![На первую страницу](http://images.astronet.ru/img/bookicon.gif)
3.10.2. Параметры и аномалии кеплеровской орбиты
При рассмотрении движения планет можно ограничиться только случаем эллиптического движения. Орбита планеты в этом случае характеризуется шестью параметрами.
Определим систему координат , связанную с орбитой планеты.
Точка орбиты, ближайшая к Солнцу, называется
перигелием, а наиболее удаленная от Солнца --
афелием. Ось
направим в перигелий,
ось
-- перпендикулярно плоскости орбиты. Точки пересечения
плоскости орбиты планеты и эклиптики называются узлами
орбиты, причем восходящим узлом называется тот, который планета
проходит, переходя из области отрицательных широт в область
положительных широт. Графическое
представление и параметры кеплеровской орбиты показаны на
рис. 3.14.
Ориентация орбиты в пространстве (ориентация системы координат
относительно гелиоцентрической системы
)
описывается тремя углами. Угол между направлением на точку
весеннего равноденствия и точку восходящего узла называется
долготой восходящего узла и обозначается
. Двугранный угол между
плоскостями орбиты и эклиптики называется наклонением
орбиты и обозначается как
. Третьим
углом, который обозначается
и называется
аргументом перигелия, является угол между
направлениями на восходящий узел и перигелий. Так как угол
постоянен, то это означает
неизменность положения оси
и в плоскости орбиты, и в
пространстве.
Следующие два параметра: большая полуось и эксцентриситет
определяют размеры и форму
орбиты. И, наконец,
положение тела на орбите в начальный момент определяется
эпохой прохождения через перигелий
--
.
Мгновенное положение планеты на момент определяется углом
, который называется истинной
аномалией (рис. 3.15).
Помимо истинной аномалии в небесной механике используются
эксцентрическая и
средняя
аномалии. Построим
окружность радиуса
, равным большой полуоси эллипса, с
центром, который совпадает с центром эллипса
. Опустим
перпендикуляр
на ось
; тогда его продолжение пересечет
окружность в точке
. Угол
называется
эксцентрической аномалией. Угол, равный средней аномалии,
определяется средним движением и равен
Часто в небесной механике и астрометрии используется величина, определяемая формулой
и называемая средней долготой.
Так как движение планеты при кеплеровском движении происходит в
плоскости, то положение планеты определяется проекциями
радиус-вектора
, которые равны
. Проекция
на ось
равна нулю:
. Из рис. 3.15
очевидно, что
Также, используя рис. 3.15, находим, что
![$\displaystyle CB=CO+OB, \quad a\cos E=ae+r\cos v.
$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula862.gif)
![$\displaystyle \frac{P'B}{PB}=\frac{a\sin E}{r\sin v},
$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula863.gif)
![$\displaystyle \frac{P'B}{PB}=\frac{a}{b}=\frac{1}{\sqrt{1-e^2}}.
$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula864.gif)
Так как
![$ r=\sqrt{x^2+y^2}$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula866.gif)
Из выражений (3.56), (3.57) и формулы тангенса половинного угла получим выражение, связывающее истинную и эксцентрическую аномалии:
Углы
![$ v$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula854.gif)
![$ E$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula478.gif)
![$\displaystyle \sec^2\frac{v}{2}dv=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\,\sec^2\frac{E}{2}\,dE.
$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula869.gif)
![$ dv$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula870.gif)
![$ dE$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula871.gif)
Теперь вернемся к уравнению (3.42). Так как
, то уравнение (3.42) можно переписать в
виде:
Заменяя
![$ r$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula261.gif)
![$ dv$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula870.gif)
![$ h$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula480.gif)
![$ \sqrt{\mu a(1-e^2)}$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula875.gif)
![$\displaystyle (1-e\cos E)dE=\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}\,dt.
$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula876.gif)
![$\displaystyle \int\limits_0^E(1-e\cos E)dE=\int\limits_0^tndt,
$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula877.gif)
где
![$ T_0$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula853.gif)
Найдем теперь вектор скорости
. Заметим, что
. Вектор скорости лежит в
плоскости орбиты, следовательно, его проекция на ось
равна
нулю. Из (3.56) находим проекции
:
и квадрат скорости
Дифференцируя по времени вектор скорости (3.62) и учитывая,
что
, найдем вектор ускорения тела при
движении по кеплеровской орбите, который также лежит в плоскости
орбиты:
Для вычисления прямоугольных координат и проекций скорости тела в
гелиоцентрической системе координат достаточно найти матрицу
поворота системы
. Если матрица
известна, то
преобразование записывается в виде матричных уравнений:
Матрица вычисляется следующим образом (см. рис. 3.14):
сначала выполняем поворот относительно оси
на угол
до совмещения оси
с линией узлов, затем -- поворот
относительно линии узлов на угол
и, наконец, поворот
относительно оси
на угол
:
Если элементы орбиты тела известны, то его положение и скорость в
эклиптической системе координат в любой момент времени
определяются следующей последовательностью вычислений: 1) сначала
находится средняя аномалия
по формуле (3.53); 2) решая
уравнение Кеплера (3.61), находим эксцентрическую аномалию
; 3) зная
, получим радиус-вектор тела
(3.57) и его проекции
в орбитальной системе
координат (3.56); 4) и, используя уравнения (3.65) и
матрицу (3.66), получим прямоугольные эклиптические координаты
и проекции скорости тела.
Если эксцентриситет орбиты мал, то удобным методом решения
уравнения Кеплера является метод итераций. На первом шаге
предполагается, что . Тогда процесс итераций
![$\displaystyle E_2=M+e\sin E_1, \quad E_3=M+e\sin E_2\ \textrm{и т.д.}
$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula898.gif)
![$ \vert E_i-E_{i-1}\vert$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula899.gif)
![$ E$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula478.gif)
![$ M$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula192.gif)
![$\displaystyle E=E_3=M+e\sin(M+e\sin M).
$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula900.gif)
![$ e\ll 1$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula901.gif)
![$ e^2$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula902.gif)
Выразим теперь в виде ряда по степеням экцентриситета
истинную аномалию
как функцию средней аномалии
. Для этого
умножим сначала первое уравнение (3.56) на
, второе
-- на
и сложим результат. После приведения подобных
членов получим:
![$\displaystyle r\sin(v-E)=a\sin E\cos E(\sqrt{1-e^2}-1)+ae\sin E.
$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula906.gif)
![$ \sqrt{1-e^2}$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula907.gif)
![$ r$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula261.gif)
![$\displaystyle \sin(v-E)=\frac{e\sin E-\frac{e^2}{2}\sin E\cos E}{1-e\cos E}.
$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula908.gif)
![$ e\ll 1$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula901.gif)
![$ e$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula816.gif)
![$ v-E$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula909.gif)
![$ e$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula816.gif)
![$ e^2$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula902.gif)
Выразим теперь
![$ \sin E, \sin 2E$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula911.gif)
![$ M$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula192.gif)
![$\displaystyle \sin E=\sin(M+e\sin M+\frac{e^2}{2}\sin 2M) \approx \sin
M\Bigl[1-\frac{(e\sin M)^2}{2}\Bigr]+\frac{e}{2}\sin
2M+\frac{e^2}{2}\cos M\sin 2M.
$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula912.gif)
Аналогично находим, что
![$\displaystyle \sin 2E=\sin 2M+e(-\sin M +\sin 3M).
$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula914.gif)
![$ \sin E$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula915.gif)
![$ \sin
2E$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula916.gif)
![$ M$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula192.gif)
В заключение этого раздела рассмотрим движение Земли по орбите.
1) Центр тяжести Земли движется относительно центра масс системы
Земля+Луна. Последний находится на линии, соединяющей центры масс
Земли и Луны, на расстоянии, равном
км от центра тяжести Земли, где
-- расстояние между Землей и Луной, массы которых равны
.
2) Центр тяжести системы Земля+Луна движется вокруг Солнца по
орбите, элементы которой не являются постоянными, а являются
функциями времени. Орбита близка к круговой; эксцентриситет
орбиты равен
. Орбита центра тяжести системы
Земля+Луна является возмущенной вследствие притяжения
Земли, Луны и Солнца планетами. Из-за возмущений движение центра
тяжести системы Земля+Луна отличается от кеплеровского движения,
однако это отличие не превышает в долготе
, в широте
.
3) Центр Солнца движется относительно центра тяжести солнечной
системы -- барицентра. Движение центра Солнца
относительно барицентра солнечной системы определяется, главным
образом, двумя наиболее массивными планетами -- Юпитером и
Сатурном и представляется двумя почти круговыми движениями с
периодами обращения этих планет ( и
лет).
Радиус круговых движений центра Солнца относительно барицентра
равен примерно
для Юпитера и
для Сатурна (
и
--
отношения массы Солнца к массам Юпитера и Сатурна)
(рис. 3.16).
![]() |
Рис. 3.16. Движение Солнца относительно барицентра солнечной системы в эклиптической системе координат на интервале времени 1900 -- 2000 гг. Промежуток между точками равен одному году. |
Орбитальные скорости движения Юпитера и Сатурна равны примерно 13
км/с и 9,5 км/с, соответственно компоненты скорости движения
центра Солнца, вызываемые этими планетами, составляют
,
.
<< 3.10.1. Законы Кеплера | Оглавление | 4. Системы координат на >>
Публикации с ключевыми словами:
астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени
Публикации со словами: астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени | |
См. также:
Все публикации на ту же тему >> |