Rambler's Top100Astronet    
  по текстам   по ключевым словам   в глоссарии   по сайтам   перевод   по каталогу 		 

Турбулентность

1. Введение
2. Условия возникновения турбулентности
3. Теоретическое описание турбулентности
4. Макроскопические следствия турбулентности
5. Двумерная турбулентность

1. Введение

Турбулентность - беспорядочные движения в потоках жидкости, газа, плазмы, в результате к-рых скорость, давление, плотность, темп-ра потока меняются в пространстве и во времени случайным образом.

Понятие турбулентных и ламинарных потоков ввел в 1883 г. англ. физик О. Рейнольдс, изучая движение жидкости в трубе. При небольших скоростях движение регулярно, но когда отношение сил инерции к вязким силам (число Рейнольдса $Re=ud/\nu$, где u - характерная скорость потока, d - характерный размер потока, в данном случае диаметр трубы, $\nu$ - коэфф. кинематич. вязкости) превзойдет нек-рое критич. значение ($Re_K\approx 10^3$), то движение теряет устойчивость и становится более или менее беспорядочным. При этом в потоке появляются беспорядочные вихри разных размеров, и скорость потока в каждой точке меняется случайным образом со временем. Эти вихри могут дробиться или иногда сливаться между собой. Чем больше т.н. закритичность, т.е. чем больше число Re превышает ReK, тем интенсивнее идут эти процессы.

2. Условия возникновения турбулентности

В первоначально регулярных потоках в результате неустойчивости возникают случайные возмущения, к-рые быстро растут, взаимодействуют с осн. потоком и друг с другом, порождают новые возмущения, т.е. потоки становятся турбулентными. Существуют две осн. причины неустойчивости: сдвиг скорости в пространстве (изменение скорости поперек потока) и термич. неустойчивость в жидкости, неравномерно разогреваемой в пространстве и находящейся в поле силы тяжести.

В первом случае неустойчивость развивается при достаточно больших числах Рейнольдса в результате движения посторонних тел в жидкости, на границах хорошо выраженных течений в атмосферах планет (особенно Юпитера и Сатурна), в земном океане и т.п. В случае термич. неустойчивости выделяют горизонтально-неоднородный и вертикально-неоднородный разогревы. Под горизонталью понимается поверхность равного потенциала силы тяжести, а под вертикалью - направление ее градиента. При горизонтально-неоднородном разогреве жидкость всегда находится в состоянии движения, а при вертикальном - если вертикальный градиент темп-ры $dT/dz < \gamma_a = -\alpha g T/c_p$ (см. Конвекция), здесь $\gamma_a$ - адиабатический градиент темп-ры, $\alpha$ - коэфф. теплового расширения жидкости, g - ускорение силы тяжести, cp - теплоемкость при постоянном давлении. Если $dT/dz \ge \gamma_a$, то в отсутствие горизонтальных градиентов темп-ры (и других вынуждающих сил) жидкость покоится. Более общая формулировка условий устойчивости среды в поле силы тяжести требует, чтобы $d\rho/dz > (d\rho/dz)_a = - \rho g c^{-2}$, где $\rho$ - плотность среды, c - скорость звука в ней, $(d\rho/dz)_a$ - адиабатич. градиент плотности среды. Если плотность среды убывает с увеличением высоты быстрее, чем по адиабатич. градиенту, то в ней возникают вертикальные движения более или менее случайного характера - т.н. конвекция, или термическая турбулентность. В противном случае конвекция отсутствует. Устойчивую вертикальную стратификацию (расслоение жидкости в поле силы тяжести) можно характеризовать частотой Брента-Вяйсяля $N=[g(d\rho/dx)/\rho + g^2 c^{-2}]^{1/2}$. Величина N определяет круговую частоту инерционных колебаний жидкой частицы, выведенной по вертикали из состояния равновесия. Напр., метеорологич. шар-зонд обычно слегка колеблется по высоте с периодом неск. минут относительно ср. уровня полета в атмосфере, к-рая, как правило, устойчиво стратифицирована. В среде могут существовать внутр. волны (ВВ) с частотами $\omega\le N$. В этих волнах, как и в волнах на поверхности жидкости (к-рые явл. предельным случаем ВВ при резком скачке плотности), частицы жидкости смещаются поперек направления скорости волн. Очевидно, что для случая конвекции величина N имеет мнимое значение.

Устойчивая по высотам стратификация среды затрудняет также развитие сдвиговой неустойчивости потока. Из ур-ния локального баланса турбулентной энергии, учитывающего генерацию кинетич. энергии Т. и ее диссипации, обусловленную вязкостью, следует, что Т. сдвигового происхождения подавляется полностью, когда т.н. число Ричардсона (по имени англ. ученого Л. Ричардсона)
$Ri=\left[ {g\over \rho} \left( {d\rho\over {dz}} \right) + {g^2\over{c^2}}\right]/\left( {du\over{dz}} \right)^2 \ge Ri_K \sim 1$ .
В этих условиях случайный компонент потока может существовать лишь в виде ВВ, порождаемых к.-л. внеш. источниками. При достаточно большой амплитуде ВВ могут взаимодействовать друг с другом и с потоком, увеличивая его беспорядочность. Эта ситуация может быть описана в приближении т.н. слабой Т., не очень сильно меняющей осн. состояние потока. При устойчивой стратификации Т. встречается в ограниченных областях пространства, часто имеющих форму горизонтальных дисков (наблюдаемых, напр., в океане и в атмосфере Земли). Считается, что в них Т. образуется из-за обрушения ВВ (аналогичного появлению барашков на морских волнах).

3. Теоретическое описание турбулентности

Ввиду хаотич. характера изменений параметров потока во времени и пространстве возможно лишь статистич. описание Т. Для многих приложений достаточно знания лишь первых и вторых одноточечных и двухточечных моментов случайных полей (скорости, темп-ры и др.). Одноточечные моменты - это ср. значения полей или их среднеквадратичные значения, двухточечные - корреляционные или структурные функции, т.е. ср. произведения значений поля в двух точках пространства (или времени) или ср. произведения разностей этих значений. Описание реальных турбулентных потоков часто затруднено неоднородностью в пространстве и нестационарностью во времени их средних характеристик. Однако достаточно мелкомасштабная структура турбулентных потоков и в этом случае обладает рядом универсальных закономерностей, установленных в 1941 г. А.Н. Колмогоровым и А.М. Обуховым. Если ср. скорость потока u существенно меняется на масштабе L, то для масштабов $r\ll L$, согласно первой гипотезе подобия Колмогорова, статистич. характеристики разностей полей в двух точках, разделенных расстоянием r, будут однородны и изотропны, а структура потока определяется лишь кинематич. вязкостью $\nu$ и скоростью диссипации кинетич. энергии Т. на ед. массы $\varepsilon$ (величину $\varepsilon$ можно оценить как u3/L; для условий развитой свободной конвекции $\varepsilon=\alpha g F/\rho c_p$, где F - вертикальный тепловой поток). Осн. диссипация энергии Т. происходит на масштабе $l_\nu\sim \nu^{3/4} \varepsilon^{-1/4}$, и если $l_\nu\ll r \ll L$ (т.н. инерционный интервал масштабов, поскольку здесь еще не действует вязкость, а силы инерции дробят случайные вихри), то в этом интервале структура потока определяется лишь значением $\varepsilon$ (вторая гипотеза подобия Колмогорова). К примеру, в тропосфере значение L порядка половины высоты над поверхностью Земли, а $l_\nu\sim 1$ см. В инерционном интервале, в частности, для продольной структурной ф-ции скорости Dll из соображений размерности можно написать:
$D_{ll}=<[v_l({\bf x}+{\bf r}) - v_l({\bf x})]^2>=C(\varepsilon r)^{2/3}$ ,
где $v_l=(\bf{vr})/r$ - проекция скорости на направление вектора, соединяющего две точки наблюдений с координатами , угловые скобки означают осреднение. Согласно измерениям, коэфф. $C\approx 2$. Аналогичные выражения могут быть написаны и для др. компонентов структурного тензора поля скорости, но все они в силу (локальной) однородности и изотропии и ур-ния неразрывности (для несжимаемой жидкости, т.е. при $u\ll c$) выражаются через Dll(r). Вторая гипотеза подобия может быть применена и к спектральной плотности распределения энергии Т. E по волновым числам k в интервале $2\pi /L \ll k \ll 2\pi \varepsilon^{1/4}\nu^{-3/4}$ . Соображения размерности дают:
$E(k)=C_1 \varepsilon^{2/3} k^{-5/3}, C_1\approx 1,5$ .
Аналогичные соображения (А.М. Обухов, 1949 г.) могут быть применены для описания статистич. структуры пульсаций темп-ры (или любой другой пассивной примеси), когда они не влияют существенно на структуру потока. Структура температурного поля в турбулентном потоке определяется не только $\varepsilon$, но еще и скоростью диссипации интенсивности флуктуаций темп-ры NT, равной по порядку величины $(\Delta T)^2 u L^{-1}$, где $\Delta T$ - характерный перепад темп-р в потоке на его внешнем масштабе L. Тогда если коэфф. температуропроводности среды $\sim\nu$, то в инерционном интервале масштабов
$D_{TT}(r)=<[T({\bf x}+{\bf r}) - T({\bf x})]^2>=C_T N_T \varepsilon^{-1/2} r^{2/3}, C_T\approx 3,5$ ;
$E_T(k)=C_{1T}N_T \varepsilon^{-1/3} k^{-5/3}, C_{1T}\approx 1,4$ .

4. Макроскопические следствия турбулентности

Флуктуации темп-ры при медленных движениях не слишком большого масштаба определяют флуктуации плотности. Последние в основном ответственны за флуктуации показателя преломления эл.-магн. волн. Эти флуктуации вызывают случайные изменения в амплитуде и фазе эл.-магн. сигналов, прошедших через турбулентную среду.

Турбулентные флуктуации поля скорости способствуют существенно более эффективному перемешиванию потока (выравниванию скоростей или темп-р), чем обычные молекулярные механизмы. Можно ввести коэфф. турбулентного перемешивания K(r), зависящий от масштаба вихрей. В инерционном интервале
$K(r)=\alpha_1\varepsilon^{1/3}r^{3/4}, \alpha_1\approx 0,1$ .
Этот закон был эмпирически (для земной атмосферы) установлен Л. Ричардсоном (1926 г.) и объяснен Обуховым (1941 г.). Обычно величина K намного порядков превосходит значение молекулярной кинематич. вязкости или коэфф. температуропроводности.

Т., обусловленная движением постороннего тела в потоке жидкости или газа, приводит к увеличению сопротивления среды движению тела (благодаря большим возмущениям среды). При этом также увеличивается теплоотдача от нагретого движущегося тела.

Наличие Т. в проводящей жидкости способствует генерации в ней магн. поля (см. Гидромагнитное динамо). Вместе с тем наличие стороннего магн. поля в проводящей жидкости обычно увеличивает устойчивость движения и ослабляет интенсивность Т. Об особенностях Т. в плазме см. в ст. Плазменная турбулентность.

5. Двумерная турбулентность

Если масштаб движений по вертикали много меньше горизонтального, то к описанию случайных движений в таких потоках можно применять теорию двумерной Т. [Р. Крейкнан, 1967 г., США; Дж. Батчелор (Бэтчелор), 1969 г., Великобритания]. Осн. отличие двухмерных потоков от трехмерных (если пренебречь вязкостью) состоит в том, что в первых наряду с кинетич. энергией сохраняется ср. завихренность (ср. квадрат вектора вихря скорости $<\omega^2>$), тогда как во вторых вихревые трубки деформируются и завихренность не явл. инвариантом движения. Учет вязкости проводит к потоку завихренности по спектру масштабов со скоростью $\eta=d<\omega^2>/dt$. Диссипация завихренности идет на масштабе $L_{1\nu}\sim \nu^{1/2}\eta^{1/6}$. Если поток возбуждается на каком-то осн. масштабе l0, то в области волновых чисел $2\pi /l_0\ll k \ll 2\pi /l_{1\nu}$ спектр энергии двухмерных движений определяется лишь $\eta$, поток энергии по спектру отсутствует и тогда
$E(k)=\alpha_2 \eta^{2/3} k^{-3}, \alpha_2\sim 1$ .
В области $k< 2\pi/l_0$ отсутствует передача завихренности по спектру, но передается кинетич. энергия к большим масштабам, и там $E(k)\sim \varepsilon^{2/3} k^{-5/3}$ , формально как в трехмерном случае. Масштаб l0 может быть масштабом осн. гидродинамич. неустойчивости потока (напр., в земной атмосфере масштаб образования циклонов). Передача энергии от меньших масштабов к б'ольшим обусловливает явление т.н. отрицательной вязкости в крупномасштабных потоках (В. Старр, 1968 г., США). Эти явления наблюдаются в атмосферах планет, звезд, в галактич. дисках и др. Напр., в земной атмосфере энергия среднемасштабных возмущений - циклонов - передается движениям наибольшего масштаба - ср. зональному потоку, т.е. западным ветрам, дующим в средних широтах.

Если исследуемая область размера L вращает