планеты $ P$ как $ T$, то согласно второму закону Кеплера за время $ T$ планета опишет полный эллипс, площадь которого равна $ \pi ab$. Отношение площади эллипса к периоду обращения равно половине углового момента планеты, т.е.

$\displaystyle \frac{\pi ab}{T}=\frac{h}{2}=\textrm{const}.
$

Следовательно

$\displaystyle 2\pi a^2\sqrt{1-e^2}=hT.$ (3.50)

Так как $ h^2/\mu=p=a(1-e^2)$, то $ h^2=\mu a(1-e^2)$. Исключая $ h$ из (3.48), находим:

$\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}.
$

Период обращения зависит только от суммы масс тел, так как $ \mu=G(m_1+m_2)$, и величины большой полуоси орбиты.

В случае, когда на тела 1 и 2 не действуют силы притяжения других тел (в небесной механике эта задача так и называется задачей двух тел), период обращения есть величина постоянная и может служить единицей времени. В начале XX века на основе наблюдений Солнца и Луны формировалась шкала эфемеридного времени (Ephemeris Time, ET). Так как из-за возмущений орбиты другими телами период обращения меняется, для построения шкалы ET необходимы были длительные наблюдения. Из-за сложности построения этой шкалы, а также из-за появления в середине 50-х годов XX века атомных стандартов частоты от шкалы времени, основанной на обращении Земли вокруг Солнца, пришлось отказаться. В настоящее время в основе счета времени лежит атомная шкала времени TAI, однако самой стабильной на больших интервалах времени может оказаться пульсарная шкала времени, причем пульсар является одной из звезд в двойной системе.

Обозначим через $ n$ среднюю скорость движения планеты:

$\displaystyle n=\frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}.$ (3.51)

В небесной механике параметр $ n$ называется средним движением. Если массу Солнца обозначить как $ M_\odot$, массу планеты -- как $ M_{P_1}$, причем период обращения и большая полуось равны $ T_1$ и $ a_1$, то

$\displaystyle G(M_\odot +M_{P_1}) =\frac{4\pi^2a_1^3}{T_1^2}=n_1^2a_1^3.$ (3.52)

Аналогичное уравнение можно написать для другой планеты с массой $ M_{P_2}$, периодом обращения $ T_2$ и большой полуосью $ a_1$:

$\displaystyle G(M_\odot +M_{P_2}) =\frac{4\pi^2a_2^3}{T_2^2}=n_2^2a_2^3.
$

Деля одно уравнение на другое, получим:

$\displaystyle \frac{G(M_\odot +M_{P_1})}{G(M_\odot +M_{P_2})}= \Bigl(\frac{a_1}{a_2}\Bigr)^3\Bigl(\frac{T_2}{T_1}\Bigr)^2 = \Bigl(\frac{a_1}{a_2}\Bigr)^3\Bigl(\frac{n_1}{n_2}\Bigr)^2.$ (3.53)

Уравнение (3.51) является математической записью третьего закона Кеплера. Так как для самой массивной планеты в солнечной системе -- Юпитера отношение $ M_P/M_\odot$ $ \sim 10^{-3}$, то величина в левой части (3.51) отличается от единицы в третьем знаке. Следовательно, с точностью до $ 10^{-3}$ имеем

$\displaystyle \Bigl(\frac{a_1}{a_2}\Bigr)^3=\Bigl(\frac{T_1}{T_2}\Bigr)^2.$ (3.54)

Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы их больших полуосей. Определяя большую полуось $ a_1$ для Земли как 1 астрономическую единицу (1 а.е.) (это -- неправильное определение астрономической единицы; см. главу 8) и $ T_1$ как 1 год, то, измеряя период обращения какой либо планеты (в годах), можно записать третий закон Кеплера в форме:

$\displaystyle a^3=T^2,
$

где $ a,T$ -- большая полуось и период обращения любой планеты. Таким образом третий закон Кеплера устанавливает лишь относительные размеры орбит планет. Чтобы установить истинные размеры в солнечной системе необходимо знать величину 1 а.е. в метрах. В начале XX века для этого использовались наблюдения Солнца и вычислялась величина солнечного параллакса (см. раздел 6.3.2). Затем на смену оптическим наблюдениям пришли более точные методы радиолокации планет, что позволило определить значение 1 а.е. с ошибкой в несколько метров.



<< 3.10. Основы небесной механики | Оглавление | 3.10.2. Параметры и аномалии >>

Публикации с ключевыми словами: астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени
Публикации со словами: астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени
См. также:
Все публикации на ту же тему >>

Мнения читателей [13]
Оценка: 3.5 [голосов: 299]
 
О рейтинге
Версия для печати Распечатать

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце


Астронет | Научная сеть | ГАИШ МГУ | Поиск по МГУ | О проекте | Авторам

Комментарии, вопросы? Пишите: info@astronet.ru или сюда

Rambler's Top100 Яндекс цитирования