![На первую страницу](http://images.astronet.ru/img/bookicon.gif)
2.3. Сферическая система координат
Для решения многих задач оказывается удобнее вместо декартовой
системы использовать криволинейные системы координат. В общем
случае используются три функции
,
,
для определения положения тела в пространстве.
Координатная сетка состоит из пересекающихся кривых
вместо сетки прямых линий
в
декартовой системе. Если функции выбраны подходящим образом, то
положение объекта может быть однозначно определено с
помощью криволинейных координат
вместо декартовых
координат
.
К таким системам относится и сферическая система
координат, широко
используемая не только в астрономии, но и других науках.
Сферические координаты (см. рис. 2.5): --
радиус-вектор объекта,
-- полярное
расстояние, которое иногда называют
коширотой, и
-- долгота связаны с декартовыми координатами
уравнениями:
Полярное расстояние изменяется от
![$ 0^\circ$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula270.gif)
![$ 180^\circ$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula73.gif)
![$ 0^\circ$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula270.gif)
![$ 360^\circ$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula271.gif)
Система уравнений (2.20) представляет преобразование между
сферической и декартовой системами координат. Следовательно,
функции
равны:
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
Вернемся к рис. 2.5. Через произвольно выбранные точки
и
проведем большой круг. Полюсы обозначим как
и
.
Проведем теперь через полюсы и точку
большой круг (аналогично
проведем большой круг через точку
). Обозначим через
центральный угол между направлением на точку
и направлением на
произвольную точку
, лежащую на сфере в плоскости большого
круга
. Проведем через точку
плоскость,
параллельную большому кругу
. Полученная плоскость является
малым кругом, и радиус
окружности равен, если
:
Введем декартову систему координат: ось направим вдоль радиуса
, ось
-- вдоль радиуса
. Обозначим единичные векторы
осей
и
как
и
, соответственно. Направление
оси
зададим единичным вектором
согласно уравнению:
Векторное произведение (2.22) векторов
![$ \bf k$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula234.gif)
![$ \bf i$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula235.gif)
![$ Oxyz$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula101.gif)
Обозначим через двугранный угол между плоскостями
и
. Числа
называются
сферическими координатами точки
. При
достаточно
знать две координаты
для определения положения
точки на сфере. В следующей главе будут определены различные
системы сферических координат. В каждой из них координаты
имеют разные названия и могут обозначаться другими
буквами.
Пусть точка лежит на сфере и является точкой пересечения
большого круга
и малого круга
(рис. 2.5). Найдем длину дуги
. Так как
центральный угол
равен
, то
Рассмотрим более подробно вопрос преобразования координат вектора в криволинейных координатах.
В криволинейной системе координат в отличие от декартовой
возможны два способа выбора базисной тройки векторов: 1) базисные
векторы являются касательными в точке
к кривым
,
,
; обозначим их как
,
,
и 2) базисные векторы
перпендикулярны в точке
к поверхностям,
задаваемым функциями
, т.е.
,
,
; обозначим их как
,
,
. Еще одним отличием от
декартовой системы является то, что направление, а также длина
базисных векторов может различаться в разных точках пространства.
В случае сферических координат поверхность, задаваемая уравнением
, есть сфера радиуса
, уравнение
определяет малый круг, а
-- плоскость меридиана. Пересечения
этих плоскостей со сферой являются окружностями. Так как кривые
,
,
также являются
окружностями, то в случае сферических координат обе базисные
тройки совпадают. В общем случае это не так.
Два выбора базисных троек дают возможность найти проекции вектора
как на оси
,
,
,
так и на оси
,
,
:
![$\displaystyle \mathbf{a}=a_1\mathbf{e}^1+a_2\mathbf{e}^2+a_3\mathbf{e}^3=
a^1\mathbf{e}_1+a^2\mathbf{e}_2+a^3\mathbf{e}_3.
$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula315.gif)
индексы суммирования могут обозначаться любыми буквами.
Числа
называются
контравариантными, а
--
ковариантными проекциями
вектора
.
Для базисных векторов
справедливы
соотношения:
Символ
![$ \delta^k_i$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula320.gif)
Скалярное произведение в криволинейных координатах записывается в виде
![$\displaystyle {\mathbf{a}}\cdot{\mathbf{b}}= (a^i\mathbf{e}_i)\cdot(b_j\mathbf{e}^j)=
(a^ib_j)\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}^j.
$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula321.gif)
![$ \mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}^j=\delta_i^j$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula322.gif)
![$ \delta_i^i=1$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula323.gif)
![$ \delta_i^j=0$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula324.gif)
![$ i\neq j$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula325.gif)
![$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}= (a^ib_j)\delta_i^j=a^ib_i$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula326.gif)
![$ \mathbf{a}$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula314.gif)
![$ \mathbf{b}$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula327.gif)
![$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a^ib_i=a_ib^i$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula328.gif)
Для того, чтобы получить явное выражение ковариантных и
контравариантных координат вектора, умножим скалярно первое из
уравнений (2.24) на
, а второе -- на
. Учитывая определение (2.25), найдем:
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
Значит,
Используя формулы (2.26), перепишем (2.24) в виде:
Соотношения справедливы для любого вектора
. Если вместо
в (2.27) подставить базисные векторы, то получим:
Вводя обозначения
перепишем соотношения (2.28) таким образом:
Для построения базисной тройки
по векторам
необходимо знать матрицу с элементами
; и,
наоборот, для построения базиса
по базису
-- матрицу с элементами
. Эти матрицы
взаимно обратны, т.е.
![$\displaystyle g^{ki}g_{ij}= \delta^k_j=\begin{cases}1,& \textrm{при}\ j=k\\ 0,& \textrm{при}\ j\neq k.
\end{cases}$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula345.gif)
Величины и
называются компонентами дважды
контравариантного и ковариантного метрического
тензора, соответственно.
Что из себя представляет тензор в математике? Как мы видели, задание базисной тройки определяет систему координат, в которой можно найти координаты произвольных векторов, т.е. их проекции на базисные векторы. Но так как при переходе в другую точку пространства направление и величина базисных векторов может меняться, то необходимо решить задачу о преобразовании проекций произвольных векторов из одной базисной тройки в другую. Эта задача решается методами тензорного анализа. Тензоры представляют собой систему величин, преобразующихся по линейному закону при переходе от одной системы координат к другой. Соотношения, записанные в тензорной форме, сохраняют свою форму в любой координатной системе.
Найдем теперь расстояние
между двумя бесконечно
близкими точками пространства. Декартовы координаты вектора
равны
. Для этого, считая
в
формулах (2.20) функциями переменных
найдем
дифференциалы
,
,
. По правилу вычисления
дифференциалов функций многих переменных, сначала фиксируем
переменные
и находим изменение функции (частную
производную
) в зависимости от приращения
,
затем фиксируем переменные
и
и находим изменение
функции в зависимости от приращения
, и наконец при
постоянных
и
находим частную производную
. В результате получим:
По определению частные производные
и др. являются касательными к
функциям
, т.е. представляют собой компоненты базисных
векторов
,
,
вдоль
направлений
:
![$\displaystyle \mathbf{e}_1=\begin{pmatrix}\frac{\partial{x}}{\partial{r}}\\ \frac{\partial{y}}{\partial{r}} \\ \frac{\partial{z}}{\partial{r}} \end{pmatrix},
\quad \mathbf{e}_2=\begin{pmatrix}\frac{\partial{x}}{\partial{\theta}}\\ \frac{\partial{y}}{\partial{\theta}} \\ \frac{\partial{z}}{\partial{\theta}}
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{e}_3=\begin{pmatrix}\frac{\partial{x}}{\partial{\lambda}}\\ \frac{\partial{y}}{\partial{\lambda}} \\ \frac{\partial{z}}{\partial{\lambda}} \end{pmatrix}.
$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula365.gif)
![$ dr,d\theta,d\lambda$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula366.gif)
![$ d{\mathbf{r}}$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula348.gif)
Следовательно, дифференциал функции является контравариантным
вектором. Переобозначив бесконечно малые приращения как
,
,
, найдем квадрат расстояния
между двумя бесконечно близкими точками, который равняется в
декартовой системе координат
В более общем виде с учетом правила суммирования выражение для квадрата расстояния между двумя точками пространства записывается в виде:
где
![$ g$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula373.gif)
Выбор той или иной системы координат дает возможность определить положение тела в пространстве и упростить уравнения движения тела, но не определяет свойства самого пространства. Задание метрики совместно с определением системы координат полностью описывает пространство. Это означает, что, зная метрический тензор, можно вычислить расстояние между двумя точками. В случае евклидова пространства, которое называется плоским, расстояние находится по формуле (2.32) и метрический тензор равен
В случае плоского пространства метрический тензор
![$ g$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula373.gif)
![$ g_{ij}=g_{ji}$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula375.gif)
![$ g$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula373.gif)
![$ g_{ij}$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula347.gif)
Если пространство не является плоским, то для вычисления расстояний уже нельзя использовать закон Пифагора (2.32). В частности, при вычислениях на сфере (в кривом пространстве) длина дуги между двумя точками не равна длине хорды (расстоянию в плоском пространстве).
Квадрат элемента длины в сферической системе координат легко
найти, вычислив частные производные
и т.д. и подставив их
в (2.32). Используя уравнения (2.20), находим, что
,
и т.д. В результате
после приведения подобных членов получим, что
![$\displaystyle ds^2=dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\lambda^2.
$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula378.gif)
![$\displaystyle g=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&r^2&0\\ 0&0&r^2\sin^2\theta
\end{pmatrix}.
$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula379.gif)
![$ r=\textrm{const}$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula380.gif)
![$ \theta=\textrm{const}$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula381.gif)
![$ \lambda=\textrm{const}$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula382.gif)
Таким образом, свойства геометрии в криволинейной системе
координат определяются компонентами метрического
тензора. В дальнейшем мы будем рассматривать четырехмерное
пространство-время для вычисления эффектов теории относительности
(изменения хода часов, находящихся в гравитационном поле,
отклонения луча света). В четырехмерном пространстве-времени
имеется, следовательно, 16 компонент тензора, из них только 10
различны из-за симметричности тензора (четыре с одинаковыми
индексами и
с различными индексами).
<< 2.2. Скаляры, векторы, тензоры | Оглавление | 2.4. Основные формулы сферической >>
Публикации с ключевыми словами:
астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени
Публикации со словами: астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени | |
См. также:
Все публикации на ту же тему >> |