<< 2.1 Равновесие | Оглавление | 2.3 Гравитационная неустойчивость >>
- 2.2.1 Постановка задачи
- 2.2.2 Возмущенная плотность звездного диска
- 2.2.3 Дисперсионное уравнение
- 2.2.4 Гравитационные и градиентные неосесимметричные возмущения
2.2 Динамика возмущений в плоскости диска
В предыдущем разделе построена модель стационарного
равновесного звездного диска. Отклонения параметров диска (функции
распределения, потенциала и др.) от равновесных значений будем
называть возмущениями той или иной величины. Предположение о малой
величине амплитуд отклонений от равновесного состояния весьма
привлекательно для теоретического рассмотрения, поскольку исчезает
одна из главных проблем при решении кинетического уравнения -- его
нелинейность. Изучение возможных пространственных структур на фоне
осесимметричного стационарного состояния весьма популярно. В то же
время для реальных систем предположение о малой величине амплитуд
возмущений часто нарушается. Достижения в построении нелинейных
моделей (речь не идет о численных, см. гл. 3) невелики. Однако
линейный подход позволяет весьма успешно решать классическую
задачу об устойчивости равновесной системы, отвечая на вопрос о
причинах роста со временем тех или иных первоначально сколь угодно
малых по амплитуде возмущений. В основе анализа линейной
устойчивости лежит дисперсионное уравнение, определяющее временную
динамику малых возмущений в зависимости от их пространственной
структуры. Из-за стационарности исходного диска возмущения
пропорциональны
и будущее системы определяется наличием и
знаком мнимой части частоты 
(инкрементом). Рост со временем
амплитуды в случае
свидетельствует о неустойчивости
системы.
В данном разделе мы получим дисперсионное уравнение, учитывающее неоднородность распределения равновесных параметров звездного диска.
2.2.1 Постановка задачи
Следуя Вандервоорту [192], получим кинетическое уравнение,
описывающее динамику возмущений малой амплитуды в плоскости
тонкого звездного диска. Для этого представим полные функции
распределения звезд и гравитационный потенциал диска в виде суммы
равновесных (
) и возмущенных (
) величин:
, 
кинетическое
уравнение (2.1.7) в эпициклическом приближении имеет вид
Для вычисления возмущенных величин
, так же, как и при
определении 
, 
, будем использовать приближение диска малой
толщины (
). Очевидно, что, как и равновесная 
,
величина возмущенной поверхностной плотности
.
Поэтому возмущенная объемная плотность
,
и зависящая от
-координаты часть 
возмущенного гравитационного
потенциала пропорциональна 
. В соответствии с этим разложим
, в ряды по степеням малого параметра 
[ср. с (2.1.18), (2.1.19)]:
где
и
.
Тогда в рамках двух главных порядков по параметру уравнение
(2.2.2) может быть расщеплено на систему двух уравнений
где операторы
и
определены соотношениями
(2.1.23) и (2.1.17) соответственно.
Для решения этой системы так же, как и в п. 2.1.2, перейдем к
переменным действие-угол 
, 
(2.1.25), (2.1.26). Поскольку
, где
, то
Общее решение этого уравнения в случае, если равновесная функция распределения
определена соотношением (2.1.44), можно
записать в виде
где символ
означает усреднение по фазе -движения:
Для определения величины
усредним (2.2.5) по фазе
-движения в соответствии с правилом (2.2.9). В результате получим
Структура этого уравнения не описывает эффекты, связанные с движением звезд по
-координате. Тем самым удается сформулировать
один из этапов решения задачи как задачу определения возмущенной
функции распределения 
в модели тонкого (
)
звездного диска. Соответствующее вычисление величины , а затем и
возмущенной объемной плотности диска конечной толщины проведено в
следующем пункте.
2.2.2 Возмущенная плотность звездного диска
Уравнение (2.2.10) является линейным дифференциальным
уравнением в частных производных. Его характеристики, определяющие
невозмущенные траектории звезд в плоскости диска, описываются
уравнениями
где
, 
-- постоянные интегрирования,
,
,
-- фаза движения
звезды по эпициклической траектории (
-- начальная фаза).
Из (2.2.12) нетрудно видеть, что невозмущенное движение звезды в
эпициклическом приближении представляет собой движение по эллипсу (эпициклу),
одна из полуосей которого, ориентированная на центр диска, равна
, а другая, ориентированная в азимутальном направлении, равна
. Центр этого эллипса (эпицикла) движется вокруг
центра диска по круговой орбите радиусом с угловой скоростью
.
Для вычисления возмущенной функции распределения запишем
уравнение (2.2.10) в виде, удобном для применения в дальнейшем
метода интегрирования по траекториям [193]:
где
; 
-- интегралы движения звезды в плоскости
диска в эпициклическом приближении и учтено, что [см. (2.1.31)]
Представление
в виде (2.2.13) предполагает, что возмущение
включается в момент времени 
с амплитудой пренебрежимо
малой по сравнению с ее уровнем в момент времени 
.
Коэффициенты уравнения (2.2.10) в связи со стационарностью и
осесимметричностью равновесного состояния диска не зависят явно от
времени и азимутальной координаты. Это позволяет представить
зависимость возмущенных величин , от времени и угла
в экспоненциальном виде
, где -- частота возмущений, 
--
номер моды по азимуту,
-- азимутальное число. Такое
представление, в частности, означает, что предполагавшийся выше при переходе
от (2.2.10) к (2.2.13) рост амплитуды возмущений во времени эквивалентен
наличию у частоты малой положительной мнимой части -- инкремента.
В радиальном направлении равновесный звездный диск неоднороден. Однако мы
можем ограничиться рассмотрением коротковолновых в этом направлении возмущений
-- таких, характерный масштаб изменения которых мал по сравнению с
минимальным масштабом радиальной неоднородности диска. Роль последнего в
галактиках за пределами их центральных областей обычно играет величина
. Для изучения свойств таких
возмущений используют ВКБ-приближение, в котором радиальная зависимость
возмущенных величин полагается
, где 
-- упоминавшийся выше характерный масштаб изменения возмущенных величин в
радиальном направлении (
-- радиальное волновое число). Таким образом,
сформулированное выше условие применимости ВКБ-приближения можно
записать в виде2.6
, 
, алгебраическим уравнением
обычно называемым дисперсионным. Результаты его решения можно трактовать следующим образом. Возмущения, характеризуемые конкретными
, ,
эволюционируют по закону
, где
-- вообще говоря, комплексная величина. И если корни
дисперсионного уравнения (2.2.17) при некоторых значениях ,
таковы, что
, то амплитуда таких возмущений
экспоненциально растет со временем (вообще говоря, необязательно в
каждой точке пространства). Заметим также, что, зная решения
(2.2.17), мы в общем случае можем изучать и эволюцию произвольных
возмущений, если в начальный момент времени нам будет известен
фурье-спектр такого возмущения в 
-пространстве.
Для дальнейшего важно отметить, что мы не связываем решение рассматриваемой здесь задачи изучения динамики малых возмущений в звездном диске с исследованием поведения каких-либо глобальных структурных особенностей диска (например, спирального узора). Поэтому в отличие от подхода Лина и Шу [196,197] не будем пренебрегать в (2.2.10) и (2.2.13) возмущенными азимутальными силами. Такой подход позволяет нам изучить дисперсионные свойства неосесимметричных возмущений в неоднородном звездном диске и получить условие его устойчивости относительно неосесимметричных возмущений в его плоскости [198,199].
Вычислим фазу возмущений
. Для этого перейдем в
двумерном пространстве волновых векторов (, 
) к величинам
. Тогда с помощью уравнений (2.2.12), описывающих
невозмущенные траектории звезд, нетрудно получить
Используя этот результат, приводим (2.2.13) к виду
где
;
;
. Затем с
помощью разложения производящей функции [200]
в ряд по функциям Бесселя первого рода
интегрируем (2.2.20)
по времени 
. В результате получаем
Объемная плотность диска, создаваемая возмущенной функцией распределения
(2.2.8) с определяемой по (2.2.22) величиной , может быть получена
интегрированием последней по пространству скоростей. В случае равновесного
диска [см. (2.1.44)] эта операция с учетом разложения (2.2.21) приводит к
следующему выражению:
Поляченко и Фридман [1] показали, что возмущения в плоскости диска,
исследованию свойств которых и посвящен этот раздел, в рамках линейной
теории в модели тонкого диска отщепляются от изгибных (мембранных) колебаний
диска. В последних локальная поверхностная плотность не возмущается, а
возмущения объемной плотности имеют "дипольный" вид. Поэтому при описании
свойств возмущений в плоскости диска в выражении (2.2.23) необходимо
отбросить члены, не дающие вклада в возмущенную поверхностную плотность:
. Действительно, интегрируя по -координате с учетом (2.1.45)
величину
, получим
Для вычисления возмущенной объемной плотности, обусловленной
вторым членом в (2.2.23), используем конкретный вид равновесной
функции распределения звезд (2.1.44). Кроме того, в
соответствии с данными наблюдений (см. разд. 1.1), показывающими,
что характерные толщины звездных дисков галактик слабо меняются
вдоль радиальной координаты, будем считать
const. В этом
случае с учетом (2.1.42) имеем три независимых параметра звездного
диска, в качестве которых выберем величины , 
, 
.
Тогда из (2.1.35)
Интегрируя затем (2.2.24) по
, 
и отбрасывая в соответствии
со сказанным выше члены, не дающие вклада в возмущенную
поверхностную плотность диска, получим
где
; 
--
модифицированные функции Бесселя первого рода,
и учтено, что [200]
2.2.3 Дисперсионное уравнение
Возмущения плотности диска 
приводят к возмущениям гравитационного
потенциала , и связь между этими величинами определяется уравнением
Пуассона [см. (2.1.3)]:
,
приобретает вид
где величина
определяется из (2.2.28) и тождества
Уравнение (2.2.34) похоже на уравнение Шредингера, описывающее движение
частицы в потенциальной яме
вдоль
-координаты [201]. Однако для (2.2.34) задача поставлена несколько
по-иному:
для фиксированного значения "энергии" (
) необходимо найти "глубину
потенциальной ямы" (
), в которой может существовать
заданный "уровень энергии" (). Нетрудно видеть, что минимальная глубина
такой ямы определяется безузловой в -направлении собственной функцией
Используя затем этот результат и определение
по (2.2.28),
(2.2.35), получаем искомое дисперсионное уравнение, описывающее
динамику возмущений в звездном диске с волновым вектором, лежащим
в его плоскости:
Нетрудно видеть, что это дисперсионное уравнение в пределе осесимметричных
(
и, следовательно,
) возмущений в модели
тонкого (
) диска тождественно совпадает с дисперсионным
уравнением Лина и Шу [197] (см. также в монографии Фридмана и Поляченко [2]).
2.2.4 Гравитационные и градиентные неосесимметричные возмущения
Исследуем дисперсионные свойства возмущений, описываемых уравнением (2.2.38),
частота которых в системе отсчета, вращающейся вместе с веществом диска,
меньше эпициклической (
). Для приближенного
вычисления этих частот в (2.2.38) можно опустить члены ряда с 
.
Упрощенное таким образом дисперсионное уравнение приобретает вид
где
;
;
;
.
Если рассматривать только осесимметричные возмущения ( и, следовательно,
), то (2.2.39) описывает две гравитационные (джинсовские) ветви
колебаний звездного диска, частоты которых различаются знаком:
) диска Тоомре было показано, что такие
возмущения устойчивы [
] при выполнении условия
В тонком диске, обладающем дисперсией радиальных скоростей
,
радиальный масштаб маргинально устойчивых осесимметричных возмущений может
быть определен из соотношения
Учет стабилизирующего влияния конечной толщины звездного диска, предварительный анализ которого был проведен еще в работе Тоомре [202], показывает, что в рамках модели (2.1.44) такой диск устойчив при выполнении условия [192]
Перейдем к изучению спектра неосесимметричных возмущений.
Предварительно заметим, что
. С учетом того, что для наиболее близких к
порогу неустойчивости возмущений в маргинально устойчивом по
Тоомре-Вандервоорту диске
, а также условия (2.2.16)
это означает,
что для таких возмущений
В длинноволновой части спектра (
) в маргинально устойчивом по Тоомре
диске условие (2.2.44) тоже выполняется и, следовательно, эффекты
неоднородности диска малы. В этом пределе законы дисперсии двух гравитационных
ветвей колебаний звездного диска согласно (2.2.39) имеют вид
Кроме этих ветвей дисперсионное уравнение (2.2.39) предсказывает существование еще одной -- градиентной ветви2.8 неосесимметричных возмущений, закон дисперсии которой имеет вид
По порядку величины в длинноволновой (
) области
;
.
В коротковолновой же части спектра (
), используя асимптотику
модифицированных функций Бесселя, из (2.2.39) получим
В этой области длин волн тоже
;
.
Таким образом, как в длинноволновой, так и в коротковолновой частях спектра
градиентная ветвь 
является низкочастотной и хорошо отделена от
гравитационных ветвей. Все три ветви в этих частях спектра оказываются
устойчивыми в маргинально устойчивом относительно осесимметричных возмущений
диске.
Иной результат получается в промежуточной области длин волн
.
Чтобы продемонстрировать это, рассмотрим простую модель тонкого () твердотельно вращающегося (
) неоднородного
диска, в котором
(тем самым масштабы неоднородностей и одинаковы и, следовательно,
).
В малой окрестности
маргинально устойчивых по
Тоомре возмущений с 
[см.(2.2.42)] дисперсионное уравнение
(2.2.39) принимает вид
где
;
;
, а величина в соответствии с данными
наблюдений полагалась убывающей к периферии диска. В (2.2.49) мы ограничились
разложением членов уравнения (2.2.39) в ряды по степеням 
до второй
включительно, имея в виду кроме вычисления частот колебаний диска определить
еще и тип неустойчивости.
Полагаем диск слабонеоднородным: 
. Тогда в главном порядке
по 
из (2.2.49) для частот колебаний диска следует
Неустойчивость рассматриваемой модели в области джинсовских длин волн (
) очевидна. В чем же ее причина
?
Известно, что в маргинально устойчивом по Тоомре диске в окрестности точки
частоты обеих гравитационных ветвей осесимметричных возмущений
пропорциональны 
. Ясно, что в некоторой малой (в силу
) окрестности частота градиентных
возмущений окажется сравнимой с частотой одной из гравитационных ветвей
неосесимметричных возмущений. Тогда взаимовлияние этих ветвей, искажая
спектры возмущений, приведет к неустойчивости неосесимметричных возмущений.
Таким образом, причиной гравитационно-градиентной неустойчивости (2.2.50)
является неоднородность диска. Природа же этой неустойчивости,
очевидно, гравитационная.
Гравитационно-градиентная неустойчивость принадлежит к типу
"абсолютных", т.е. таких, при возбуждении которых амплитуда
возмущений растет в каждой точке пространства, движущейся вместе с
веществом диска. Действительно, неустойчивость является
"абсолютной", а не "конвективной" (в этом случае неустойчивое
возмущение сносится течением так быстро, что в каждой точке
пространства возмущения со временем стремятся к нулю), если
выполняется условие [203]
;
. Нетрудно видеть, что для возмущений с
и
. Тем самым условие (2.2.52) для гравитационно-градиентной
неустойчивости выполняется.
Впервые градиентная ветвь была получена Хантером [204] в модели холодного
(
) гравитирующего диска. Описанные здесь результаты относятся
к достаточно горячему (
) бесстолкновительному диску.
Тем не менее результат Хантера вытекает из дисперсионного уравнения
(2.2.38) при выполнении цепочки неравенств
(в реальных системах
).
<< 2.1 Равновесие | Оглавление | 2.3 Гравитационная неустойчивость >>
|
Публикации с ключевыми словами:
аккреционный диск - диск, галактический - гидродинамика - спиральная структура
Публикации со словами: аккреционный диск - диск, галактический - гидродинамика - спиральная структура | |
См. также:
Все публикации на ту же тему >> | |
