Rambler's Top100Astronet    
  по текстам   по ключевым словам   в глоссарии   по сайтам   перевод   по каталогу
 

На первую страницу
Теория относительности для астрономов

<< 5. Неэвклидова геометрия | Оглавление | 7. Тензор кривизны >>

Разделы


6. Анализ в неэвклидовой геометрии

Вычисление различных величин в общей теории относительности - это вычисление тензорных величин различного ранга (скалярных, векторных, тензорных второго ранга, иногда более высоких рангов), включая операции дифференцирования и интегрирования. В эвклидовой геометрии операция дифференцирования для, например, векторов, определялась так же как для обычных математических функций - скалярных величин. В неэвклидовой геометрии процедура построения производных от вектора является более сложной. Она носит название ковариантного дифференцирования.

6.1 Ковариантное дифференцирование

Напомним, что если в каждой точке некоторой области (которое может охватывать и все пространство) задана некоторая скалярная или векторная величина, то говорят, что задано поле этой величины. Аналогично можно задать поле тензорной величины. Скажем метрика Минковского, определяемая как (5.6), является тензорным полем второго ранга, определенным во всех пространстве. Каждая компонента этого поля является постоянной величиной, причем диагональные компоненты отличны от нуля ($g_{00}=1$, $g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1$), а недиагональные равны нулю. Примером тензорного поля второго ранга, которое не является постоянным может служить метрика на поверхности сферы. Недиагональные компоненты такой метрики, как и в предыдущем примере, равны нулю, но из диагональных компонент только компонента $g_{11}=1$, тогда как вторая компонента является функцией одной из координат $g_{22}=\sin^2 \theta$.

В пространстве с эвклидовой или псевдоэвклидовой метрикой в векторном и тензорном анализе можно определить производные от соответствующего поля по стандартным правилам:

\begin{displaymath}
\frac{\partial A_{\alpha}}{\partial x^{\mu}}=
\lim_{\Delta x...
...htarrow 0} \frac{\Delta
A_{\alpha}(x^{\mu})}{\Delta x^{\mu}}
\end{displaymath} (6.1)

при $\Delta x^{\mu} \rightarrow 0$. Здесь необходимо обратить внимание на то, что в правой части стоит дробь, в числителе которой находится разность тензорных величин, взятых в двух соседних точках, $\Delta A_{\alpha}
(x^{\mu})=A_{\alpha}(x^{\mu} +\Delta x^{\mu}) -A_{\alpha}(x^{\mu})$.

В пространстве с эвклидовой метрикой разность двух векторов, даже взятых в различных точках пространства является вектором. Эта разность при линейных преобразованиях координат преобразуется как вектор.

При нелинейных преобразованиях координат или в пространстве с неэвклидовой метрикой разность двух векторов, взятых в различных точках пространства преобразуется уже не по закону преобразования векторов. Хотя подробное изложение правил тензорного анализа можно найти в прекрасных учебниках [8], [9], [10], мы посвятим несколько абзацев демонстрации особенностей нелинейных преобразований и преобразований в неэвклидовых пространствах.

Вначале покажем, что при нелинейных преобразованиях дифференциал векторного поля уже не является векторным полем.

Итак, введем стандартное обозначение:

\begin{displaymath}
\Delta A_{\mu}= A_{\mu}(x^{\alpha} +\Delta x^{\alpha}) - A_{\mu}(x^{\alpha})
\end{displaymath}

и сделаем преобразование координат $\hat x^{\mu}=f^{\mu}(x^{\nu})$, законы преобразования для векторного поля есть


\begin{displaymath}
A_{\mu}(x^{\alpha})=\frac{\partial \hat x^{\nu}}{\partial x^{\mu}}\hat
A_{\nu}\left(\hat x^{\beta}(x^{\alpha})\right)
\end{displaymath}

Поле $A_{\nu}$ в точке $x^{\alpha} +\Delta x^{\alpha}$ будет преобразовываться согласно

\begin{displaymath}
A_{\mu}(x^{\alpha} +\Delta x^{\alpha})=\frac{\partial \hat
...
...u}\left(\hat
x^{\beta}(x^{\alpha} +\Delta x^{\alpha})\right)
\end{displaymath}

Дифференциал вычисляется в точке $x^{\alpha}$, поэтому все функции необходимо вычислить именно в этой точке. Для вычисления частной производной в точке $x^{\alpha}$ используем вычисления вряд Тэйлора по малому параметру - величине дифференциала $\Delta x^{\alpha}$:

\begin{displaymath}
\frac{\partial \hat x^{\nu}(x^{\alpha} +\Delta x^{\alpha})}{...
...ystyle\partial x^{\mu} \partial
x^{\gamma}} \Delta x^{\gamma}
\end{displaymath}

аналогичные вычисления проделаем для самого векторного поля:

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
\hat A_{\nu}\left(\hat x^{\beta}(x^{\alpha}...
...displaystyle\partial x^{\gamma}} \Delta x^{\gamma}
\end{array}\end{displaymath}

Все величины теперь вычислены в точке $x^{\alpha}$, поэтому можем строить дифференциал и производную векторного поля по обычным правилам:

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
\Delta \hat A_{\mu}= \left(
{\displaystyle\...
...partial \hat x^{\beta}} \right)
\Delta x^{\gamma},
\end{array}\end{displaymath}

а производная этого векторного поля вычисляется как:

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
{\displaystyle \partial \hat A_{\mu}\over\d...
... A_{\nu}\over\displaystyle\partial \hat x^{\beta}}
\end{array}\end{displaymath}

Второй член в этом уравнении обладает признаками тензора, преобразуется как тензорное поле второго ранга. Первое слагаемое явно не является тензорным полем, поскольку преобразуется по другим правилам.

Так получилось потому, что мы пренебрегли последовательными рассуждениями в определении производных от векторнорго поля в неэвклидовой геометрии. При вычислении приращения векторного поля мы вычитали величины определенные в разных точках пространства. Первая величина определена в точке $x^{\alpha} +\Delta x^{\alpha}$, а вторая в точке $x^{\alpha}$. В эвклидовой геометрии при вычислении приращения векторного поля обычно опускается промежуточный шаг, который заключается в том, что векторы, заданные в соседних точках, сводятся по определенным правилам в одну точку.

Таким правилом является параллельный перенос. Дифференциал векторного поля, полученный вычитанием значения векторного поля заданного в точке $x^{\alpha}$ и параллельно перенесенного из точки $x^{\alpha}$ в точку $x^{\alpha} +\Delta x^{\alpha}$ из значения векторного поля в точке $x^{\alpha} +\Delta x^{\alpha}$ называется ковариантным дифференциалом.

Итак, для получения из тензорного поля ранга $n$ путем дифференцирования тензорного поля ранга $n-1$ необходимо вычислять не обычный дифференциал, а ковариантный дифференциал.

6.1.1 Параллельный перенос вектора

Ковариантное дифференцирование тесно связано с понятием параллельного переноса вектора.

Параллельный перенос вектора в эвклидовом пространстве определяется как перенос вдоль некоторой прямой таким образом, что угол между вектором и прямой остается при переносе постоянным. Соответственно, компоненты вектора при таком переносе остаются неизменными.

В неэвклидовой геометрии эта операция несколько изменяется. Аналогом прямой в неэвклидовой геометрии является геодезическая линия. Параллельный перенос вектора определяется как перенос вдоль геодезической линии, которая соединяет две точки. Естественно, как и в эвклидовой геометрии, угол между переносимым вектором и геодезической линией остается постоянным.

В качестве характеристики угла между выбранным вектором, скажем, $A_{\alpha}$ и геодезической линией принимем угол между вектором $A_{\alpha}$ и вектором касательным к геодезической линии. Таким вектором является производная от уравнений геодезической линии по афинному параметру вдоль этой линии $u^{\mu}={\displaystyle d x^{\mu}(\lambda)\over\displaystyle d \lambda}$. Угол между $A_{\alpha}$ и $u^{\alpha}$ определяется согласно уравнению (5.8). Пусть норма вектора $u^{\alpha}$ равна единице6.1. Прежде чем вести вычисления, заметим, что при параллельном переносе скалярные величины не меняются6.2. Поэтому скалярное произведение двух векторов тоже остается постоянным при параллельном переносе, а значит и норма одного вектора постоянна при таком переносе. Поэтому требование постоянства угла между вектором $u^{\alpha}$ и вектором $A_{\alpha}$ можно заменить на требование постоянства скалярного произведения этих векторов.

Итак вычислим изменение произвольного вектора $A_{\alpha}$ при параллельном переносе вдоль геодезической линии. Основное требонание, налагаемое параллельным перносом заключается в том, что скалярное произведение вектора $A_{\alpha}$ и вектора касательного к геодезической линии является постоянным вдоль линии переноса:

\begin{displaymath}
A_{\alpha}(x^{\beta})u^{\alpha}(x^{\beta})=A_{\alpha}(x^{\beta} +\Delta
x^{\beta}) u^{\alpha}(x^{\beta} +\Delta x^{\beta})
\end{displaymath}

Введем обозначение для изменения компонент $\delta A_{\alpha}$ вектора при параллельном переносе. Теперь распишем уравнение сохрания скалярного произведения более подробно

\begin{displaymath}
A_{\alpha} u^{\alpha} =\left(A_{\alpha} +\delta A_{\alpha}\right)
\left(u^{\alpha} + d u^{\alpha}\right)
\end{displaymath}

Преобразуем правую часть уравнения, выделив член нулевого порядка малости по бесконечно малому смещению и два члена первого порядка малости, вторым порядком малости здесь будем пренебрегать. Первый член в правой части сократится с членом, который стоит в левой части, а два члена первого порядка малости дадут уравнение для вычисления $\delta A_{\alpha}$:

\begin{displaymath}
u^{\alpha}\delta A_{\alpha}= - A_{\alpha} du^{\alpha}
\end{displaymath}

Подставим в это уравнение изменение касательного вектора вдоль геодезической (5.13) и получим уравнение для изменения вектора $\delta A_{\alpha}$:

\begin{displaymath}
u^{\alpha}\delta A_{\alpha}= A_{\alpha} \Gamma^{\alpha}_{\mu \nu} u^{\mu}
u^{\nu}
\end{displaymath}

Отсюда получаем решение:

\begin{displaymath}
\delta A_{\mu}= \Gamma^{\alpha}_{\mu \beta} A_{\alpha} dx^{\beta}
\end{displaymath}

В современных [10] и классических курсах [8] по общей теории относительности уравнение для вычисления изменений компонент вектора при параллельном перносе выводится методом переноса вдоль прямой в касательном пространстве [10] или в галилеевых координатах [8]. Эти две операции эквивалентны. Параллельный перенос приводит к тому, что компоненты вектора меняются.

Ковариантный дифференциал будем обозначать большой буквой $D$ латинского алфавита. Ковариантный дифференциал векторного поля $D A_{\mu}$ является разностью двух малых величин. Первая - обычный дифференциал поля $A_{\mu}$ между двумя пространственно - временными точками $d A_{\mu}$, вторая величина - изменение векторного поля $\delta A_{\mu}$ при параллельном переносе его из одной точки пространства в другую.

\begin{displaymath}
D A_{\mu}= d A_{\mu} - \delta A_{\mu}
\end{displaymath}

Контравариантные компоненты $\delta A^{\mu}$ от ковариантных отличаются знаком:

\begin{displaymath}
\delta A^{\mu}= -\Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} A^{\alpha} dx^{\beta}
\end{displaymath}

Теперь можно написать уравнения для ковариантных дифференциалов

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
D A^{\mu}= \left( {\displaystyle\partial A^...
...^{\alpha}_{\mu \beta} A_{\alpha} \right)dx^{\beta},
\end{array}\end{displaymath}

а также уравнения для ковариантных производных от векторов

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
A^{\mu}_{;\beta}= {\displaystyle\partial
A...
...{\beta}} -\Gamma^{\alpha}_{\mu \beta} A_{\alpha}
\end{array}
\end{displaymath}

Знак ";" означает ковариантную производную. Мы будем в дальнейшем использовать этот знак "точка с запятой" для обозначения ковариантной производной, а для обозначения обычной производной будем использовать знак "," - "запятая".

Легко видеть, что ковариантный дифференциал $D$ подчиняется всем основным правилам дифференцирования:


$\displaystyle D (C \cdot A_{\mu}) =C D A_{\mu}$  
$\displaystyle D (A_{\mu} \pm B_{\mu}) =D A_{\mu} \pm D B_{\mu}$  
$\displaystyle D (A_{\mu} \cdot B_{\nu}) =B_{\nu} \cdot D A_{\mu} +A_{\mu} \cdot
D B_{\nu}$ (6.2)
$\displaystyle D (A_{\mu} \cdot B^{\nu}) =B^{\nu} \cdot D A_{\mu} +A_{\mu} \cdot
D B^{\nu},$  

пользуясь этими правилами можно доказать пра