Rambler's Top100Astronet    
  по текстам   по ключевым словам   в глоссарии   по сайтам   перевод   по каталогу
 

На первую страницу Размерности и подобие астрофизических величин << § 3.1 Соотношение масса — светимость | Оглавление | § 3.3 Белые карлики, нейтронные звезды и "черные дыры" >>

§ 3.2 Равсновесие и устойчивость звезд

В следующей главе мы будем заниматься анализом уравнений равновесия звезд с точки зрения критериев подобия. Однако и не прибегая к анализу уравнений внутреннего строения звезд, можно получить из одних только соображений анализа размерностей ряд соотношений, описывающих условия равновесия и устойчивости звезд.

Равновесие звезд обеспечивается тем, что сжатию под действием собственного тяготения препятствует давление вещества. Размерность давления:

$$
[p] = \frac{\mbox{эрг}}{\mbox{см}^3} = \frac{\mbox{г}}{\mbox{см} \cdot \mbox{сек}^2}.
$$ (3.12)

Условие равновесия определяется безразмерной комбинацией четырех определяющих параметров: G, М, R и р. Здесь только один безразмерный комплекс:

$$
\Pi = GM^2 R^{-4} p^{-1},
$$ (3.13)

откуда следует общее соотношение:

$$
p = const \cdot \frac{GM^2}{R^4} \approx const \cdot \frac{|U|}{R^3},
$$ (3.14)

где U - полная энергия звезды согласно (2.28).

Соотношения (3.13) - (3.14) можно использовать тогда, когда величина давления задана - отсюда можно определить радиус теля данной массы. Однако, как правило, задано не давление, а его зависимость от других параметров. Простейший случай, который мы сначала рассмотрим, соответствует однозначной зависимости между давлением р и плотностью ρ. Соображения анализа размерностей удобно применять тогда, когда эти зависимости степенные. Будем применять политропное соотношение

$$
p = K_{\gamma}\rho^{\gamma} = K_{\gamma}\rho^{1+\frac{1}{n}},
$$ (3.15)

уже введенное феноменологически в гл. 2. Как мы увидим ниже, это соотношение часто описывает вполне реальные уравнения состояния вещества в недрах звезд.

В задаче определения условия равновесия звезды с политрапным уравнением состояния есть также только четыре размерных параметра: G, М, R и

$$
[K_{\gamma}] = \frac{\mbox{см}^{3\gamma - 1}}{\mbox{г}^{\gamma -1} \cdot \mbox{сек}^2}.
$$ (3.16)

Имеем матрицу размерности:

$$
\begin{matrix}
\, & [M] & [R] & [G] & [K_\gamma] \\
\mbox{г}&1&0&-1&1-\gamma \\
\mbox{см}&0&1&3&3\gamma - 1 \\
\mbox{сек}&0&0&-2&-2\\
\end{matrix}
$$

Решение этой матрицы дает только один безразмерный комплекс:

$$
\Pi_\gamma = K_\gamma G^{-1}M^{\gamma - 2} R^{4 - 3\gamma} $$ (3.17)

Это соотношение определяет, например, радиус конфигурации данной массы с заданными величинами Kγ и γ. Условие (3.17) можно получить из (3.13), если там заменить р на (3.15), причем вместо плотности ρ подставить M/R3.

Значение Пγ из соображений анализа размерностей не определяется, но эту величину нетрудно найти из решения уравнений равновесия (см. таблицу на стр.128).

Простое соотношение (3.17) при Пγ = const позволяет изучить, по крайней мере качественно, многие характерные особенности равновесия звезд или вообще гравитирующих конфигураций с противодавлением.

Случаю γ → ∞ (n = 0) соответствуют шары из несжимаемой жидкости. Здесь просто M ∼ R3, поскольку плотность таких шаров постоянна. Случай γ = 2 (или n = 1) иногда применяют для очень грубого описания уравнения состояния твердого тела, поэтому этот случай ранее использовался для оценки свойств планет. Впрочем, это очень грубое приближение и в настоящее время им не пользуются. Но этот случай интересен тем, что здесь радиус конфигурации совсем не зависит от еэ массы; полагая П2 ≈ 1, имеем

$$
R \approx \sqrt{\frac{K_2}{G}}.
$$ (3.18)

Следующий особый случай: γ = 4/3 (n=3). Здесь масса конфигурации однозначно определена величиной K4/3 и радиус ее может быть произвольным. Имеем при П4/3 = 1:

$$
M \approx \left({\frac{K_{4/3}}{G}}\right)^{3/2}.
$$ (3.19)

Анализ уравнений равновесия показывает, что политропные конфигурации возможны лишь при γ ≥ 6/5 (n ≤ 5). Случаю γ = 6/5 и n = 5 соответствует конфигурация конечной массы, но бесконечного радиуса. Заметим, что при γ = 6/5 вместо соотношения (3.17) можно написать безразмерную комбинацию

$$
\Pi_{6/5} = K_{6/5}G^{3/2}|U|^{2/5},
$$ (3.20)

где U - полная энергия такой конфигурации, которая тоже остается конечной. При γ < 6/5 и масса и радиус равновесных конфигураций должны быть бесконечными.

Таким образом, равновесие гравитирующих политропных звезд возможно лишь в интервале значений 6/5 ≤ γ < ∞ или 0 ≤ n ≤ 5. Однако не во воем этом интервале они устойчивы. Критерий устойчивости также следует из (3.17), который, однако, лучше записать в виде

$$
\frac{GM^2}{R^4} = \frac{K_\gamma}{\Pi_\gamma}\left(\frac{M}{R^3}\right)^\gamma.
$$ (3.21)

Каждая из частей этого равенства есть давление в конфигурации, причем знак равенства соответствует равновесию между собственным гравитационным притяжением и противодавлением.

Пусть теперь радиус конфигурации R самопроизвольно уменьшается. При этом обе части равенства (3.21) возрастут. Если 3γ > 4, то противодавление возрастет больше и конфигурация вернется в прежнее состояние. Если же Зγ < 4, то собственное притяжение возрастает быстрее противодавления и конфигурация начнет самопроизвольно сжиматься. Итак, политропные шары при γ < 4/3 неустойчивы и существовать не могут.

Учет эффектов общей теории относительности, вращения и других причин делает неустойчивыми конфигурации и при слегка превышающем 4/3. Например, с учетом эффектов общей теории относительности находим, что устойчивы лишь конфигурации с

$$
\gamma - \frac{4}{3} \gtrsim \frac{R_g}{R}.
$$ (3.22)

Из соотношения (3.17) также следует, что центральные плотности для конфигураций с данными значениями γ и Kγ зависят от их массы следующим образом:

$$
\rho_c \sim M^{\frac{3\gamma - 4}{2}}.
$$ (3.23)

При γ > 4/3 с увеличением массы растет и центральная плотность. Уменьшение центральной плотности при увеличении массы при γ < 4/3 также означает неустойчивость подобных конфигураций.

Пока рассмотрение было общим, мы не касались физической природы противодавления. Теперь рассмотрим конкретнее различные физические причины, определяющие давление вещества в звездах.

В подавляющем большинстве звезд главной последовательности основной причиной противодавления является газовое и лучевое давление. Имеем из известных уравнений состояния:

$$
p = p_{gas} + p_{radiation} = \frac{\mathfrak{R}}{\mu}\rho T + \frac{4}{3}\frac{\sigma}{c}T^4,
$$ (3.24)

где σ - постоянная Стефана - Больцмана и с - скорость света. Подставляя (3.24) в (3.14), мы прежде всего можем оценить характерную температуру в недрах газовых звезд. Если лучевым давлением можно пренебречь (что обычно имеет место для не слишком массивных звезд), то оценка температуры

$$
T \approx \frac{\mu G M}{\mathfrak{R}R}.
$$ (3.25)

Естественно, что и эту формулу можно получить из соображений анализа размерностей. Более подробно мы будем рассматривать газовые звезды с малым лучевым давлением в следующей главе.

Очевидно, что чем больше масса стационарной звезды, тем больше и температура в ее недрах. С ростом температуры растет и роль лучевого давления. Рассмотрим несколько идеализированный, на первый взгляд, случай, когда по всей звезде газовое давление примерно равно лучевому, т. е.

$$
\frac{\mathfrak{R}}{\mu}\rho T = \frac{4}{3}\frac{\sigma}{c}T^4.
$$ (3.26)

Здесь ρ ∼ T3, а следовательно, и давление р ∼ ρT3 ∼ ρ4/3. Таким образом, подобная звезда описывается политропным законом (3.15) с γ = 4/3 и

$$
K_{4/3} = 2\left(\frac{\mathfrak{R}}{\mu}\right)^{\frac{4}{3}} \left(\frac{3c}{4\sigma}\right)^{\frac{1}{3}}.
$$ (3.27)

Масса такой звезды согласно (3.19) оказывается вполне определенной:

$$
M_{lim} = \left(\frac{K_{4/3}}{\Pi_{4/3}G}\right)^{\frac{3}{2}} = \left(\frac{2}{\Pi_{4/3}G}\right)^{\frac{3}{2}} \left(\frac{\mathfrak{R}}{\mu}\right)^2 \left(\frac{3c}{4\sigma}\right)^{\frac{1}{2}}.
$$ (3.28)

Подставляя численное значение постоянных и принимая П4/3 = 0,363 (см. гл. 4), получим

$$
M_{lim} \approx \frac{48}{\mu^2}M_{\odot}.
$$ (3.29)

У горячих звезд молекулярный вес обычно близок к μ ≈ 0,5-0,8; этому значению соответствует полная ионизация водорода, основной компоненты вещества звезд. Отсюда масса таких звезд порядка 100-200 масс Солнца. Обычно это значение считается предельным для массы стационарных газовых звезд, хотя, по-видимому, не наблюдались звезды с массой, большей 60-80 солнечных.

У звезд больших масс лучевое давление оказывается больше газового, и здесь показатель политропы оказывается в опасной близости к точному значению γ = 4/3. Такие конфигурации, как мы видели, неустойчивы. Чем больше роль газового давления, тем больше отклонение реального значения γ от 4/3.

Предположение о пропорциональности лучевого и газового давления по всему объему звезды было сделано Эддингтоном при первом построении звездных моделей.

Основанная на этом предположении так называемая стандартная модель сыграла большую роль в развитии теории внутреннего строения звезд. Хотя теперь стандартная модель и считается пройденным этапом, все же она более или менее удовлетворительно описывала некоторые особенности строения звезд. В частности, как мы видели выше, она позволила получить неплохую оценку верхнего предела массы звезд.

Впрочем, оценки устойчивости массивных звезд должны учитывать еще ряд эффектов, как, например, образование электронно-позитронных пар (ем. [2]). Четких оценок верхнего предела массы устойчивых газовых звезд пока нет.

Однако для звезды данной массы легко получить оценку ее максимальной светимости - так называемый предел Эддингтона. Очевидно, что светимость звезды не может быть больше того значения, при котором лучевое давление на наружный слой равно гравитационному притяжению. Сила притяжения единицы объема в слое с плотностью ρ со стороны звезды равна

$$
f = \frac{GM\rho}{R^2}.
$$ (3.30)

Размерность этой величины г/(см2 ⋅ сек2). С другой стороны, лучевое давление в этом же слое связано с поглощением или рассеянием импульса, переносимого излучением. Поток излучения через единичную площадку равен

$$
F = \frac{L}{4\pi R^2},
$$ (3.31)

а его импульс есть

$$
p = \frac{F}{c} = \frac{L}{4\pi R^2 c},
$$ (3.32)

Поглощаемый или рассеиваемый в единице объема поток энергии зависит от коэффициента поглощения и плотности среды и, очевидно, равен

$$
\frac{\varkappa\rho F}{c} = \frac{\varkappa\rho L}{4\pi R^2 c},
$$ (3.33)

с той же размерностью, что и (3.30). Приравнивая обе величины, получаем верхний предел светимости

$$
L_{max} = 4\pi\frac{GMc}{\varkappa}.
$$ (3.34)

При большой светимости и высокой температуре основным механизмом поглощения является томсоновское рассеяние на свободных электронах (2.45) - (2.46). Отсюда находим

$$
\frac{L_{max}}{M} = \frac{3}{2}\frac{Gm_p c \mu_e}{r_0^2} \approx 6,1 \cdot 10^4 \frac{\mbox{эрг}}{\mbox{г} \cdot \mbox{сек}}.
$$ (3.35)

У звезд с массой, равной массе Солнца, эддингтоновский предел светимости

$$
L_{max} = 1,2 \cdot 10^{38} \frac{\mbox{эрг}}{\mbox{сек}} \approx 4 \cdot 10^4 L_{\odot}.
$$

Сравнение (3.35) с (3.11) дает еще один предел массы газовых звезд Mlim ≈ 200 М, который того же порядка, что и (3.29).


<< § 3.1 Соотношение масса — светимость | Оглавление | § 3.3 Белые карлики, нейтронные звезды и "черные дыры" >>

Мнения читателей [4]
Оценка: 2.9 [голосов: 128]
 
О рейтинге
Версия для печати Распечатать

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце


Астронет | Научная сеть | ГАИШ МГУ | Поиск по МГУ | О проекте | Авторам

Комментарии, вопросы? Пишите: info@astronet.ru или сюда

Rambler's Top100 Яндекс цитирования