Rambler's Top100Astronet    
  по текстам   по ключевым словам   в глоссарии   по сайтам   перевод   по каталогу 		 

На первую страницу << A.3 Декартовы прямоугольные и | Оглавление | A.5 Криволинейные координаты >>

A.4 Элементы дифференциального и интегрального исчисления

Дифференциал функции $ y=f(x)$ в точке $ x$, если он существует, равен:

$\displaystyle dy = \frac{dy}{dx}dx=f'(x)dx, $

$ f'(x)=dy/dx$ -- производная функции.

Дифференциал функции $ y=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$, если он существует, равен:

$\displaystyle dy = \frac{\partial{f}}{\partial{x}_1}dx_1+\frac{\partial{f}}{\partial{x}_2}dx_2+\ldots+ \frac{\partial{f}}{\partial{x}_n}dx_n, $

причем частные производные $ \frac{\partial{f}}{dx_1},\ldots,\frac{\partial{f}}{dx_n}$ вычисляются в рассматриваемой точке.

Если $ f(x)$ -- действительная функция, имеющая в интервале $ a\leq x \lt b$ $ n$-ую производную $ f^{(n)}$, то

$\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2!}f

где $ R_n(x)$ называется остаточным членом.

Градиентом скалярной функции $ F({\mathbf{r}})=F(x,y,z)$ называется векторная функция, определяемая формулой:

$\displaystyle \textrm{grad}\ F({\mathbf{r}})$ $\displaystyle = \frac{\partial{F}}{\partial{x}}{\mathbf{i}} + \frac{\partial{F}}{\partial{y}}{\mathbf{j}} + \frac{\partial{F}}{\partial{z}}{\mathbf{k}}$ $\displaystyle \textrm{в декартовых координатах},$    
$\displaystyle \textrm{grad}\ F({\mathbf{r}})$ $\displaystyle = \frac{\partial{F}}{\partial{r}}{\mathbf{i}}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}{\mathbf{i}}_\theta + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial{F}}{\partial{\lambda}}{\mathbf{i}}_\lambda$ $\displaystyle \textrm{в сферических координатах}.$    

Полный дифференциал $ dF$ скалярной функции $ F({\mathbf{r}})=F(x,y,z)$, соответствующий перемещению точки на $ d{\mathbf{r}} = dx\,{\mathbf{i}} + dy\,{\mathbf{j}} + dz\,{\mathbf{k}}$ равен:

$\displaystyle dF({\mathbf{r}}) = \frac{\partial{F}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{F}}{\partial{y}}dy + \frac{\partial{F}}{\partial{z}}dx = d{\mathbf{r}}\cdot \textrm{grad}\ F({\mathbf{r}}). $

Дифференциал $ d{\mathbf{r}}$ радиус-вектора $ {\mathbf{r}}$ вдоль кривой $ C$, описываемой уравнением

\begin{displaymath} {\mathbf{r}}={\mathbf{r}}(t)\ \textrm{или в параметрическом виде} \begin{cases} x &=x(t) \\ y &=y(t) \\ z &=z(t), \end{cases}\end{displaymath}

определяется в каждой точке $ {\mathbf{r}}=\Bigl(x(t),y(t),z(t)\Bigr)$ кривой формулой:

$\displaystyle d{\mathbf{r}} = dx\,{\mathbf{i}} + dy\,{\mathbf{j}} + dz\,{\mathbf{k}} =\Bigl( \frac{dx}{dt}{\mathbf{i}} + \frac{dy}{dt}{\mathbf{j}} + \frac{dz}{dt}{\mathbf{k}}\Bigr)dt. $

Вектор $ d{\mathbf{r}}$ направлен по касательной к кривой $ C$ в точке с радиус-вектором $ {\mathbf{r}}$.

Квадрат элемента длины равен

$\displaystyle ds^2$ $\displaystyle = dx^2+dy^2+dz^2$ $\displaystyle \textrm{в декартовых координатах},$    
$\displaystyle ds^2$ $\displaystyle = dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta\, d\lambda^2$ $\displaystyle \textrm{в сферических координатах}.$    

Преобразование дифференциалов из сферической в декартову систему координат имеет вид:

$\displaystyle \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\lambda & r\cos\theta\cos\lambda & -r\sin\lambda\\ \sin\theta\sin\lambda & r\cos\theta\sin\lambda & r\cos\lambda\\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ d\lambda \end{pmatrix}. $


<< A.3 Декартовы прямоугольные и | Оглавление | A.5 Криволинейные координаты >>

Публикации с ключевыми словами: астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени
Публикации со словами: астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени
См. также:
Все публикации на ту же тему >>

Мнения читателей [13]
Оценка: 3.5 [голосов: 304]
 
О рейтинге
Версия для печати Распечатать

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце

Астронет | Научная сеть | ГАИШ МГУ | Поиск по МГУ | О проекте | Авторам

Комментарии, вопросы? Пишите: info@astronet.ru или сюда

Rambler's Top100 Яндекс цитирования