Rambler's Top100Astronet    
  по текстам   по ключевым словам   в глоссарии   по сайтам   перевод   по каталогу
 

На первую страницу << Предисловие | Оглавление | 2. Релятивистский газ с вырождением >>

Часть I. ФИЗИКА ЗВЕЗДНОЙ МАТЕРИИ

Глава 1. Термодинамические свойства вещества

Разделы


Вещество большинства звезд имеет высокую температуру и сравнительно умеренную плотность. В этих условиях кинетическая энергия частиц много больше энергии взаимодействия между ними и модель нерелятивистского, невырожденного идеального газа оказывается хорошим приближением к реальности. Термодинамические свойства вещества планет, например. Земли, изучены гораздо хуже. Температура их при той же плотности значительно ниже и вещество находится в жидкой и твердой фазах, исследование которых сопряжено с существенными трудностями.

В недрах звезд вещество и излучение находятся в термодинамическом равновесии, которое устанавливается быстрыми процессами столкновений частиц, поглощением и испусканием фотонов. Излучение, наряду с газом, создает давление, противодействующее силе тяжести.

Вещество звезд состоит из различных химических элементов, основными из которых являются водород и гелий. На Солнце, например, они составляют в сумме более 98,5% плотности вещества. Остальная часть массы Солнца состоит из смеси практически всех стабильных изотопов таблицы Менделеева. В табл. 1 указано содержание наиболее обильных элементов, наблюдаемых на Солнце [5]. При изменении от центра до поверхности звезды температуры на три-четыре порядка и плотности на ~ 10 порядков изменяется состояние ионизации вещества.

В центральных областях звезд с $\emph{М} \geq \emph{М}_{\odot } $ все атомы практически полностью ионизованы.

Пусть $i$ - номер химического элемента, который может находиться в различных состояниях ионизации от нейтрального (\( j=0 \)) до полностью ионизованного (\( j=i \)). Обозначим через \( \epsilon_{\textrm{ij}} \) энергию связи \( j \)-кратно ионизованного иона элемента \( i \), определяемую так, что для полностью ионизованного иона \( \epsilon_{\textrm{ij}} \) = 0. Удельная энергия Е (эрг г-1), давление Р (дин см-2) и удельная энтропия S (эрг г-1 К-1) данной смеси атомов, ионов и электронов с излучением имеют вид [145] .


$$
%\begin{displaymath}
%E=\frac{3}{2}\frac{kT}{\mu m_{u}}+\frac{aT^{4}}{\rho }-\Sigma _{i}\Sigma ^{i}_{j=0}\frac{x_{i}}{m_{i}}y_{ij}\epsilon _{ij} \end{displaymath}
E={3\over2}{kT\over\mu m_{\rm u}}+ {\alpha T^4\over\rho}-
\sum_i \sum_{j=0}^i {x_i\over m_i} y_{ij} \epsilon_{ij},
$$ (1.1)


$$
%\begin{displaymath}P=\frac{\rho kT}{\mu m_{u}}+\frac{1}{3}aT^{4} \end{displaymath}
P = {\rho k T\over\mu m_{\rm u}}+{1\over 3}\alpha T^4,
$$ (1.2)


$$
%\begin{displaymath}S=\frac{k}{\rho }\Sigma _{i}\Sigma _{j=0}^{i}n_{ij}\left\{ \frac{5}{2}+\ln\left[ \left( \frac{m_{i}kT}{2\pi \hbar ^{2}}\right) ^{3/2}\frac{g_{ij}}{n_{ij}}\right] \right\} +\frac{k}{\rho }n_{e}\left\{ \frac{5}{2}+\ln\left[ \left( \frac{m_{e}kT}{2\pi \hbar }\right) ^{3/2}\frac{2}{n_{e}}\right] \right\} +\frac{4}{3}\frac{aT^{3}}{\rho } \end{displaymath}
\eqalign{
S&={k\over\rho}\sum_i \sum_{j=0}^i n_{ij}\left\{ {5\over 2} \ln\left[
\left(m_i k T\over 2\pi \hbar^2\right)^{3/2}
{g_{ij}\over n_{ij}}\right]\right\}\cr
&\qquad+{k\over \rho} n_{\rm e} \left\{ {5\over 2}+\ln\left[
\left(m_{\rm e} k T\over 2\pi \hbar^2\right)^{3/2} {2\over n_{\rm e}} \right]\right\}
+{4\over 3} {a T^3\over \rho},\cr
}
$$ (1.3)

Здесь использованы обозначения:

\( \rho \) - плотность,

\( T \) - температура,

\( k=1.38067\cdot 10^{-16}\mbox{~эрг}\cdot \mbox{K}^{-1} \) - постоянная Больцмана,

\( \hbar =1.0546\cdot 10^{-27}\mbox{~эрг}\cdot \mbox{с} \) - постоянная Планка,

\( a=\pi ^{2}k^{4}/15\hbar ^{3}c^{3}=7.565\cdot 10^{-15}\mbox{~эрг}\cdot \mbox{см}^{-3}\cdot \mbox{K}^{-4} \) - постоянная плотности излучения,

\( c=2.9979\cdot 10^{10}\mbox{~см}\cdot \mbox{с}^{-1} \) - скорость света в вакууме,

\( x_{ij} \) - массовая доля элемента с атомным номером i,


Таблица 1. Распространенность наиболее обильных химических элементов (Солнце, [5])
Элемент Символ Атомный
номер
Атомная
масса
Десятичный логарифм
распространенности
по числу атомов по массе
Водород H 1 1.0080 12.00 12.00
Гелий He 2 4.0026 10.93 11.53
Углерод C 6 12.0111 8.52 9.60
Азот N 7 14.0067 7.96 9.11
Кислород О 8 15.9994 8.82 10.02
Неон Ne 10 20.179 7.92 9.22
Натрий Na 11 22.9898 6.25 7.61
Магний Mg 12 24.305 7.42 8.81
Алюминий Al 13 26.9815 6.39 7.78
Кремний Si 14 28.086 7.52 8.97
Фосфор P 15 30.9738 5.52 7.01
Сера S 16 32.06 7.20 8.71
Хлор Cl 17 35.453 5.6 7.2
Аргон Аг 18 39.948 6.8 8.4
Кальций Са 20 40.08 6.30 7.90
Хром Сг 24 51.996 5.85 7.57
Марганец Mn 25 54.9380 5.40 7.14
Железо Fe 26 55.847 7.60 9.35
Никель Ni 28 58.71 6.30 8.07
Относительное содержание по массе: Число нуклонов на ядро,
Водород X\( _{\textrm{H}} \)=0.73 \( \mu \)\( _{\textrm{n}} \)=1.26
Гелий X \( _{\textrm{He}} \)=0.25 Средняя атомная масса при полной ионизации
Прочие элементы \( \Sigma \)x\( _{\textrm{i}} \)=0.017 \( \mu \)=0.60

\( y_{ij} \) - степень \( j \)-кратной ионизации \( j \)-го элемента, так что \( \sum _{j=0}^{i}y_{ij}=1 \),

\( m_{i}\approx A_{i}m_{u} \) - масса ядра атома с номером \( i \) и атомной массой \( A_{i}\geq 4 \)

\( m_{u}=1.66057\cdot 10^{-24} \) г - атомная единица массы, равная 1/12 массы изотопа \( ^{12}C \),

\( m_{e}=9.10953\cdot 10^{-28} \) г - масса электрона1,


$$
%\begin{displaymath}n_{ij}=x_{i}\rho y_{ij}/m_{i} \mbox{~см}^{-3} \end{displaymath}
n_{ij}=x_i \rho y_{ij}/m_i \mbox{\rm~cm}^{-3}
$$ (1.4)

- концентрация ионов элемента \( i \) в \( j \)-м состоянии ионизации,

\( g_{ij} \) - статистический вес иона \( i \)-го элемента в \( j \)-м состоянии ионизации,


$$
%\begin{displaymath}n_{e}=\Sigma _{i}\Sigma _{j=1}^{i}jn_{ij} \mbox{~см}^{-3} \end{displaymath}
n_{\rm e}=\sum_i \sum_{j=1}^i jn_{ij} \mbox{\rm~cm}^{-3}
$$ (1.5)

- концентрация электронов в условиях электронейтральности,


$$
%\begin{displaymath}\mu =\left[ \Sigma _{i}\frac{m_{u}}{m_{i}}x_{i}\Sigma ^{i}_{j=0}(1+j)y_{ij}\right] ^{-1} \end{displaymath}
\mu=\left[\sum_i {m_{\rm u}\over m_i} x_i \sum_{j=0}^i(1+j)
y_{ij} \right]^{-1}
$$ (1.6)

- количество нуклонов на одну частицу газа (средняя атомная масса).

В полностью ионизованном газе, состоящем из водорода, гелия и других элементов с \( A_{i}\approx 2i\gg 1 \), имеем


$$
%\begin{displaymath}
%\mu =\left[ 2x_{H}+\frac{3}{4}x_{He}+\frac{1}{2}x_{A}\right] ^{-1},~ %x_{A}=\Sigma _{i\geq 6}x_{i} ,~
%m_{He}\approx 4m_{u} ,~
%m_{H}\approx m_{u} \end{displaymath}
\eqalign{
&\mu\simeq\left[2x_{\rm H}+{3\over 4}x_{\rm He}+{1\over 2} x_A\right]^{-1}, \qquad
x_A=\sum\limits_{i\ge 6}x_i,
\cr
&m_{\rm He}\approx 4 m_{\rm u},
\quad m_{\rm H}\approx m_{\rm u}.
\cr}
$$ (1.7)

Энергия в (1.1) отсчитывается от энергии покоя полностью ионизованных ионов и электронов. Степени ионизации элементов в термодинамическом равновесии определяются формулой Саха [145]


$$
%\begin{displaymath}\frac{y_{i,j-1}}{y_{i,j}}=n_{e}\frac{g_{i,j-1}}{2g_{ij}}\left( \frac{2\pi \hbar ^{2}}{m_{e}kT}\right) ^{3/2}e^{^{I_{ij}/kT}}=n_{e}K(T) . \end{displaymath}
{y_{i,j-1}\over y_{ij}}=n_{\rm e}{g_{i,j-1}\over 2g_{ij}}\left( 2 \pi
\hbar^2\over m_{\rm e}kT \right)^{3/2} e^{I_{ij}/kT}=n_{\rm e} K(T)
$$ (1.8)

Здесь \( I_{ij}=\epsilon _{i,j-1}-\epsilon _{ij} \) - энергия (потенциал) ионизации \( i \)-го электрона, \( I_{i0}=0 \). Энергии ионизации наиболее обильных элементов приведены в табл. 2. Для нахождения степени ионизации элементов в смеси необходимо решить систему уравнений (1.8) с учетом (1.4), (1.5). Аналитическое ре шение получается в случае однократной ионизации одного (\( i \)-го) сорта атомов

$$
\eqalign{
&n_{\rm e}=n_{i1}={\rho\over m_i} y_{i1}, \qquad y_{i0}=1-y_{i1},
\cr
&{1-y_{i1}\over y_{i1}^2}={\rho\over m_i}{g_{i0}\over 2g_{i1}}
\left( 2 \pi \hbar^2\over m_{\rm e}kT \right)^{3/2} e^{I_{i1}/kT}=
F_{\rho,T},
\cr}
$$

откуда


$$
%\begin{displaymath}y_{i1}=\left( \frac{1}{4F_{\rho ,T}^{2}}+\frac{1}{F_{\rho ,T}}\right) ^{1/2}-\frac{1}{2F_{\rho ,T}}.\end{displaymath}
y_{i1}=\left({1\over 4F_{\rho,T}^2}+{1\over F_{\rho,T}}\right)^{1/2}
-{1\over 2F_{\rho,T}}.
$$ (1.9)


Таблица 2. Потенциалы ионизации и полные моменты внешних электронных оболочек наиболее обильных элементов [180].
Атомный номер Элемент Потенциалы ионизации, эВ Полные моменты
1 H\( ^{-} \),H 0.747; 13.5985 0; 1/2
2 He 24.5876; 54.418