Rambler's Top100Astronet    
  по текстам   по ключевым словам   в глоссарии   по сайтам   перевод   по каталогу
 

На первую страницу << 3.4. Галактическая система координат | Оглавление | 3.6. Суточное вращение небесной >>

3.5. Преобразование координат из одной системы в другую

Данная задача уже упоминалась при рассмотрении горизонтальной системы координат. Если система установки телескопа горизонтальная, то движение звезд в этой системе будет неравномерным. Для точного ведения телескопа за звездой требуется непрерывно пересчитывать экваториальные координаты звезды в горизонтальные.

Рассмотрим сначала классический метод и найдем выражения, связывающие экваториальные и горизонтальные координаты. Затем рассмотрим матричный метод, который значительно облегчает задачу преобразования координат вектора из одной системы в другую.

Рассмотрим треугольник (рис. 3.6).

Рис. 3.6. Связь горизонтальных и экваториальных координат

Вершинами в этом треугольнике являются зенит, полюс мира и звезда . Такой треугольник называется параллактическим. Согласно определениям координат, имеем: дуга равна зенитному расстоянию , дуга равна , дуга равна , двугранный угол - это часовой угол , двугранный угол равен . Допустим, что требуется найти зенитное расстояние и азимут источника по его сферическим координатам. По теореме косинусов, используя треугольник , имеем:

или

(3.1)

По теореме синусов получим:

или

(3.2)

По теореме подобия получим:

или

(3.3)

Из системы уравнений (3.1-3.3) можно однозначно определить и по координатам и . Обратим внимание на необходимость использования всех трех уравнений (3.1-3.3) для решения задачи. Так как азимут входит в уравнения под знаком синуса и косинуса, то только совместное решение уравнений (3.2-3.3) позволяет однозначно найти .

Обратное преобразование (от и к и ) можно записать в виде:

(3.4)
(3.5)
(3.6)

Точно так же можно получить формулы, связывающие экваториальную систему координат с эклиптической, экваториальную с галактической и т.д.

Однако более просто найти преобразование от одной системы координат к другой системе с помощью матричных методов. Так как в дальнейшем мы будем использовать эти методы часто, рассмотрим их подробно.

Разложение вектора по тройке базисных векторов (, , ) было записано в виде (2.5):

где , , - проекции вектора  (2.3) на векторы , , , соответственно. Используя матричные обозначения, это выражение можно записать в виде:

(3.7)

где запись ( ) обозначает вектор-строку. Оставим обозначение ( ) для базисной тройки векторов экваториальной системы. Базисные тройки векторов эклиптической и галактической системы координат обозначены в § 3.3 и 3.4 как ( ) и ( ), соответственно.

Разложим радиус-вектор одного и того же небесного объекта по базисным тройкам экваториальной, эклиптической и галактической систем. Для этого используем формулу (2.20), в которой координаты заменяются на , или , или , и запишем матричное равенство (3.5) в виде:

(3.8)

Чтобы найти преобразование от одной системы координат к другой, надо найти матрицу поворота от одной базисной тройки к другой. Например, найдем преобразование от экваториальной к эклиптической системе. Тогда

Умножим обе части уравнения на вектор-столбец слева, где индекс "T" обозначает транспонирование, т.е. . В результате получим

По определению скалярного произведения и правилу умножения матриц имеем:

где - единичная матрица.

Таким образом преобразование от эклиптической к экваториальной системе можно записать следующим образом:

(3.9)

где

Вычислим матрицу в явном виде, используя рис. 3.7.

Рис. 3.7. Расположение осей экваториальной и эклиптической систем координат

В обеих системах ось направлена в точку весеннего равноденствия . Поэтому направление векторов и совпадает. Оси и направлены соответственно в полюс мира и полюс эклиптики . Следовательно угол между векторами и равен . Угол между векторами и также равен . Используя определение скалярного произведения, получим:

(3.10)

Уравнения (3.7) и (3.8) однозначно определяют связь между двумя системами координат, и удобны при вычислении на компьютере. Тем не менее приведем преобразование (3.7) в явном виде:

(3.11)
(3.12)
(3.13)

Используя матричную запись (3.7) легко найти обратное преобразование от экваториальной к эклиптической системе координат. Для этого умножим уравнение (3.7) слева на матрицу, обратную , т.е. на :

(3.14)

Матрица обладает специальными свойствами. Нетрудно проверить, что , т.е. . Подобные матрицы называются ортогональными. Преобразование (3.12) имеет, таким образом, вид:

(3.15)

Матрица описывает преобразование от экваториальной системы к эклиптической. Вращение на угол для совмещения осей и с осями и , соответственно, называется правым, так как при этом движение воображаемого правого винта совпадает с направлением оси . Матрица , поэтому, описывает правое вращение относительно оси .

В явном виде из (3.13) получим:

   
(3.16)
   

Аналогично могут быть получены матрицы вращений относительно осей и . Для сохранения общности изложения обозначим матрицы поворотов относительно осей , , на угол как , , соответственно, причем

(3.17)

Матрица  (3.8) равна, следовательно, , т.е. для перехода от эклиптической к экваториальной системе необходимо повернуть оси эклиптической системы относительно оси () на угол .

С помощью матриц (3.15) можно вычислить любую матрицу, описывающую вращение в трехмерном пространстве.

Рассмотрим две декартовы системы координат: и (рис. 3.8).

Рис. 3.8. Определение углов Эйлера

Найдем матрицу преобразования координат вектора из системы к системе . Для этого сначала повернем систему относительно оси на угол (до совмещения оси с линией узлов ). Вращение относительно линии узлов (которая теперь совпадает с осью ) на угол приведет к совмещению оси с осью . И, наконец, поворот относительно оси на угол переводит ось в положение ( в соответственно). Все повороты - положительны.

Углы , , называются углами Эйлера. Три угла Эйлера однозначно определяют поворот одной системы координат относительно другой. В теоретической механике и астрономии эти углы имеют собственные названия. Если оси , лежат в плоскости эклиптики, то угол называется углом прецессии. Угол есть угол нутации, а угол называется углом собственного вращения.

Матрица вращения равна произведению трех матриц (обратите внимание на порядок перемножения матриц и последовательность вращений):

или

(3.18)

С помощью матричного метода легко найти матрицу преобразования экваториальных координат (, ) в галактические координаты (,) (рис. 3.5).

Из уравнения (3.6) имеем:

Напомним, что орт направлен в точку весеннего равноденствия , - в точку с прямым восхождением, равным , и - в северный полюс мира. Согласно определению вектор направлен в центр Галактики, - в северный полюс (§ 3.4).

Матрица

(3.19)

является искомой матрицей преобразования.

Довольно трудно вычислить скалярные произведения , и т.д. непосредственно. Поэтому вычислим матрицу (3.17), соответствующую переходу от экваториальной системы к галактической следующим образом (см. рис. 3.5): выполним первое вращение относительно оси мира на угол (прямое восхождение точки ), т. е. вычисляем матрицу , затем выполняем вращение относительно линии узлов на угол и вычисляем матрицу , где - склонение северного галактического полюса. Третий поворот - это поворот относительно оси, соединяющей северный и южный полюса Галактики, на угол . В результате матрица записывается в виде:

Заметим, что , - прямое восхождение северного галактического полюса. Это следует из того, что двугранный угол равен . Заменяя символ в (3.15) на соответствующие углы, получим:

(3.20)

Подставив значения углов и вычислив произведение матриц, получим:

(3.21)

Обратное преобразование (от галактической к экваториальной системе координат) выражается матричным уравнением:

(3.22)

Так как матрица - ортогональная, то .

В заключение используем матричный метод для вычисления матрицы преобразования от горизонтальной () к экваториальной системе координат () (рис. 3.3 и 3.6). Для этого достаточно выполнить один поворот: относительно оси (обе системы координат - левые) на угол , где - астрономическая широта. Следовательно матричное уравнение преобразования координат можно записать как

(3.23)

Легко проверить, что эта система совпадает с уравнениями (3.4).



Используем полученные формулы преобразования координат для решения следующих задач.

Задача 1. Найти геометрическое место точек на небесной сфере, у которых склонение равно эклиптической широте .

Решение. Преобразование координат точки из экваториальной в эклиптическую систему задается уравнениями (3.14):

   
   
   

Из первого уравнения получим: . Если из второго уравнения выразить и подставить в третье, то найдем, что . Решением этой системы будет .

Очевидно, что в точке весеннего равноденствия , также ; в точке осеннего равноденствия , . Геометрическим местом на сфере, удовлетворяющим условию ( - некоторое число), является точка сферического треугольника, одной из сторон которого является дуга между полюсом мира и полюсом эклиптики и равная , двумя другими - дуги с длиной . При увеличении до треугольник вырождается в дугу, а точка поднимается по дуге окружности, проходящей посередине между полюсом мира и полюсом эклиптики.

Таким образом, геометрическим местом точек на небесной сфере будет окружность - пересечение большого круга, наклоненного к экватору под углом и проходящего через точки равноденствия, с небесной сферой.



Задача 2. Найти геометрическое место точек на небесной сфере, у которых прямое восхождение равно эклиптической долготе .

Решение. По аналогии с предыдущей задачей получим два уравнения:

   
   

которые удовлетворяются при . Легко доказать, что геометрическим местом на небесной сфере, соответствующим условию , будет окружность - пересечение сферы с большим кругом, наклоненным к экватору под углом .



Задача 3. Каково прямое восхождение и склонение северного и южного полюса эклиптики?

Решение. Координаты полюсов эклиптики можно найти, решая уравнения (3.14). Однако проще найти решение, воспользовавшись рис. 3.7. Для совмещения осей двух систем достаточно повернуть экваториальную систему относительно оси на угол , т.е. полюсы эклиптики лежат в плоскости . Значит, координаты северного полюса эклиптики равны , а южного - .



Задача 4. В каких точках Земли эклиптика может совпадать с первым вертикалом?

Решение. Напомним, что первым вертикалом называется вертикальный круг, проходящий через точки востока и запада, т.е. эклиптика должна проходить через зенит наблюдателя и точки востока и запада. Значит северный полюс эклиптики должен находиться в плоскости горизонта наблюдателя и совпадать с точкой севера. Это возможно, если широта наблюдателя равна , т.е. наблюдатель находится северном тропике. Солнце восходит в точке востока, движется через зенит наблюдателя и заходит в точке запада. Если встать лицом к северу, то Солнце встает справа, заходит слева.

В южном полушарии аналогичная картина наблюдается, если наблюдатель находится на южном тропике (широта равна ). Однако кажется, что небесная сфера вращается в противоположную сторону; Солнце встает слева, заходит справа, если встать лицом к югу.



<< 3.4. Галактическая система координат | Оглавление | 3.6. Суточное вращение небесной >>

Публикации с ключевыми словами: астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени
Публикации со словами: астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени
См. также:
Все публикации на ту же тему >>

Мнения читателей [12]
Оценка: 3.5 [голосов: 292]
 
О рейтинге
Версия для печати Распечатать

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце


Астронет | Научная сеть | ГАИШ МГУ | Поиск по МГУ | О проекте | Авторам

Комментарии, вопросы? Пишите: info@astronet.ru или сюда

Rambler's Top100 Яндекс цитирования