Rambler's Top100Astronet    
  по текстам   по ключевым словам   в глоссарии   по сайтам   перевод   по каталогу
 

На первую страницу << 3.9. Эпоха каталога, эпоха | Оглавление | 4. Системы координат на >>

Разделы


3.10. Основы небесной механики

При определении динамических шкал времени, рассматриваемых в главе 5, нам потребуется знание основных законов небесной механики.

3.10.1. Законы Кеплера

Для определения системы координат необходимо сначала определить плоскость, затем в плоскости определить направление на выделенную точку. Тогда с единичным вектором , направленным в эту точку, можно связать ось , с перпендикуляром к плоскости - единичный вектор и ось ; единичный вектор (ось системы координат) определяется на основе векторного произведения так, чтобы система осей была правой ( ).

Рассмотрим вопрос, как в пространстве определить эту плоскость и оси, лежащие в плоскости.

В основе динамического метода определения системы координат лежат уравнения динамики - и в первую очередь закон притяжения Ньютона. Согласно этому закону два тела с массами и притягиваются с силой , где - расстояние между телами. Коэффициент называется постоянной тяготения. Если тела расположены в точках и с декартовыми координатами и , соответственно, то движение тела с массой описывается уравнениями:

   
(3.30)
   

точками обозначено дифференцирование по времени: и т.д. Под действием той же силы, но противоположного знака, тело с массой движется согласно уравнениям:

   
(3.31)
   

Введем обозначения: , , , . Вычитая из уравнений (3.28) уравнения (3.29), получим

(3.32)
(3.33)
(3.34)

В уравнения (3.30-3.32) входят лишь относительные координаты двух точек, т.е. уравнения движения не зависят от положения начала системы координат. Умножая уравнение (3.30) на , а уравнение (3.31) на , и затем вычитая из первого уравнения второе, получим

или

(3.35)

Из (3.33) следует, что величина в скобках не зависит от времени, т.е.

(3.36)

Аналогичным образом из уравнений (3.31),(3.32) получим выражение:

(3.37)

а из (3.30) и (3.32):

(3.38)

Уравнения (3.34-3.36) называются интегралами площадей, а постоянные - постоянными площадей.

Умножая уравнение (3.34) на , (3.35) - на , (3.36) - на и складывая, находим, что

(3.39)

Уравнение (3.37) - это уравнение плоскости. Значит, два тела, движущиеся в пространстве под действием силы притяжения, всегда находятся в одной и той же плоскости; траектория тела 2 относительно тела 1 является плоской кривой и называется орбитой. Другими словами орбита одного тела относительно другого лежит в плоскости.

Расположим оси системы координат, которую мы хотим определить в плоскости орбиты, а ось будет перпендикулярна ей. Точку (начало системы координат) совместим с телом с массой . Тогда уравнения движения (3.30-3.32) можно записать в виде:

(3.40)

где - вектор, направленный от тела 1 к телу 2. Умножая векторно (3.38) на слева, получим

так как . Интегрируя, мы получим, что

(3.41)

где -не зависящий от времени вектор. Вектор называется вектором углового момента, и согласно определению векторного произведения он перпендикулярен плоскости орбиты, в которой лежат и радиус-вектор , и вектор скорости . Уравнение (3.39) эквивалентно уравнению (3.37): постоянные представляют собой проекции на оси инерциальной системы координат.

Умножим теперь уравнения (3.30-3.32) соответственно на , , и сложим. Координаты являются координатами тела 2 относительно тела 1. В результате получим следующее уравнение:

Так как , то имеем

вследствие чего предыдущее уравнение примет вид

Интегрирование уравнения дает:

(3.42)

где - квадрат скорости тела 2, движущегося относительно тела 1. Произвольная постоянная в уравнении (3.40) называется постоянной энергии. Она может быть величиной равной нулю, положительной или отрицательной. В небесной механике доказывается, что от величины постоянной энергии зависит тип орбиты тела: при орбита есть эллипс, при - парабола и при - гипербола.

Так как орбита лежит в плоскости, и положение тела 2 относительно тела 1 определяется лишь координатами , то удобно для дальнейших вычислений ввести полярные координаты (рис. 3.12), так что

   
   

70mm

Рис. 3.12. Определение полярных координат

В полярной системе координат введем два единичных вектора , причем первый из них направлен вдоль , а второй-перпендикулярен ему и направлен в сторону увеличения угла . Тогда

   
   

или в векторном виде

(3.43)

Следовательно, в полярных координатах уравнение углового момента (3.39) имеет вид:

или

где -единичный вектор, направленный вдоль вектора и, согласно нашему определению совпадающий с направлением оси . Значит,

(3.44)

Допустим, что в момент тело 2 находилось на расстоянии от тела 1, а через промежуток времени переместилось на угол , причем расстояние стало равняться . Считая, что промежуток времени мал, можно считать дугу, по которой движется тело 2, прямой линией. Тогда площадь сектора, который образуют два радиус-вектора и , будет близок к площади треугольника, равной . Устремляя к нулю и деля на промежуток времени , находим, что площадь сектора, описываемая телом равна . Следовательно, на основе уравнения (3.42) можно утверждать, что за одинаковые промежутки времени радиус-вектор описывает равные площади, причем величина углового момента равна удвоенной площади сектора. Это - второй закон Кеплера.

Запишем теперь уравнение (3.38) в полярных координатах. Так как производная уже найдена (3.41), то

(3.45)

Единичные векторы , меняют направление со временем, поэтому меняются их проекции на оси . Следовательно, производные , не равны нулю. Чтобы их вычислить, найдем производную единичного вектора по углу (рис. 3.12). Так как

то,

Из последнего выражения находим

Аналогичным образом найдем выражение для производной :

Подставляя значения производных , в уравнение (3.43) и приводя подобные члены, получим, что ускорение тела разлагается на две компоненты - радиальную и нормальную составляющие:

Так как второй член в скобках можно записать в виде:

то из второго закона Кеплера (3.42) следует его равенство (нормальной составляющей ускорения) нулю.

Полагая, что , запишем уравнение (3.38) в полярных координатах в следующем виде:

(3.46)

Дифференциальные уравнения (3.42) и (3.44) описывают зависимость расстояния одного тела относительно другого и угла от времени. Для решения этих уравнений обычно исключают время из (3.44) с помощью (3.42). Для удобства введем параметр , так что

Тогда закон Кеплера (3.42) записывается в виде: . Теперь выразим производную через параметр . Для этого найдем сначала производную :

и, учитывая, что является неявной функцией , , получим

После подстановки в уравнение (3.44) найдем:

или

(3.47)

Решение дифференциального уравнения второго порядка (3.45) записывается в виде:

где и - две константы интегрирования. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что является решением уравнения (3.45). Заменяя на и вводя новые параметры: , , находим уравнение траектории тела в полярных координатах:

(3.48)

Уравнение (3.46) является уравнением конических сечений. Вид орбиты зависит от параметра - эксцентриситета орбиты. Если , то траектория является эллипсом, если , то - параболой, если , то - гиперболой. Вид орбиты можно определить также по величине постоянной энергии в уравнении (3.40), которая зависит от скорости и радиуса-вектора тела. Поэтому удобно связать вид орбиты с начальными параметрами и :

   
(3.49)
   

Ограничимся сейчас случаем, когда . В этом случае уравнение (3.46) является математической формой первого закона Кеплера.

Если тело с массой назвать Солнцем, другое тело - планетой, то первый закон Кеплера формулируется следующим образом: планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Параметр называется параметром эллипса и связан с большой полуосью эллипса формулой: . Малая полуось может быть выражена через и : (рис. 3.13). На рис. 3.13 Солнце находится в точке , планета - в точке , ось направлена в точку восходящего узла орбиты, а ось - в точку орбиты, ближайшей к Солнцу, которая называется перигелием. Угол называется долготой перигелия.

Рис. 3.13. Определение параметров эллипса

Если обозначить период обращения планеты как , то согласно второму закону Кеплера за время планета опишет полный эллипс, площадь которого равна . Отношение площади эллипса к периоду обращения равно половине углового момента планеты, т.е.

Следовательно

(3.50)

Так как , то . Исключая из (3.48), находим:

Период обращения зависит только от суммы масс тел, так как , и величины большой полуоси орбиты.

В случае, когда на тела 1 и 2 не действуют силы притяжения других тел (в небесной механике эта задача так и называется задачей двух тел), период обращения есть величина постоянная и может служить единицей времени. В начале XX века на основе наблюдений Солнца и Луны формировалась шкала эфемеридного времени (Ephemeris Time, ET). Так как из-за возмущений орбиты другими телами период обращения меняется, для построения шкалы ET необходимы были длительные наблюдения. Из-за сложности построения этой шкалы, а также из-за появления в середине 50-х годов XX века атомных стандартов частоты от шкалы времени, основанной на обращении Земли вокруг Солнца, пришлось отказаться. В настоящее время в основе счета времени лежит атомная шкала времени TAI, однако самой стабильной на больших интервалах времени может оказаться пульсарная шкала времени, причем пульсар является одной из звезд в двойной системе.

Обозначим через среднюю скорость движения планеты:

(3.51)

В небесной механике параметр называется средним движением. Если массу Солнца обозначить как , массу планеты - как , причем период обращения и большая полуось равны и , то

(3.52)

Аналогичное уравнение можно написать для другой планеты с массой , периодом обращения и большой полуосью :

Деля одно уравнение на другое, получим:

(3.53)

Уравнение (3.51) является математической записью третьего закона Кеплера. Так как для самой массивной планеты в солнечной системе - Юпитера отношение , то величина в левой части (3.51) отличается от единицы в третьем знаке. Следовательно, с точностью до имеем

(3.54)

Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы их больших полуосей. Определяя большую полуось для Земли как 1 астрономическую единицу (1 а.е.) (это - неправильное определение астрономической единицы; см. главу 9) и как 1 год, то, измеряя период обращения какой либо планеты (в годах), можно записать третий закон Кеплера в форме:

где - большая полуось и период обращения любой планеты. Таким образом третий закон Кеплера устанавливает лишь относительные размеры орбит планет. Чтобы установить истинные размеры в солнечной системе необходимо знать величину 1 а.е. в метрах. В начале XX века для этого использовались наблюдения Солнца и вычислялась величина солнечного параллакса (см. стр. ). Затем на смену оптическим наблюдениям пришли более точные методы радиолокации планет, что позволило определить значение 1 а.е. с ошибкой в несколько метров.


3.10.2. Параметры и аномалии кеплеровской орбиты

При рассмотрении движения планет можно ограничиться только случаем эллиптического движения. Орбита планеты в этом случае характеризуется шестью параметрами.

Определим систему координат , связанную с орбитой планеты. Точка орбиты, ближайшая к Солнцу, называется перигелием, а наиболее удаленная от Солнца - афелием. Ось направим в перигелий, ось - перпендикулярно плоскости орбиты. Точки пересечения плоскости орбиты планеты и эклиптики называются узлами орбиты, причем восходящим узлом называется тот, который планета проходит, переходя из области отрицательных широт в область положительных широт. Графическое представление и параметры кеплеровской орбиты показаны на рис. 3.14.

Рис. 3.14. Определение параметров эллиптической орбиты

Ориентация орбиты в пространстве (ориентация системы координат относительно гелиоцентрической системы ) описывается тремя углами. Угол между направлением на точку весеннего равноденствия и точку восходящего узла называется долготой восходящего узла и обозначается . Двугранный угол между плоскостями орбиты и эклиптики называется наклонением орбиты и обозначается как . Третьим углом, который обозначается и называется аргументом перигелия, является угол между направлениями на восходящий узел и перигелий. Так как угол постоянен, то это означает неизменность положения оси и в плоскости орбиты, и в пространстве.

Следующие два параметра: большая полуось и эксцентриситет определяют размеры и форму орбиты. И, наконец, положение тела на орбите в начальный момент определяется эпохой прохождения через перигелий - .

Мгновенное положение планеты на момент определяется углом , который называется истинной аномалией (рис. 3.15).

Рис. 3.15. Определение аномалий кеплеровской орбиты

Помимо истинной аномалии в небесной механике используются эксцентрическая и средняя аномалии. Построим окружность радиуса , равным большой полуоси эллипса, с центром, который совпадает с центром эллипса . Опустим перпендикуляр на ось ; тогда его продолжение пересечет окружность в точке . Угол называется эксцентрической аномалией. Угол, равный средней аномалии, определяется средним движением и равен

(3.55)

Часто в небесной механике и астрометрии используется величина, определяемая формулой

(3.56)

и называемая средней долготой, где - долгота перигелия.

Так как движение планеты при кеплеровском движении происходит в плоскости, то положение планеты определяется проекциями радиус-вектора , которые равны . Проекция на ось равна нулю: . Из рис. 3.15 очевидно, что

(3.57)

Также, используя рис. 3.15, находим, что

Далее, с одной стороны,

с другой стороны, используя свойства эллипса, имеем

Следовательно, соотношение (3.55) можно переписать в виде:

(3.58)

Так как , из (3.56) и (3.46) находим:

(3.59)

Из выражений (3.56), (3.57) и формулы тангенса половинного угла получим выражение, связывающее истинную и эксцентрическую аномалии:

(3.60)

Углы и зависят от времени. Дифференцируя уравнение (3.58) по времени, найдем, что

После несложных преобразований выразим через :

(3.61)

Теперь вернемся к уравнению (3.42). Так как , то уравнение (3.42) можно переписать в виде:

(3.62)

Заменяя выражением (3.57), - на (3.59) и на , получим:

Интегрируя

получим трансцендентное уравнение, связывающее эксцентрическую и среднюю аномалии, которое называется уравнением Кеплера:

(3.63)

где есть постоянная интегрирования - момент прохождения через перигелий.

Найдем теперь вектор скорости . Заметим, что . Вектор скорости лежит в плоскости орбиты, следовательно, его проекция на ось равна нулю. Из (3.56) находим проекции :

(3.64)

и квадрат скорости

(3.65)

Дифференцируя по времени вектор скорости (3.62) и учитывая, что , найдем вектор ускорения тела при движении по кеплеровской орбите, который также лежит в плоскости орбиты:

(3.66)

Для вычисления прямоугольных координат и проекций скорости тела в гелиоцентрической системе координат достаточно найти матрицу поворота системы . Если матрица известна, то преобразование записывается в виде матричных уравнений:

(3.67)

Матрица вычисляется следующим образом (см. рис. 3.14): сначала выполняем поворот относительно оси на угол до совмещения оси с линией узлов, затем - поворот относительно линии узлов на угол и, наконец, поворот относительно оси на угол :

   
(3.68)

Если элементы орбиты тела известны, то его положение и скорость в эклиптической системе координат в любой момент времени определяются следующей последовательностью вычислений: 1) сначала находится средняя аномалия по формуле (3.53); 2) решая уравнение Кеплера (3.61), находим эксцентрическую аномалию ; 3) зная , получим радиус-вектор тела  (3.57) и его проекции в орбитальной системе координат (3.56); 4) и, используя уравнения (3.65) и матрицу (3.66), получим прямоугольные эклиптические координаты и проекции скорости тела.

Если эксцентриситет орбиты мал, то удобным методом решения уравнения Кеплера является метод итераций. На первом шаге предполагается, что . Тогда процесс итераций

можно остановить, когда разность станет меньше некоторого заранее заданного числа. Ограничимся сейчас тремя итерациями и выразим в явном виде как функцию . Имеем

Считая, что , получим с точностью до ряд

(3.69)

Выразим теперь в виде ряда по степеням экцентриситета истинную аномалию как функцию средней аномалии . Для этого умножим сначала первое уравнение (3.56) на , второе - на и сложим результат. После приведения подобных членов получим:

Разлагая в ряд и деля обе части уравнения на , находим, что

При можно разложить знаменатель в ряд по степеням , затем (так как равны арксинусу малого угла, пропорционального ,) разложить арксинус. Сохраняя члены до , получим:

(3.70)

Выразим теперь через , используя ряд (3.67). Имеем

После простых тригонометрических преобразований находим, что

(3.71)

Аналогично находим, что

Подставив в ряд (3.68) разложения (3.67), , как функции , после приведения подобных членов получим уравнение, называемое уравнением центра:

(3.72)

В заключение этого раздела рассмотрим движение Земли по орбите.
1) Центр тяжести Земли движется относительно центра масс системы Земля+Луна. Последний находится на линии, соединяющей центры масс Земли и Луны, на расстоянии, равном км от центра тяжести Земли, где - расстояние между Землей и Луной, массы которых равны .
2) Центр тяжести системы Земля+Луна движется вокруг Солнца по орбите, элементы которой не являются постоянными, а являются функциями времени. Орбита близка к круговой; эксцентриситет орбиты равен . Орбита центра тяжести системы Земля+Луна является возмущенной вследствие притяжения Земли, Луны и Солнца планетами. Из-за возмущений движение центра тяжести системы Земля+Луна отличается от кеплеровского движения, однако это отличие не превышает в долготе , в широте .
3) Центр Солнца движется относительно центра тяжести солнечной системы - барицентра. Движение центра Солнца относительно барицентра солнечной системы определяется, главным образом, двумя наиболее массивными планетами - Юпитером и Сатурном и представляется двумя почти круговыми движениями с периодами обращения этих планет ( и лет). Радиус круговых движений центра Солнца относительно барицентра равен примерно для Юпитера и для Сатурна ( и - отношения массы Солнца к массам Юпитера и Сатурна) (рис. 3.16).

Рис. 3.16. Движение Солнца относительно барицентра солнечной системы в эклиптической системе координат на интервале времени 1900 - 2000 гг. Промежуток между точками равен одному году.

Солнце удаляется от центра масс солнечной системы на величину, не превышающую двух радиусов Солнца.

Орбитальные скорости движения Юпитера и Сатурна равны примерно 13 км/с и 9,5 км/с, соответственно компоненты скорости движения центра Солнца, вызываемые этими планетами, составляют , .


<< 3.9. Эпоха каталога, эпоха | Оглавление | 4. Системы координат на >>

Публикации с ключевыми словами: астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени
Публикации со словами: астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени
См. также:
Все публикации на ту же тему >>

Мнения читателей [12]
Оценка: 3.5 [голосов: 277]
 
О рейтинге
Версия для печати Распечатать

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце


Астронет | Научная сеть | ГАИШ МГУ | Поиск по МГУ | О проекте | Авторам

Комментарии, вопросы? Пишите: info@astronet.ru или сюда

Rambler's Top100 Яндекс цитирования