Rambler's Top100Astronet    
  по текстам   по ключевым словам   в глоссарии   по сайтам   перевод   по каталогу
 

На первую страницу << 3.4. Галактическая система координат | Оглавление | 3.6. Суточное вращение небесной >>

3.5. Преобразование координат из одной системы в другую

Данная задача уже упоминалась при рассмотрении горизонтальной системы координат. Если система установки телескопа горизонтальная, то движение звезд в этой системе будет неравномерным. Для точного ведения телескопа за звездой требуется непрерывно пересчитывать экваториальные координаты звезды в горизонтальные.

Рассмотрим сначала классический метод и найдем выражения, связывающие экваториальные и горизонтальные координаты. Затем рассмотрим матричный метод, который значительно облегчает задачу преобразования координат вектора из одной системы в другую.

Рассмотрим треугольник $ {P_N}ZC$ (рис. 3.6).

Рис. 3.6. Связь горизонтальных и экваториальных координат

Вершинами в этом треугольнике являются зенит, полюс мира и звезда $ C$. Такой треугольник называется параллактическим. Согласно определениям координат, имеем: дуга $ \widehat{ZC}$ равна зенитному расстоянию $ z$, дуга $ \widehat{P_NC}$ равна $ 90^\circ-\delta$, дуга $ \widehat {P_NZ}$ равна $ 90^\circ-\varphi$, двугранный угол $ Z{P_N}C$ -- это часовой угол $ t$, двугранный угол $ {P_N}ZC$ равен $ 180^\circ-A$. Допустим, что требуется найти зенитное расстояние и азимут источника по его сферическим координатам. По теореме косинусов, используя треугольник $ {P_N}ZC$, имеем:

$\displaystyle \cos{z}=\cos(90^\circ-\delta) \cos(90^\circ-\varphi) +\sin(90^\circ-\delta)
\sin(90^\circ-\varphi) \cos{t}
$

или

$\displaystyle \cos{z}=\sin{\delta} \sin{\varphi} +\cos{\delta} \cos{\varphi} \cos{t}$ (3.1)

По теореме синусов получим:

$\displaystyle \frac{\sin{z}}{\sin{t}}=\frac{\sin(90^\circ-\delta)}{\sin(180^\circ-A)}
$

или

$\displaystyle \sin{z} \sin{A} =\cos{\delta} \sin{t}$ (3.2)

По теореме подобия получим:

$\displaystyle \sin z \cos (180^\circ -A) = \cos (90^\circ -\delta) \sin (90^\circ -\varphi) -
\sin (90^\circ -\delta) \cos (90^\circ-\varphi) \cos t
$

или

$\displaystyle \sin z \cos A = -\sin \delta \cos \varphi + \cos \delta \sin \varphi \cos t.$ (3.3)

Из системы уравнений (3.1-3.3) можно однозначно определить $ z$ и $ A$ по координатам $ \delta$ и $ t$. Обратим внимание на необходимость использования всех трех уравнений (3.1-3.3) для решения задачи. Так как азимут $ A$ входит в уравнения под знаком синуса и косинуса, то только совместное решение уравнений (3.2-3.3) позволяет однозначно найти $ A$.

Обратное преобразование (от $ z$ и $ A$ к $ \delta$ и $ t$) можно записать в виде:

$\displaystyle \cos \delta \cos t$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos z \cos \varphi + \sin z \sin \varphi \cos A, \notag$ (4)
$\displaystyle \cos \delta \sin t$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin z \sin A,$ (5)
$\displaystyle \sin \delta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos z \sin \varphi - \sin z \cos \varphi \cos A.
\notag$ (6)

Точно так же можно получить формулы, связывающие экваториальную систему координат с эклиптической, экваториальную с галактической и т.д.

Однако более просто найти преобразование от одной системы координат к другой системе с помощью матричных методов. Так как в дальнейшем мы будем использовать эти методы часто, рассмотрим их подробно.

Разложение вектора по тройке базисных векторов ($ \bf i$, $ \bf j$, $ \bf k$) было записано в виде (2.5):

$\displaystyle {\bf r} = x{\bf i} + y{\bf j} + z{\bf k},
$

где $ x$, $ y$, $ z$ -- проекции вектора $ {\bf r}$ (2.3) на векторы $ {\bf i}$, $ {\bf j}$, $ {\bf k}$, соответственно. Используя матричные обозначения, это выражение можно записать в виде:

$\displaystyle {\bf r} = \begin{pmatrix}{\bf i} & {\bf j} & {\bf k} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix},$ (3.7)

где запись ( $ {\bf i}\ {\bf j}\ {\bf k}$) обозначает вектор-строку. Оставим обозначение ( $ {\bf i}\ {\bf j}\ {\bf k}$) для базисной тройки векторов экваториальной системы. Базисные тройки векторов эклиптической и галактической системы координат обозначены в § 3.3 и 3.4 как ( $ {\bf i}_e\ {\bf j}_e\ {\bf k}_e$) и ( $ {\bf i}_g\ {\bf j}_g\ {\bf k}_g$), соответственно.

Разложим радиус-вектор одного и того же небесного объекта по базисным тройкам экваториальной, эклиптической и галактической систем. Для этого используем формулу (2.20), в которой координаты $ \theta, \lambda$ заменяются на $ \alpha,\delta$, или $ \beta,\lambda$, или $ b,l$, и запишем матричное равенство (3.5) в виде:

$\displaystyle {\bf r} = \begin{pmatrix}{\bf i}&{\bf j}&{\bf k} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\delta \cos\alpha \\ \cos\delta \sin\alpha \\ \sin\delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\bf i}_e&{\bf j}_e&{\bf k}_e \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\beta \cos\lambda \\ \cos\beta \sin\lambda \\ \sin\beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\bf i}_g&{\bf j}_g&{\bf k}_g \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos b\cos l \\ \cos b\sin l \\ \sin l \end{pmatrix}.$ (3.8)

Чтобы найти преобразование от одной системы координат к другой, надо найти матрицу поворота от одной базисной тройки к другой. Например, найдем преобразование от экваториальной к эклиптической системе. Тогда

$\displaystyle \begin{pmatrix}{\bf i} & {\bf j} & {\bf k} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\delta \cos\alpha \\ \cos\delta \sin\alpha \\ \sin \delta \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}{\bf i}_e & {\bf j}_e & {\bf k}_e \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\beta \cos\lambda \\ \cos\beta \sin\lambda \\ \sin \beta \end{pmatrix}.
$

Умножим обе части уравнения на вектор-столбец $ \begin{pmatrix}{\bf i} & {\bf j} & {\bf k} \end{pmatrix} ^{T}$ слева, где индекс "T" обозначает транспонирование, т.е. $ \begin{pmatrix}{\bf i} & {\bf j} & {\bf k} \end{pmatrix}^{T} =
\begin{pmatrix}{\bf i} \\ {\bf j} \\ {\bf k} \end{pmatrix}$. В результате получим

$\displaystyle \begin{pmatrix}{\bf i} \\ {\bf j} \\ {\bf k} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\bf i} & {\bf j} & {\bf k} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\delta \cos\alpha \\ \cos\delta \sin\alpha \\ \sin \delta \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}{\bf i} \\ {\bf j} \\ {\bf k} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\bf i}_e & {\bf j}_e & {\bf k}_e \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\beta \cos\lambda \\ \cos\beta \sin\lambda \\ \sin \beta \end{pmatrix}.
$

По определению скалярного произведения и правилу умножения матриц имеем:

$\displaystyle \begin{pmatrix}{\bf i} \\ {\bf j} \\ {\bf k} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\bf i} & {\bf j} & {\bf k} \end{pmatrix} = I =
\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
$

где $ I$ -- единичная матрица.

Таким образом преобразование от эклиптической к экваториальной системе можно записать следующим образом:

$\displaystyle \begin{pmatrix}\cos\delta \cos\alpha \\ \cos\delta \sin\alpha \\ \sin \delta \end{pmatrix} = A_e \begin{pmatrix}\cos\beta \cos\lambda \\ \cos\beta \sin\lambda \\ \sin \beta \end{pmatrix},$ (3.9)

где

$\displaystyle A_e = \begin{pmatrix}{\bf i} \\ {\bf j} \\ {\bf k} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\bf i}_e & {\bf j}_e & {\bf k}_e \end{pmatrix}.
$

Вычислим матрицу $ A_e$ в явном виде, используя рис. 3.7.

Рис. 3.7. Расположение осей экваториальной и эклиптической систем координат

В обеих системах ось $ Ox$ направлена в точку весеннего равноденствия $ \aries$. Поэтому направление векторов $ {\bf i}$ и $ {\bf i}_e$ совпадает. Оси $ Oz$ и $ Oz'$ направлены соответственно в полюс мира $ P_N$ и полюс эклиптики $ \Pi_N$. Следовательно угол между векторами $ {\bf k}$ и $ {\bf k}_e$ равен $ \varepsilon$. Угол между векторами $ {\bf j}$ и $ {\bf j}_e$ также равен $ \varepsilon$. Используя определение скалярного произведения, получим:

$\displaystyle A_e = \begin{pmatrix}{\bf i}\cdot{\bf i}_e & {\bf i}\cdot{\bf j}_e & {\bf i}\cdot{\bf k}_e \\ {\bf j}\cdot{\bf i}_e & {\bf j}\cdot{\bf j}_e & {\bf j}\cdot{\bf k}_e \\ {\bf k}\cdot{\bf i}_e & {\bf k}\cdot{\bf j}_e & {\bf k}\cdot{\bf k}_e \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\varepsilon & \cos (90^\circ+\varepsilon) \\ 0 & \cos(90^\circ-\epsilon) & \cos\epsilon \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\varepsilon & -\sin\varepsilon \\ 0 & \sin\varepsilon & \cos\varepsilon \end{pmatrix}.$ (3.10)

Уравнения (3.7) и (3.8) однозначно определяют связь между двумя системами координат, и удобны при вычислении на компьютере. Тем не менее приведем преобразование (3.7) в явном виде:

$\displaystyle \cos\delta \cos\alpha$ $\displaystyle = \cos\beta \cos\lambda,$ (11)
$\displaystyle \cos\delta \sin\alpha$ $\displaystyle = \cos\beta \sin\lambda \cos\varepsilon - \sin\beta \sin\varepsilon,$ (12)
$\displaystyle \sin \delta$ $\displaystyle = \cos\beta \sin\lambda \sin\varepsilon + \sin \beta \cos \varepsilon.$ (13)

Используя матричную запись (3.7) легко найти обратное преобразование от экваториальной к эклиптической системе координат. Для этого умножим уравнение (3.7) слева на матрицу, обратную $ A_e$, т.е. на $ A_e^{-1}$:

$\displaystyle A^{-1}_e \begin{pmatrix}\cos\delta \cos\alpha \\ \cos\delta \sin\alpha \\ \sin \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\beta \cos\lambda \\ \cos \beta \sin \lambda \\ \sin \beta \end{pmatrix}.$ (3.14)

Матрица $ A_e$ обладает специальными свойствами. Нетрудно проверить, что $ A^T_e A_e = A_e A^T_e = I$, т.е. $ A_e^T = A_e^{-1}$. Подобные матрицы называются ортогональными. Преобразование (3.12) имеет, таким образом, вид:

$\displaystyle \begin{pmatrix}\cos\beta \cos\lambda \\ \cos\beta \sin\lambda \\ \sin \beta \end{pmatrix} = A^T_e \begin{pmatrix}\cos\delta \cos\alpha \\ \cos\delta \sin\alpha \\ \sin \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\varepsilon & \sin\varepsilon \\ 0 & -\sin\varepsilon & \cos\varepsilon \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\delta \cos\alpha \\ \cos\delta \sin\alpha \\ \sin \delta \end{pmatrix}.$ (3.15)

Матрица $ A^T_e$ описывает преобразование от экваториальной системы к эклиптической. Вращение на угол $ \varepsilon$ для совмещения осей $ Oy$ и $ Oz$ с осями $ Oy'$ и $ Oz'$, соответственно, называется правым, так как при этом движение воображаемого правого винта совпадает с направлением оси $ Ox$. Матрица $ A^T_e$, поэтому, описывает правое вращение относительно оси $ Ox$.

В явном виде из (3.13) получим:

$\displaystyle \cos \beta \cos \lambda =$ $\displaystyle \cos\delta \cos\alpha$    
$\displaystyle \cos \beta \sin \lambda =$ $\displaystyle \cos \delta \sin \alpha \cos \varepsilon +\sin \delta \sin \varepsilon$ (16)
$\displaystyle \sin \beta = -$ $\displaystyle \cos \delta \sin \alpha \sin \varepsilon + \sin \delta \cos \varepsilon .$    

Аналогично могут быть получены матрицы вращений относительно осей $ Oy$ и $ Oz$. Для сохранения общности изложения обозначим матрицы поворотов относительно осей $ Ox$, $ Oy$, $ Oz$ на угол $ \phi$ как $ R_1(\phi)$, $ R_2(\phi)$, $ R_3(\phi)$ соответственно, причем

$\displaystyle R_1 (\phi) = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \phi & \sin \phi \\ 0 & -\sin \phi & \cos \phi \end{pmatrix}; R_2 (\phi) = \begin{pmatrix}\cos \phi & 0 & -\sin \phi \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \phi & 0 & \cos \phi \end{pmatrix}; R_3 (\phi) = \begin{pmatrix}\cos\phi & \sin\phi & 0 \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$ (3.17)

Матрица $ A_e$ (3.8) равна, следовательно, $ R_1(-\varepsilon)$, т.е. для перехода от эклиптической к экваториальной системе необходимо повернуть оси эклиптической системы относительно оси $ Ox$ ($ Ox'$) на угол $ -\varepsilon$.

С помощью матриц (3.15) можно вычислить любую матрицу, описывающую вращение в трехмерном пространстве.

Рассмотрим две декартовы системы координат: $ Oxyz$ и $ Ox'y'z'$ (рис. 3.8).

Рис. 3.8. Определение углов Эйлера

Найдем матрицу преобразования $ R$ координат вектора из системы $ Oxyz$ к системе $ Ox'y'z'$. Для этого сначала повернем систему $ Oxyz$ относительно оси $ Oz$ на угол $ \Psi$ (до совмещения оси $ Ox$ с линией узлов $ O\ascnode$). Вращение относительно линии узлов (которая теперь совпадает с осью $ Ox$) на угол $ \Theta$ приведет к совмещению оси $ Oz$ с осью $ Oz'$. И, наконец, поворот относительно оси $ Oz'$ на угол $ \Phi$ переводит ось $ Ox$ в положение $ Ox'$ ($ Oy$ в $ Oy'$ соответственно). Все повороты -- положительны.

Углы $ \Psi$, $ \Theta$, $ \Phi$ называются углами Эйлера. Три угла Эйлера однозначно определяют поворот одной системы координат относительно другой. В теоретической механике и астрономии эти углы имеют собственные названия. Если оси $ Ox$, $ Oy$ лежат в плоскости эклиптики, то угол $ \Psi$ называется углом прецессии. Угол $ \Theta$ есть угол нутации, а угол $ \Phi$ называется углом собственного вращения.

Матрица вращения $ R$ равна произведению трех матриц (обратите внимание на порядок перемножения матриц и последовательность вращений):

$\displaystyle R=R_3 (\Phi) R_1 (\Theta) R_3 (\Psi) =
\begin{pmatrix}\cos\Phi & \sin\Phi & 0 \\ -\sin\Phi & \cos\Phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 &
\cos\Theta & \sin\Theta \\ 0 & -\sin\Theta & \cos\Theta \end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}\cos\Psi & \sin\Psi & 0 \\ -\sin\Psi & \cos\Psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

или

$\displaystyle R=\begin{pmatrix}\cos\Phi\cos\Psi - \sin\Phi\cos\Theta\sin\Psi & \cos\Phi\sin\Psi + \sin\Phi\cos\Theta\cos\Psi & \sin\Phi\sin\Theta \\ -\sin\Phi\cos\Psi - \cos\Phi\cos\Theta\sin\Psi & -\sin\Phi\sin\Psi + \cos\Phi\cos\Theta\cos\Psi & \cos\Phi\sin\Theta \\ \sin\Theta\sin\Psi & -\sin\Theta\cos\Psi & \cos\Theta \end{pmatrix}.$ (3.18)

С помощью матричного метода легко найти матрицу преобразования экваториальных координат ($ \alpha$, $ \delta$) в галактические координаты ($ l$,$ b$) (рис. 3.5).

Из уравнения (3.6) имеем:

$\displaystyle \begin{pmatrix}\cos b\cos l \\ \cos b\sin l \\ \sin b \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}{\bf i}_g \\ {\bf j}_g \\ {\bf k}_g \end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\bf i}& {\bf j}& {\bf k} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\delta\cos\alpha \\ \cos\delta\sin\alpha \\ \sin\delta \end{pmatrix}.
$

Напомним, что орт $ {\bf i}$ направлен в точку весеннего равноденствия $ \aries$, $ {\bf j}$ -- в точку с прямым восхождением, равным $ 90^\circ$, и $ {\bf k}$ -- в северный полюс мира. Согласно определению вектор $ {\bf i}_g$ направлен в центр Галактики, $ {\bf k}_g$ -- в северный полюс $ G_N$ (§ 3.4).

Матрица

$\displaystyle A_G=\begin{pmatrix}{\bf i}_g \\ {\bf j}_g \\ {\bf k}_g \end{pmatrix} \begin{pmatrix}{\bf i}& {\bf j}& {\bf k} \end{pmatrix}$ (3.19)

является искомой матрицей преобразования.

Довольно трудно вычислить скалярные произведения $ {\bf
i}_g\cdot{\bf i}$, $ {\bf i}_g\cdot{\bf j}$ и т.д. непосредственно. Поэтому вычислим матрицу (3.17), соответствующую переходу от экваториальной системы к галактической следующим образом (см. рис. 3.5): выполним первое вращение относительно оси мира на угол $ \alpha_{\ascnode}$ (прямое восхождение точки $ \ascnode$), т. е. вычисляем матрицу $ R_3(\alpha_{\ascnode})$, затем выполняем вращение относительно линии узлов на угол $ 90^\circ-\delta_{G_N}$ и вычисляем матрицу $ R_1(90^\circ-\delta_{G_N})$, где $ \delta_{G_N}$ -- склонение северного галактического полюса. Третий поворот -- это поворот относительно оси, соединяющей северный и южный полюса Галактики, на угол $ -l_{\ascnode}$. В результате матрица $ A_G$ записывается в виде:

$\displaystyle A_G=R_3 (-l_{\ascnode})\cdot R_1(90^\circ-\delta_{G_N})\cdot R_3
(\alpha_{\ascnode}).
$

Заметим, что $ \alpha_{\ascnode} = \alpha_{G_N} + 90^\circ$, $ \alpha_{G_N}$ -- прямое восхождение северного галактического полюса. Это следует из того, что двугранный угол $ G_N P_N
\ascnode$ равен $ 90^\circ$. Заменяя символ $ \phi$ в (3.15) на соответствующие углы, получим:

$\displaystyle A_G =\begin{pmatrix}\cos l_{\ascnode} & -\sin l_{\ascnode} & 0 \\ \sin l_{\ascnode} & \cos l_{\ascnode} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \sin\delta_G & \cos\delta_G \\ 0 & -\cos\delta_G & \sin\delta_G \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\alpha_{\ascnode} & \sin\alpha_{\ascnode} & 0 \\ -\sin\alpha_{\ascnode} & \cos\alpha_{\ascnode} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ (3.20)

Подставив значения углов и вычислив произведение матриц, получим:

$\displaystyle A_G =\begin{pmatrix}-0.0548755601367195 & -0.8734370902532698 & -0.4838350155472244 \\ +0.4941094280132430 & -0.4448296298016944 & +0.7469822445004389 \\ -0.8676661489582886 & -0.1980763737056720 & +0.4559837761713720 \end{pmatrix}.$ (3.21)

Обратное преобразование (от галактической к экваториальной системе координат) выражается матричным уравнением:

$\displaystyle \begin{pmatrix}\cos\delta\cos\alpha \\ \cos\delta\sin\alpha \\ \sin\delta \end{pmatrix} = A^{-1}_G \begin{pmatrix}\cos b\cos l \\ \cos b\sin l \\ \sin b \end{pmatrix}$ (3.22)

Так как матрица $ A_G$ -- ортогональная, то $ A^{-1}_G = A^T_G$.

В заключение используем матричный метод для вычисления матрицы преобразования от горизонтальной ($ z,A$) к экваториальной системе координат ($ t,\delta$) (рис. 3.3 и 3.6). Для этого достаточно выполнить один поворот: относительно оси $ -Oy$ (обе системы координат -- левые) на угол $ -(90^\circ-\varphi)$, где $ \varphi$ -- астрономическая широта. Следовательно матричное уравнение преобразования координат можно записать как

$\displaystyle \begin{pmatrix}\cos\delta \cos t \\ \cos\delta \sin t \\ \sin \delta\end{pmatrix} =R_2(\varphi-90^\circ) \begin{pmatrix}\sin z \cos A \\ \sin z \sin A \\ \cos z \end{pmatrix}.$ (3.23)

Легко проверить, что эта система совпадает с уравнениями (3.4).



Используем полученные формулы преобразования координат для решения следующих задач.

Задача 1. Найти геометрическое место точек на небесной сфере, у которых склонение $ \delta$ равно эклиптической широте $ \beta$.

Решение. Преобразование координат точки из экваториальной в эклиптическую систему задается уравнениями (3.14):

$\displaystyle \cos \beta \cos \lambda =$ $\displaystyle \cos \delta \cos \alpha,$    
$\displaystyle \cos \beta \sin \lambda =$ $\displaystyle \cos \delta \sin \alpha \cos \varepsilon +\sin \delta \sin \varepsilon,$    
$\displaystyle \sin \beta = -$ $\displaystyle \cos \delta \sin \alpha \sin \varepsilon + \sin \delta \cos \varepsilon .$    

Из первого уравнения получим: $ \cos \lambda = \cos \alpha$. Если из второго уравнения выразить $ \sin\alpha$ и подставить в третье, то найдем, что $ \sin\lambda=-\sin\alpha$. Решением этой системы будет $ \alpha=-\lambda$.

Очевидно, что в точке весеннего равноденствия $ \delta=\beta = 0$, также $ \alpha=\lambda = 0$; в точке осеннего равноденствия $ \delta=\beta = 0$, $ \alpha=\lambda = 180^\circ$. Геометрическим местом на сфере, удовлетворяющим условию $ \delta=\beta=\kappa$ ($ \kappa$ -- некоторое число), является точка сферического треугольника, одной из сторон которого является дуга между полюсом мира и полюсом эклиптики и равная $ \varepsilon$, двумя другими -- дуги с длиной $ 90^\circ-\kappa$. При увеличении $ \kappa$ до $ 90^\circ$ треугольник вырождается в дугу, а точка поднимается по дуге окружности, проходящей посередине между полюсом мира и полюсом эклиптики.

Таким образом, геометрическим местом точек на небесной сфере будет окружность -- пересечение большого круга, наклоненного к экватору под углом $ 90^\circ+\varepsilon/2$ и проходящего через точки равноденствия, с небесной сферой.



Задача 2. Найти геометрическое место точек на небесной сфере, у которых прямое восхождение $ \alpha$ равно эклиптической долготе $ \lambda$.

Решение. По аналогии с предыдущей задачей получим два уравнения:

$\displaystyle \cos \beta$ $\displaystyle =\cos \delta ,$    
$\displaystyle \sin\beta$ $\displaystyle =-\sin\delta,$    

которые удовлетворяются при $ \beta=-\delta$. Легко доказать, что геометрическим местом на небесной сфере, соответствующим условию $ \beta=-\delta$, будет окружность -- пересечение сферы с большим кругом, наклоненным к экватору под углом $ \varepsilon/2$.



Задача 3. Каково прямое восхождение и склонение северного и южного полюса эклиптики?

Решение. Координаты полюсов эклиптики можно найти, решая уравнения (3.14). Однако проще найти решение, воспользовавшись рис. 3.7. Для совмещения осей двух систем достаточно повернуть экваториальную систему относительно оси $ Ox$ на угол $ \varepsilon$, т.е. полюсы эклиптики лежат в плоскости $ Oyz$. Значит, координаты северного полюса эклиптики равны $ \alpha
=270^\circ, \delta=90^\circ-\varepsilon$, а южного -- $ \alpha
=90^\circ, \delta=-90^\circ+\varepsilon$.



Задача 4. В каких точках Земли эклиптика может совпадать с первым вертикалом?

Решение. Напомним, что первым вертикалом называется вертикальный круг, проходящий через точки востока и запада, т.е. эклиптика должна проходить через зенит наблюдателя и точки востока и запада. Значит северный полюс эклиптики должен находиться в плоскости горизонта наблюдателя и совпадать с точкой севера. Это возможно, если широта наблюдателя равна $ \varepsilon$, т.е. наблюдатель находится северном тропике. Солнце восходит в точке востока, движется через зенит наблюдателя и заходит в точке запада. Если встать лицом к северу, то Солнце встает справа, заходит слева.

В южном полушарии аналогичная картина наблюдается, если наблюдатель находится на южном тропике (широта равна $ -\varepsilon$). Однако кажется, что небесная сфера вращается в противоположную сторону; Солнце встает слева, заходит справа, если встать лицом к югу.



<< 3.4. Галактическая система координат | Оглавление | 3.6. Суточное вращение небесной >>

Публикации с ключевыми словами: астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени
Публикации со словами: астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени
См. также:
Все публикации на ту же тему >>

Мнения читателей [13]
Оценка: 3.5 [голосов: 301]
 
О рейтинге
Версия для печати Распечатать

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце


Астронет | Научная сеть | ГАИШ МГУ | Поиск по МГУ | О проекте | Авторам

Комментарии, вопросы? Пишите: info@astronet.ru или сюда

Rambler's Top100 Яндекс цитирования