О распределении больших полуосей орбит внесолнечных планет

---

<< 3. Вероятность обнаружения планеты | Оглавление | 5. Численные результаты >>

4. Функции распределения

Эффект селекции отражен формулой (4): планет, имеющих , мы не видим совсем; при шансы планеты быть обнаруженной стремительно растут с уменьшением . С ростом (т. е. с увеличением и уменьшением ошибки наблюдений ) эффект селекции уменьшается. Полностью эффект селекции выявляется в трансформации функций распределения. Пусть имеется большое число наблюденных звезд, имеющих каждая по планете с круговой орбитой. Пока в нашем распоряжении слишком мало данных, чтобы оперировать с многомерными распределениями , , , . Ограничимся простейшей одномерной задачей. Именно, фиксируем , ; предположим независимость распределений , ; изотропность ориентации вектора площадей. Тогда статистическая ситуация полностью описывается плотностью вероятности : число планет с расстоянием от до равно . Найдем плотность вероятности величины среди открытых планет. Очевидно, число планет с расстояниями от до и наклонами от до равно . Число открытых планет с расстояниями между и равно

Число всех открытых планет есть

Доля открытых планет с расстояниями от до среди всех открытых планет есть

Окончательно,

Величина совпадает с вероятностью открытия планеты с данными , и случайными , . Обратим внимание, что равна нулю при . Формулы (4)-(6) конструктивно определяют , если известна . Однако относительно мы можем пока лишь строить догадки. В то же время может быть найдена (пусть пока не очень уверенно) из наблюдений. Решим обратную задачу построения по известной . Дана непрерывная неотрицательная функция , определенная на , равная нулю на и такая, что интеграл

сходится. Так как  - плотность вероятности, то потребуем еще

Из (5) следует

Легко проверить, что (6) выполняется при любом , если определяется равенством (8). Чтобы найти , вычислим интеграл от обеих частей (8) по промежутку :

где

Фиксируем произвольное , . Тогда

Так как известно, то формула (10) определяет положительное число , после чего (8) дает нам при . Итак, мы нашли все функции , дающие наблюдаемую плотность . Правее точки распределение неизвестно. Левее функция определена с точностью до множителя . Это важная информация, т. к. она содержит исчерпывающие сведения о распределении расстояний среди всех планет, расположенных не далее от своей звезды. Действительно, обозначим через соответствующую плотность вероятности. По определению

Подставляя в числитель и знаменатель следующее из (5) выражение , получим искомое

Из (11), (9) вытекают полезные соотношения

Следует помнить, что безразмерна, ; , , имеют размерность [м]; , и безразмерны, связаны соотношением (10), причем , , .

---

<< 3. Вероятность обнаружения планеты | Оглавление | 5. Численные результаты >>

Публикации с ключевыми словами: экзопланета Публикации со словами: экзопланета
См. также: Зоопарк экзопланет: другие звезды Температура на экзопланете WASP-43b ε Тельца: звезда с планетой PDS 70: диск, планеты и спутники На далекой экзопланете обнаружен метан Звезда съедает планету Седьмой мир у звезды Trappist-1 Все публикации на ту же тему >>