<< C. Вычисление интегралов | Оглавление | Литература >>

D. Аналитическое решение для уравнений движения ядра кометы

В данном приложении будет рассмотрена задача о поиске аналитического решения для уравнений движения ядра кометы (первая пара системы (50)). Рассмотрим второе уравнение системы (50)

Произведем замену переменных вида . Тогда (78) можно переписать в виде:

откуда

Интегрируя последнее выражение, получаем

или

здесь - постоянная площадей (удвоенная секторная скорость) [2].

Следовательно, первое уравнение системы (50) можно представить в виде:

Для решения последнего уравнения произведем замену переменных , тогда - радиальная составляющая скорости ядра (линейная орбитальная скорость). В итоге (83) можно представить в виде:

Здесь учтено, что . Проинтегрируем последнее соотношение.

Откуда

иначе

где - постоянная интегрирования. Учтем также, что

следовательно

откуда

Проинтегрируем (87)

Произведем замену переменных вида , тогда , следовательно (88) можно представить в виде:

Произведем замену переменных вида

следовательно, (89) можно представить в виде:

произведем в (91) замену следующего вида , тогда последнее выражение может быть представлено в виде:

откуда получаем

Вернемся к исходной переменной , тогда (93) можно представить в виде:

где

- эксцентриситет орбиты. Если направление на афелий взять за начальное направление радиуса-вектора, то постоянная интегрирования и уравнение орбиты принимает вид:

где . Следовательно, выражение (86) в терминах новых параметров может быть представлено в виде:

учитывая определение большой полуоси орбиты ядра :

выражение (97) можно переписать в виде:

Подставляя из (96) в (82) и интегрируя, получаем

Ситуация  1: Параболическая орбита ( ).

Тогда после интегрирования в правой части (101) и учитывая, что , где - перигелийное расстояние ядра, будем иметь:

Принимая за начало шкалы времени момент времени, когда ядро находится в афелии (), то получаем:

Решая последнее уравнение относительно , получаем зависимость . Подставляя последнее выражение в (96), получаем явную зависимость . Таким образом, найден закон движения ядра кометы, движущегося по параболической орбите.

Ситуация  2: Эллиптическая орбита ( ).

В данном случае непосредственное интегрирование (101) затруднительно. В этом случае удобно ввести вспомогательный угол - эксцентрическую аномалию и выразить , в функции этого угла (смотри рис. 27).

На большой оси как на диаметре строим окружность. Проводим через положение ядра кометы (точка ) перпендикуляр к большой оси орбиты до пересечения с окружностью. Угол и есть эксцентрическая аномалия . Очевидно, что или

Здесь по-прежнему . С другой стороны (96) можно представить в виде:

или

Подставляя значение из (104), получаем

Исключая из (105) и (106) переменную , имеем

(перед корнем берем знак "+", поскольку имеет тот же знак, что и ). Остается найти зависимость . Заметим, что на основании (107)

Подставим значение и выражение для из (106) в (82). В результате интегрирования (82) получаем уравнение Кеплера.

Решая последнее уравнение относительно переменной , получаем зависимость , а, следовательно, и закон движения ядра кометы .

Ситуация  3: Гиперболическая орбита ( ).

В случае гиперболической орбиты ядра кометы , , а

где . Поэтому (96) принимает вид:

Для интегрирования (101) введем вспомогательный угол следующим образом. На оси гиперболы (смотри рис. 28), как на диаметре, строим окружность. Из положения ядра кометы (точка ) опускаем перпендикуляр на ось .

Из проводим касательную к окружности и через точку касания проводим прямую ; угол . Имеем или

Исключая из (111) и (112), получаем окончательно

Используя (111), получаем окончательно

на основании (114) имеем

Подставляя значение и выражение для из (115), (113) в (82), получаем

и производя замену следующего вида

получаем окончательно

Решая последнее уравнение относительно переменной , получаем зависимость , а, следовательно, и закон движения ядра кометы .

Таким образом, имея элементы орбиты кометы, можно всегда определить ее закон движения.

---

<< C. Вычисление интегралов | Оглавление | Литература >>

Публикации с ключевыми словами: кометы - космическая пыль Публикации со словами: кометы - космическая пыль
См. также: Комета C/2025 F2 SWAN Комета G3 ATLAS заходит за холм в Чили Комета G3 ATLAS разрушается Комета G3 ATLAS над Уругваем Многочисленные хвосты кометы G3 ATLAS Комета G3 ATLAS: хвост и телескоп Комета ATLAS над Бразилией Все публикации на ту же тему >>