Rambler's Top100Astronet    
  по текстам   по ключевым словам   в глоссарии   по сайтам   перевод   по каталогу
 

На первую страницу Движущиеся оболочки звезд << Глава IV. Оболочки новых звезд | Оглавление | 4.2 Реальный атом >>

4.1 Атом с тремя уровнями

В этом параграфе число ионизованных атомов мы будем обозначать через n3 (вместо n+), а под статистическим весом третьего состояния будем понимать величину

$$
g_3 = g^+\frac{(2\pi mkT)^{\frac{3}{2}}}{n_e h^3} .
$$ (1)

Наряду с шириной спектральной линии Δν12 мы введем эффективные ширины Δν13 и Δν23 . Тогда формально третий уровень ничем не будет отличаться от первых двух. Разница между ними будет только та, что для излучения с частотой ν12 будет иметь значение эффект Доплера, а для излучения с частотами ν13 и ν23 - не будет.

Условия лучевого равновесия мы получим из условий цостоянства числа атомов в каждом из состояний. Для первого и третьего состояний эти условия имеют вид:

$$
\left.
\begin{array}{l}
n_1 B_{12}\rho_{12} + n_1 B_{13}\rho_{13} = n_2 A_{21} + n_3 A_{31} \\ n_1 B_{13}\rho_{13} + n_2 B_{23}\rho_{23} = n_3 A_{31} + n_3 A_{32}
\end{array}
\right\}
$$ (2)

Здесь мы пренебрегли переходами, вызванными столкновениями, а также эйнштейновским отрицательным поглощением. Введем теперь величины, обычно употребляемые в теории лучевого равновесия. Пусть aik - объемный коэффициент поглощения, Jik - интенсивность излучения, εik - количество энергии, излучаемое 1 см3 за 1 сек. в единичном телесном угле.

Мы имеем

$$
a_{ik} = \frac{n_i B_{ik} h\nu_{ik}}{c\Delta \nu_{ik}} ,
$$ (3)
$$
\rho_{ik} = \frac{1}{c} \int J_{ik} d\omega ,
$$ (4)
$$
4\pi\epsilon_{ik}\Delta\nu_{ik} = n_k A_{ki} h\nu_{ik} ,
$$ (5)

и уравнения (2) могут быть переписаны в виде:

$$
\left.
\begin{array}{l}
\frac{a_{12}\Delta\nu_{12}}{h\nu_{12}}\int J_{12} d\omega + \frac{a_{13}\Delta\nu_{13}}{h\nu_{13}}\int J_{13} d\omega = 4\pi\epsilon_{12}\frac{\Delta\nu_{12}}{h\nu_{12}} + 4\pi\epsilon_{13}\frac{\Delta\nu_{13}}{h\nu_{13}} \\ \\ \frac{a_{13}\Delta\nu_{13}}{h\nu_{13}}\int J_{13} d\omega + \frac{a_{23}\Delta\nu_{23}}{h\nu_{23}}\int J_{23} d\omega = 4\pi\epsilon_{13}\frac{\Delta\nu_{13}}{h\nu_{13}} + 4\pi\epsilon_{23}\frac{\Delta\nu_{23}}{h\nu_{23}} \end{array}
\right\}
$$ (6)

Естественно ввести здесь величины Kik и Cik, равные

$$
K_{ik} = J_{ik}\frac{\Delta\nu_{ik}}{h\nu_{ik}}, \quad C_{ik} = \epsilon_{ik}\frac{\Delta\nu_{ik}}{h\nu_{ik}}.
$$ (7)

Кроме того, положим

$$
\frac{a_{13}}{a_{12}} = \frac{B_{13}\nu_{13}\Delta\nu_{12}}{B_{12}\nu_{12}\Delta\nu_{13}} = q,
$$ (8)
$$
\frac{a_{13}C_{13}}{a_{23}C_{23}}=\frac{A_{31}}{A_{32}}=\frac{p}{1-p} .
$$ (9)

Тогда вместо (6) получаем

$$
\left.
\begin{array}{l}
C_{12}=\int K_{12}\frac{d\omega}{4\pi} - q\left(C_{13}-\int K_{13}\frac{d\omega}{4\pi}\right) \\ \\
C_{13}=p\int K_{13}\frac{d\omega}{4\pi} + p\frac{a_{23}}{a_{13}}\int K_{23}\frac{d\omega}{4\pi}
\end{array}
\right\}
$$ (10)

Так как отношение a23/a13 пропорционально величине C12, то, вообще говоря, второе из этих уравнений является нелинейным. Однако мы уже условились считать, что оптическая толщина оболочки в частоте ν23 меньше единицы. Поэтому величину ρ23 можно считать постоянной.

С помощью вышеприведенных формул легко находим

$$
\frac{a_{23}}{a_{13}}\int K_{23}\frac{d\omega}{4\pi} = \frac{g_3}{g_2}\frac{A_{32}}{A_{21}}\frac{W\rho_{23}}{q}C_{12} ,
$$ (11)

где использовано одно из обычных обозначений:

$$
\sigma_{ik} = \frac{8\pi h\nu_{ik}}{c^3}, \quad \bar \rho_{ik} = \frac{1}{e^{\frac{h\nu_{ik}}{kT}}-1}.
$$ (12)

Введем еще следующее обозначение:

$$
\gamma = 3p\frac{g_3}{g_2}\frac{A_{32}}{A_{21}}W\bar \rho_{23} .
$$ (13)

Тогда, подставляя (11) в (10), окончательно получаем

$$
\left.
\begin{array}{l}
C_{12}=\left(1-\frac{\gamma}{3}\right)\int K_{12}\frac{d\omega}{4\pi} + q(1-p)\int K_{13}\frac{d\omega}{4\pi} \\ \\
C_{13}=p\int K_{13}\frac{d\omega}{4\pi} + \frac{\gamma}{3q}\int K_{12}\frac{d\omega}{4\pi}
\end{array}
\right\}
$$ (14)

Таковы условия лучевого равновесия нашей задачи.

Введем оптические расстояния от внутренней границы оболочки в частотах ν12 и ν13:

$$
t=\int\limits_{r_1}^r a_{12}d_2, \quad \tau=\int\limits_{r_1}^r a_{13}d_2,
$$ (15)

где r1 и r суть расстояния внутренней границы оболочки и данного слоя от звезды. Обозначим через θ угол между направлением излучения и направлением внешней нормали к слою.

Тогда уравнение переноса излучения в частоте ν13 будет иметь обычный вид

$$
\cos\theta\frac{dK_{13}}{d\tau} = C_{13} - K_{13} .
$$ (16)

Но для излучения в частоте ν12, для которого играет роль эффект Доплера, в предыдущей главе мы получили более сложное уравнение (III, 17). Считая, что величина β мала, вместо уравнения (III, 17) приближенно находим

$$
K_{12}(t,\theta) = \int\limits_0^t C_{12}(t')e^{-(t-t')\sec\theta (1+\beta\sec^2\theta)}\sec\theta dt'
$$ (17)

Отсюда получается следующее уравнение переноса излучения в частоте ν12:

$$
\cos\theta\frac{dK_{12}}{dt} = -(1+\beta\cos^2\theta)K_{12} + C_{12} .
$$ (18)

Таким образом наша задача сводится к решению уравнений (14), (16) и (18).

В предыдущей главе, рассматривая лучевое равновесие планетарной туманности в частоте ν12, мы составили интегральное уравнение для величины C12. Теперь, для простоты, мы предпочли получить уравнение переноса (18) и решим задачу обычным методом Эддингтона.

Введем следующие обозначения:

$$
\bar K_{ik} = \int K_{ik}\frac{d\omega}{4\pi}, \quad H_{ik} = \int K_{ik}\cos\theta\frac{d\omega}{4\pi}.
$$ (19)
Из уравнений (16) и (18) находим:
$$
\frac{dH_{13}}{d\tau} = C_{13} - \bar K_{13}, \quad \frac{dH_{12}}{dt} = C_{12} -(1+\frac{\beta}{3})K_{12},
$$ (20)
$$
\frac{d\bar K_{13}}{d\tau} = -3H_{13}, \quad \frac{d\bar K_{12}}{dt} = -3H_{12}.
$$ (21)

(В последнем уравнении мы пренебрегали величиной β по сравнению с единицей). Эти уравнения с помощью (14) дают:

$$
\left.
\begin{array}{l}
\frac{d^2\bar K_{13}}{d\tau^2} = 3(1-p)\bar K_{13}-\frac{\gamma}{q}\bar K_{12} \\ \\
q^2\frac{d^2\bar K_{12}}{d\tau^2} = (\beta +\gamma )\bar K_{12}-3(1-p)q\bar K_{13}
\end{array}
\right\}
$$ (22)
Общее решение системы уравнений (22) имеет вид

$$
\bar K_{13} = Ae^{\lambda_1 \tau} + Be^{-\lambda_1 \tau}Ce^{\lambda_2 \tau} + De^{-\lambda_2 \tau}
$$ (23)
$$
\begin{array}{l}
\bar K_{12} = \frac{q}{\gamma}[3(1-p)-\lambda_1^2](Ae^{\lambda_1 \tau} + Be^{-\lambda_1 \tau}) + \\
+\frac{q}{\gamma}[3(1-p)-\lambda_2^2](Ce^{\lambda_2 \tau} + De^{-\lambda_2 \tau}),
\end{array}
$$ (24)

где λ1 и λ2 суть корни уравнения

$$
[\lambda^2-3(1-p)][q^2 \lambda^2 - (\beta + \gamma)]=3(1-p)\gamma,
$$ (25)

а A, B, C, D - произвольные постоянные

В дальнейшем мы будем считать, что

$$
\beta >> q^2 .
$$ (26)

Так как величина q2 очень мала (порядка 10-8), то это условие является выполненным для любой оболочки.

$$
\lambda_1 = \sqrt{3(1-p)\frac{\beta}{\beta + \gamma}} ,
$$ (27)
$$
\lambda_2 = \frac{1}{q}\sqrt{\beta + \gamma} $$ (28)
и вместо (24) имеем

$$
\bar K_{12} = \frac{3(1-p)q}{\beta + \gamma} (Ae^{\lambda_1 \tau} + Be^{-\lambda_1 \tau}) - \frac{\beta + \gamma}{q\gamma} (Ce^{\lambda_2 \tau} + De^{-\lambda_2 \tau}) .
$$ (29)

Чтобы найти произвольные постоянные А, В, С, D, надо задать граничные условия. Эти условия мы задаем в виде

$$ \left. \begin{array}{lr} 2H_{12} = \bar K_{12},\; 2H_{13} = \bar K_{13} & (при\; \tau=\tau_0) \\
2H_{12} + \bar K_{12} = 0,\; H_{13} = \frac{1}{4} S_{13} & (при\; \tau=0)
\end{array} \right\} $$ (30)

Величина πS13, т.е. число квантов в частоте ν13, падающих от звезды на внутреннюю границу оболочки, равна

$$
\pi S_{13} = W\sigma_{13}\bar \rho_{13} c\frac{\Delta\nu_{13}}{h\nu_{13}} .
$$ (31)

Наибольший интерес представляет случай, когда оптическая толщина оболочки в частоте ν13 значительно превосходит единицу (τ0 > 1). В чтом случае для средних частей оболочки мы легко получаем

$$ \left. \begin{array}{l} \bar K_{13} = \frac{3S_{13}}{4\lambda_1}e^{-\lambda_1 \tau} \\ \\
\bar K_{12} = \frac{3(1-p)q}{\beta + \gamma} \cdot \frac{3S_{13}}{4\lambda_1}e^{-\lambda_1 \tau}
\end{array} \right\} $$ (32)

(так как остальные члены, входящие в выражения для $\bar K_{13}$ и $\bar K_{12}$, играют лишь роль поправок вблизи границ). Подставляя (32) в (14), для C12 и C13 находим

$$ \left. \begin{array}{l} C_{12} = \frac{3(1-p)q}{\beta + \gamma} \cdot \frac{3S_{13}}{4\lambda_1}e^{-\lambda_1 \tau} \\ \\
C_{13} = \frac{p\beta + \gamma}{\beta + \gamma} \cdot \frac{3S_{13}}{4\lambda_1}e^{-\lambda_1 \tau}
\end{array} \right\} $$ (33)

Знание величин C12 и C13 позволяет найти степень возбуждения и ионизации в оболочке, т. е. величины n2/n1 и n3/n1. На основании соотношений (3), (5) и (7), мы имеем

$$
\frac{n_i}{n_1} = \frac{4\pi}{c}\frac{B_{1i}}{A_{i1}}\frac{h\nu_{1i}}{\Delta\nu{_{1i}}} C_{1i}
$$ (34)

и, подставляя (33) в (34) находим

$$ \left. \begin{array}{l} \frac{n_2}{n_1} = \frac{g_2}{g_1}\bar \rho_{12} \frac{3(1-p)\gamma}{(\beta + \gamma) \lambda_1 p} e^{-\lambda_1 \tau} \\ \\
\frac{n_3}{n_1} = W\frac{g_3}{g_1}\bar \rho_{13}\frac{3}{\lambda_1}\frac{p\beta + \gamma}{\beta + \gamma} e^{-\lambda_1 \tau}
\end{array} \right\} $$ (35)

Обозначим

$$
\beta = z\gamma .
$$ (36)

Тогда формулы (35) преобразуются к виду
$$
\frac{n_2}{n_1} = \frac{g_2}{g_1}e^{-\frac{h\nu_{12}}{kT}}\frac{1}{p} \sqrt{\frac{3(1-p)}{z(1+z)}}e^{-\tau \sqrt{\frac{3(1-p)z}{1+z}}} ,
$$ (37)

$$
\frac{n_3}{n_1} n_e = W\frac{g^+}{g_1} \frac{(2\pi mkT)^{\frac{3}{2}}}{h^3} e^{-\frac{h\nu_{13}}{kT}} \frac{3(1+pz)}{\sqrt{3(1-p)z(1+z)}}e^{-\tau \sqrt{\frac{3(1-p)z}{1+z}}} ,
$$ (38)

Эти формулы являются для нас окончательными. Отметим, что в случае неподвижной оболочки т. е. при β = 0, величины $\bar K_{12}$ и $\bar K_{13}$, а значит, и величины n2/n1 и n3/n1, являются не экспоненциальными, как получилось у нас, а линейными функциями от оптического расстояния.

До сих пор считалось, что в небулярных оболочках степень возбуждения и ионизации зависит от трех величин: от температуры звезды, от коэффициента дилюции и от плотности материи. Теперь мы видим, что она зависит также - и притом весьма сильно - от состояния движения оболочки. Чем больше градиент скорости в оболочке, тем меньше степень возбуждения и ионизации и тем быстрее она падает при переходе от внутренней границы оболочки к внешней.


<< Глава IV. Оболочки новых звезд | Оглавление | 4.2 Реальный атом >>
Публикации с ключевыми словами: оболочки звезд - перенос излучения
Публикации со словами: оболочки звезд - перенос излучения
См. также:

Оценка: 2.9 [голосов: 129]
 
О рейтинге
Версия для печати Распечатать

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце


Астронет | Научная сеть | ГАИШ МГУ | Поиск по МГУ | О проекте | Авторам

Комментарии, вопросы? Пишите: info@astronet.ru или сюда

Rambler's Top100 Яндекс цитирования