Rambler's Top100Astronet    
  по текстам   по ключевым словам   в глоссарии   по сайтам   перевод   по каталогу
 

На первую страницу Размерности и подобие астрофизических величин << § 4.1 Основные уравнения теории внутреннего строения звезд | Оглавление | § 4.3 Белые карлики и нейтронные звезды >>

§ 4.2 Политропные и конвективные звезды

Рассмотрим сначала более простой случай, когда давление вещества и его плотность повсюду внутри звезды связаны простой однозначной политропной зависимостью. Как уже отмечалось, приближенно такими свойствами обладают либо те звезды, в которых энергия целиком переносится конвекцией, либо звезды, давление в которых связано в основном с вырождением электронного или нейтронного газа.

Правда, в реальных звездах политропная зависимость с одними и теми же значениями Kγ и γ не может описывать всей структуры. Наружные слои белых карликов состоят из невырожденного газа, в их центральных частях электроны частично становятся релятивистскими. Показатель γ у конвективных звезд меняется с глубиной, да и мало вероятно существование звезд, у которых по всей толще энергия переносится конвекцией - по крайней мере в ее атмосферных слоях появляется и лучистый перенос. Тем не менее рассмотрение политропных моделей с постоянными Kγ и γ оказывается очень полезным. Их можно считать первым приближением к звездным моделям и изучать на основе политропных моделей некоторые свойства звезд. Наконец, здесь нагляднее всего иллюстрируется принцип подобия звездных моделей. В этом параграфе будут рассмотрены общие политропные модели. Затем мы обсудим очень простой случай полностью конвективных звезд. Белые карлики и звезды будут рассмотрены в следующем параграфе.

Запишем снова основные уравнения политропной модели:

$$
\frac{dp}{dr} = -\frac{GM(r)}{r^2}\rho, \quad \frac{dM}{dr} = 4\pi\rho r^2, \quad p=K_\gamma\rho^\gamma.
$$ (4.31)

Этих уравнений достаточно для решения задачи.

Сформулируем теперь граничные условия. В центре звезды при r → 0 первого уравнения имеется особая точка; очевидно, что здесь должно быть М(r) → 0. Кроме того, из физических соображений можно потребовать ограниченности плотности и давления в центре звезды. Наружную границу звезды определим условием ρ = 0. Очевидно, что в этом случае согласно (4.31) и давление должно стремиться к нулю.

Прежде чем заниматься решением уравнений (4.31), воспользуемся соображениями анализа размерностей, учитывая основные параметры звезды. Очевидно, что таковыми являются только полная масса М и радиус R объекта. Определяющим параметром также является и "политропная температура" Kγ. Из четырех определяющих параметров: М, R, G и Kγ составляется одна безразмерная комбинация, которую мы уже определили в гл. 3 формулой (3.17):

$$
\Pi_\gamma = K_\gamma C^{-1}M^{\gamma - 2}R^{4-3\gamma}.
$$ (4.32)

Численное значение Πγ из соображений анализа размерностей не определяется, поэтому в гл. 3 эта величина осталась произвольной. Теперь мы ее найдем из уравнений (4.31). Приведем их к безразмерному виду введением новых безразмерных переменных:

$$
\begin{array}{l}
x=\frac{r}{R},\\
q(x) = \frac{M(r)}{M}, \\
p(x) = \frac{4\pi R^4}{GM^2}p(r), \\
\sigma(x) = \frac{4\pi R^4}{M}\rho(r).
\end{array} $$ (4.33)

Тогда получим

$$
\begin{array}{l}
\frac{dp}{dx} = -\frac{q\sigma}{x^2},\\
\frac{dq}{dx} = \sigma x^2, \\
p(x) = \frac{\Pi^\gamma}{(4\pi)^{\gamma-1}}\sigma^{\gamma}.
\end{array} $$ (4.34)

где Πγ - тот же безразмерный комплекс (4.32).

Система (4.34) должна решаться при следующих граничных условиях, записанных в безразмерных переменных:

$$
\begin{array}{l}
x = 0, \, q = 0, \, p, \, \sigma - \mbox{ограничены},\\
x = 1, \, q = 1, \, p = \sigma = 0.
\end{array} $$ (4.35)

Очевидно, что уравнения (4.34) и условия (4.35) являются типичной задачей на собственные значения. Решение этих уравнений, удовлетворяющих граничным условиям (4.35), возможно только при определенном значении единственного численного параметра Πγ. Численное решение системы (4.34) - (4.35) и позволяет определять параметры Πγ. Эти данные приведены в табл. 1 (численные значения комплексов для других значений γ можно найти в [5]):

Таблица 1
γ 3 2 5/3 3/2 4/3 5/4
$\Pi^\gamma$ 2,270 0,637 0,424 0,365 0,364 0,477
$\frac{\sigma(0)}{3} = \frac{\rho_c}{\rho}$ 1,836 3,290 5,991 11,043 54,183 622,408

В последней строке таблицы приведено отношение центральной плотности конфигурации к ее средней плотности - величина, в три раза меньшая значения безразмерной функции σ(0) в центре конфигурации.

То, что мы сделали выше, и есть применение принципа подобия. Звезды с одинаковым индексом политропы у имеют одинаковое строение, одинаковую концентрацию вещества к центру. Радиусы звезд разных масс, но построенных по одинаковой политропе, определяются по соотношению (4.32). Важно, что применение принципа подобия позволило определить и численное значение параметра Πγ - в этом и проявляется преимущество метода подобия перед простым анализом размерностей, применимом в случае, когда имеются точные уравнения, описывающие само явление.

Свойства политропных моделей неоднократно исследовались самым общим образом (см., например, работу [5]). Здесь они также рассматривались в гл. 3, где к полученным там результатам можно теперь добавить значение численного безразмерного комплекса Πγ. В частности, имеем следующее точное выражение для массы звезды с политропным показателем γ = 4/3 и данной политропной температурой

$$
M_{4/3} = \left(\frac{K_{4/3}}{\Pi_{4/3}G}\right)^{3/2} = 4,6\left(\frac{K_{4/3}}{G}\right)^{3/2}. $$ (4.36)

Из численных значений величии Πγ, приведенных выше, следует, что в области γ ≈ 1,5 - 1,33 величина Πγ почти не меняется при изменении γ. Это обстоятельство позволяет сделать другой важный вывод. Рассмотрим последовательность политропных моделей, имеющих одинаковую массу M0, одинаковое значение Kγ, но различные значения γ в небольшом интервале 1,35 < γ < 1,5. Здесь почти одинаковы и Πγ. Такую последовательность всегда можно осуществить, поскольку при γ ≠ 4/3 масса политропной модели может быть произвольной. Посмотрим теперь, как меняется радиус у этой последовательности моделей при уменьшении γ . Из (4.36) следует:

$$
R \approx \left(\frac{K_{4/3} M_0^{2-\gamma}}{0,36G}\right)^{\frac{1}{4-3\gamma}}.
$$ (4.37)

Будем теперь приближать γ к 4/3. Показатель 1/(4-2γ) стремится к -∞, а величина в скобках остается большей единицы, если M0 > M4/3. Отсюда следует, что радиусы таких моделей стремятся к нулю. Это и есть доказательство коллапса звездных моделей с массой, большей предела (4.36), при стремлении показателя γ к 4/3 сверху.

Перейдем теперь к рассмотрению моделей полностью конвективных звезд. Как правило, конвективный перенос энергии имеет место в относительно холодных звездах, где β ≈ 1 и где поэтому γ = 5/3. Это условие будем считать выполненным. Величина K5/3 в политропной отношении р=K5/3ρ5/3 зависит от энтропии газа, которая считается постоянной по всей массе звезды. Напомним, что мы предполагаем конвекцию адиабатической. Но лучше параметр K5/3 выразить через центральную температуру звезды Tc. Учтем также, что центральная плотность политропы с γ = 5/3 больше средней в 5,991 раз. Имеем

$$
K_{5/3} = \frac{\Re}{\mu}\frac{T_c}{\rho_c^{5/3}} = 1,62\frac{\Re}{\mu}\frac{T_c R^2}{M^{2/3}}.
$$ (4.38)

Возвращаясь к основному соотношению (4.32), получаем связь между тремя основными параметрами М, R и Т:
$$
\frac{\Re T_c}{\mu}\frac{R}{GM} = 0,260.
$$ (4.39)

Если считать массу звезды заданной, то одного соотношения (4.39) недостаточно для определения радиуса или центральной температуры звезды. Необходимы дополнительные связи, которые должны включать и новые параметры, характеризующие звезду.

Очевидно, что таким параметром должна быть светимость, также характеризующая центральную температуру звезды. Предположим, что источники энергии описываются общим соотношением (4.24). Распределение плотности и температуры в звезде задано условием конвективного переноса энергии и поэтому достаточно вычислить просто первый интеграл (4.15) при rR. Переходя к безразмерным переменным (4.33) и учитывая, что
$$
\frac{T}{T_c} = \left(\frac{\rho}{\rho_c}\right)^{2/3} = \left(\frac{\sigma}{\sigma(0)}\right)^{2/3},
$$

находим
$$
L = 4\pi \epsilon_0 R^3 \left(\frac{M}{4\pi R^3}\right)^{m+1}\frac{T_c^n}{\sigma_{\epsilon}^{\frac{2n}{3}}}\int\limits_0^1 \sigma^{m+1+\frac{2n}{3}}x^2dx.
$$ (4.40)

Степень m + 1 + 2n/З достаточно велика у всех типов термоядерных реакций. Поэтому выделение энергии сосредоточено только в небольшом объеме вблизи центра звезды. Это означает, что можно вычислить интеграл в (4.40), воспользовавшись подходящей аппроксимацией σ(х) при x → 0. Удобным соотношением, справедливым для политропы с любым показателем, является формула
$$
\sigma = \sigma(0)e^{-\frac{x^2}{6}},
$$ (4.41)

которая удовлетворяет также необходимому условию dσ/dx = 0 при x=0. Подставляя (4.41) в (4.40), находим окончательно:
$$
L = \epsilon_0 \left(\frac{6\pi}{m+1+\frac{2n}{3}}\right)^{3/2} \left(\frac{\sigma(0)}{4\pi}\right)^{m+1} \frac{M^{m+1}}{R^{3m}}T_c^n.
$$ (4.42)

Это и есть искомое выражение светимости через М, R и Tc. Исключая из (4.42) и (4.39) центральную температуру Tc, получим одно соотношение между М, L и R. Эта формула имеет вид
$$
L = \epsilon_0 \left(\frac{6\pi}{m+1+\frac{2n}{3}}\right)^{3/2} \left(\frac{3}{2\pi}\right)^{m+1} (0,26)^n \left(\frac{G\mu}{\Re}\right)^{n} \frac{M^{m+n+1}}{R^{3m+n}}.
$$ (4.43)

У холодных звезд с конвективным переносом основным источником энергии является протонная реакция при n ≈ 6 и m = 1. Тогда из (4.43) имеем

$$
L \sum \frac{M^8}{R^9}.
$$

Второе соотношение, связывающее эти три параметра, может быть получено из анализа условий в звездных атмосферах. Приближенно это сделать трудно, даже выполнение численных расчетов на ЭВМ связано с преодолением многих сложных проблем. Поэтому мы здесь не будем этим заниматься. Кроме того, предположение о полностью конвективной модели является далеко идущей идеализацией. Теоретические расчеты дают для холодных звезд-карликов зависимость L ∼ М1,7, но у них имеются и области с лучистым переносом энергии.

Несколько более подробно модели звезд, в том числе и тех из них, где существенна роль конвективного переноса энергии, обсуждаются в последнем параграфе этой главы.


<< § 4.1 Основные уравнения теории внутреннего строения звезд | Оглавление | § 4.3 Белые карлики и нейтронные звезды >>

Мнения читателей [4]
Оценка: 2.9 [голосов: 128]
 
О рейтинге
Версия для печати Распечатать

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце


Астронет | Научная сеть | ГАИШ МГУ | Поиск по МГУ | О проекте | Авторам

Комментарии, вопросы? Пишите: info@astronet.ru или сюда

Rambler's Top100 Яндекс цитирования