<< 5.3 Протозвезды. | Оглавление | 6. Ядерные реакции >>
- 5.4.1 Гидростатическое равновесие
- 5.4.2 Теорема вириала
- 5.4.3 Тепловая устойчивость звезд. Отрицательная теплоемкость.
5.4 Стационарные звезды
Физическое состояние стационарных звезд определяется
условиями гидростатического равновесия (когда
макроскопические параметры -
масса, радиус - изменяются на больших временах 
динамического времени
) и теплового
равновесия (несмотря на мощное энерговыделение в центре,
звезды не взрываются, их светимость меняется плавно).
5.4.1 Гидростатическое равновесие
Рассмотрим объем вещества 
с давлением 
. Сила, стремящаяся
расширить объем
, где 
-
элемент поверхности. Очевидно, если нет градиента давления
(
) 
. В общем случае имеем:
откуда
. Т.о. сила, действующая на элемент объема
Сила гравитационного притяжения, действующая на объем - массовая,
действует на элемент 
,
, где
- ньютоновский гравитационный
потенциал. Суммарная сила, действующая на элементарный объем в звезде
Для сферически-симметричного случая
,
и
Для оценок по порядку величины
можно пользоваться приближенной формой уравнения
гидростатического равновесия
и 
- масса и радиус звезды.
Эта формуля дает хорошее приближение для центрального давления
в самогравитирующем газовом шаре.
5.4.2 Теорема вириала
Прямым следствием уравнения гидростатического равновесия (5.5)
является теорема вириала, связывающая тепловую (кинетическую)
и потенциальную (гравитационную) энергию стационарной звезды.
Переходя к лагранжевой массе
в качестве
независимой переменной
и проинтегрируем по частям.
В результате приходим к теореме вириала для
самогравитирующих газовых шаров
(использовали граничное условие
- равенство
давления на поверхности сферы).
В важном частном случае политропного уравнения состояния
(адиабата)
, удельная энергия на 1 грамм вещества есть
, поэтому получаем
- тепловая энергия.
Пример 1. Оценим температуру в центре Солнца. Пусть вся звезда
состоит из идеального одноатомного газа, 
.
, 
и
находим
(с учетом молекулярного веса полностью
ионизованной плазмы состоящей по массе на 75 
из
водорода и на 25 из гелия
)
K. Точное
значение - 14 млн. градусов.
Пример 2. Физически важные случаи:
1) . Этот показатель адиабаты
соответствует идеальному одноатомному газу, а также нерелятивистскому
вырожденному ферми-газу. Получаем
т.е. знакомый вид теоремы вириала в механике для движения
тел в потенциале 
.
2) 
. Этот показатель адиабаты характерен для газа
из релятивистских частиц (например, фотонов или безмассовых
нейтрино), когда связь между давлением и
плотностью энергии 
, или для релятивистского вырожденного
ферми-газа. В этом случае теорема вириала для самогравитирующей конфигурации
дает 
, 
, т.е. такая
конфигурация находится в положении безразличного равновесия:
Очевидно, полная энергия
является линейной функцией
и равновесие (
) возможно
только при
. При 
полная энергия положительна,
, т.е. система гравитационно не связанная, и при
малых возмущениях распадается (
).
При 
полная энергия
отрицательна, 
, при малых возмущениях
система коллапсирует (
).
Потеря устойчивости всегда происходит в
динамической шкале времени,
.
Более точно критерий устойчивости выводится из вариационного
принципа для полной энергии:
(считаем, что вклад макроскопических движений вещества в полную энергию пренебрежимо мал, в противном случае под интеграл следует добавить кинетическую энергию единицы массы
).
Условие экстремума первой вариации энергии по изменению плотности и удельной
энергии на грамм вещества по радиусу
приводит к уравнению гидростатического равновесия,
а условие
дает критерий устойчивости по
отношению к радиальным возмущениям. Для политропного уравнения состояния
знак второй вариации полной энергии
оказывается эквивалентным соотношению на эффективный
показатель адиабаты вещества звезды 
(устойчивость) или
(неустойчивость) и - безразличное равновесие.
См. подробнее в монографии Я.Б. Зельдович, И.Д. Новиков.
"Теория тяготения и эволюция звезд", М.: Наука, 1975.
Отметим также, что теорема вириала для системы из многих частиц может быть получена не только из термодинамического рассмотрения, но из классических и квантовых уравнений движения. Она применима как для динамически устойчивых макроскопических систем (например, звездных скоплений), так и для квантовых систем (заряженные частицы в кулоновском поле).
5.4.3 Тепловая устойчивость звезд. Отрицательная теплоемкость.
Рассмотрим теорему вириала для одноатомного идеального газа,
который является
хорошим приближением для вещества нормальных звезд ():
.
Отсюда следует равенство
, т.е.
сообщение энергии звезде (
) приводит к ее
охлаждению, 
, а излучение энергии (
) -
к разогреву , 
. Иными словами,
звезда, находящаяся в гидростатическом равновесии
(т.е. подчиняющаяся теореме вириала) обладает отрицательной теплоемкостью:
(здесь 
- теплоемкость газа звезды),
.
Замечание: теорема об отрицательной теплоемкости справедлива для любой
стационарной системы в поле тяготения - например, спутник на стационарной
орбите вокруг Земли: при торможении спутника в атмосфере (отбор энергии от
системы Земля-спутник) он переходит на более низкую орбиту с увеличением
скорости (
).
Пусть 
- подвод тепла к звезде (термоядерные реакции),
- отвод энергии (например, излучением с поверхности).
В равновесии имеем
. Изменение температуры
со временем находим из уравнения теплового баланса
Разлагая правую часть в ряд вблизи точки
имеем
(здесь
).
Как будет показано в следующей лекции, в нормальных звездах
(термоядерные реакции),
ъ
(фотонное охлаждение с поверхности фотосферы с учетом диффузионного
характера переноса энергии от зоны ядерных реакций наружу) и коэффициент в
правой части положителен, откуда
В системах с положительной теплоемкостью разница температур экспоненциально возрастает (ср. взрыв тротила), в звездах же с отрицательной теплоемкостью рост флюктуаций температуры невозможен - звезды находятся в устойчивом тепловом равновесии.
Характерное время установления теплового равновесия в звезде (т.н. тепловое
время, или время Кельвина-Гельмгольца) грубо можно определить из
теоремы вириала, приняв за оценку время, необходимое для потери запаса
тепловой энергии при заданном темпе отвода энергии (т.е. светимости 
).
Имеем
,
, 
). В XIX в. Кельвин и Гельмгольц таким образом
оценивали время жизни Солнца. Любопытно, что Кельвин не принимал теорию
эволюции Дарвина (которая требовала миллиардов лет для развития видов) на
основании своего заключения о возрасте Солнца в 30 млн. лет! В начале ХХ в.
стало ясно, что возраст Земли намного превосходит 30 млн. лет - возникла
необходимость поиска источника энергии на Солнце. Таким источником являются
термоядерные реакции синтеза тяжелых элементов из водорода и гелия.
ЛИТЕРАТУРА
1. С.А.Каплан. Физика звезд. 3 изд. М.: Наука, 1977
2. Я.Б.Зельдович, С.И.Блинников, Н.И.Шакура. Физические основы строения и эволюции звезд. М.: МГУ, 1982
<< 5.3 Протозвезды. | Оглавление | 6. Ядерные реакции >>
|
Публикации с ключевыми словами:
звезды - Межзвездная среда - Космология - теоретическая астрофизика - астрофизика
Публикации со словами: звезды - Межзвездная среда - Космология - теоретическая астрофизика - астрофизика | |
См. также:
Все публикации на ту же тему >> | |
