Топология и метрика пар кеплеровских орбит
<< 2. Евклидово расстояние между орбитами | Оглавление | 4. Естественные метрики в ... >>
3. Топологическое расположение пар кеплеровских орбит
в
пространстве
Пара эллипсов общего положения может быть вложена в трехмерное
пространство двумя топологически различными способами. Они могут быть
сцеплены (случай 
) и нет (случай 
). Вырожденный случай
пересечения 
разделяет и .
Алгебраическая топология оперирует с коэффициентом зацепления
, определенным на каждой паре топологических
окружностей и равным 
в случаях 
соответственно.
На практике эта разрывная функция неудобна. Для некомпланарных орбит
мы предлагаем простой непрерывный аналог 
величины 
,
отрицательный, положительный и равный нулю в вышеперечисленных случаях
и несущий дополнительные сведения о расстоянии между орбитами. Для
близких к пересечению орбит мало.
Т.к. критерий не годится в компланарном случае, мы вводим также
два дополнительных критерия 
и 
.
1. Пространственный случай. Пусть орбиты 
некомпланарны. Тогда
вектор
параллелен линии взаимных узлов и
. Очевидно,
 |
 |
 |
|
 |
|
 |
Радиусы
точек эллипсов , лежащих на линии узлов в
направлении вектора 
, находятся элементарно, как и радиусы
аналогичных точек на противоположной стороне линии
узлов. Определим коэффициент зацепления
Он не зависит от координатной системы. Кроме того,
.
Очевидно, непрерывен на пространстве некомпланарных эллипсов и
принимает отрицательные, положительные и нулевые значения в случаях
, , соответственно. Нетрудно получить явное выражение
через орбитальные элементы
где
- параметр орбиты,
разрывна на множестве компланарных пар, хотя и
ограничена в их окрестности. Она бесполезна в случае малого взаимного
наклона. В последнем случае можно пользоваться всюду непрерывным
коэффициентом
В случае
он отрицателен. В случае он неотрицателен, но
обращается в нуль не только в случае пересечения орбит, но и в
компланарном случае
.
2. Компланарный случай. Если взаимный наклон равен нулю, то
не определен, а равен нулю. Мы не можем различить случаи
и (случай не встречается в двумерном пространстве).
Чтобы заполнить лакуну, введем третий коэффициент
имеющий смысл только в компланарном случае.
Именно, 
, если 
, 
не пересекаются (случай );
- в противоположном случае . Точнее,
отвечает трансверсальному пересечению в двух точках;
отвечает единственной общей точке, в которой ,
касаются друг друга, или наиболее вырожденному случаю 
. Стоит
заметить, что непрерывен на множестве пар компланарных
эллипсов.
Из свойств можно попутно вывести заключение о числе
точек пересечения кеплеровских орбит .
Существует пять и только пять вариантов:
- .
- и имеют общую часть, хотя
. Это возможно
только в случае двух прямолинейных орбит.
- и имеют ровно две общие точки, в обоих пересечение
трансверсально.
- и имеют ровно одну общую точку, в которой
трансверсально пересекаются или касаются. В последнем случае они
лежат в одной плоскости и одна из них лежит внутри другой.
- и не имеют общих точек.
<< 2. Евклидово расстояние между орбитами | Оглавление | 4. Естественные метрики в ... >>
|
Публикации с ключевыми словами:
Небесная механика - кеплеровы орбиты
Публикации со словами: Небесная механика - кеплеровы орбиты | |
См. также:
Все публикации на ту же тему >> | |
