Rambler's Top100Astronet    
  по текстам   по ключевым словам   в глоссарии   по сайтам   перевод   по каталогу
 

На первую страницу
Прецизионная фотометрия

<< 3.8 Регистрация фототока | Оглавление | 3.10 Оценка влияния нелинейности >>

3.9 Вывод формул учета нелинейности

Несложно вывести формулы, использующиеся на практике для учета эффекта нелинейности в методе счета фотонов. В основе вывода лежит общепринятое допущение, что промежутки времени между приходом двух последовательных фотонов имеют экспоненциальное распределение.

Если в среднем каждые $T$ секунд с фотокатода ФЭУ вылетает один фотоэлектрон, то промежутки времени между двумя последовательными вылетами частиц имеют экспоненциальное распределение со средним значением $T$. Это распределение описывается формулой

\begin{displaymath}
F(\Delta t) = 1 - e^{\Delta t/T} ,
\end{displaymath} (3.2)

$F(\Delta t)$ -- вероятность того, что случайный интервал между двумя последовательными вылетами фотоэлектронов меньше величины $\Delta t$.

Если в секунду с фотокатода вылетает $N$ фотоэлектронов и средний промежуток времени между ними

\begin{displaymath}
T = 1/N,
\end{displaymath} (3.3)

то вероятность того, что временное расстояние между последовательными фотоэлектронами будет меньше мертвого времени $\tau$, равна
\begin{displaymath}
F(\tau) = 1 - e^{-\tau N} .
\end{displaymath} (3.4)

Поскольку полное число фотоэлектронов, вылетевших за секунду, равно $N$, то число ``потерянных'' для счета событий $\Delta N$ пропорционально вероятности $F(\tau)$ и равно
(3.5)

а количество зарегистрированных фотоэлектронов
\begin{displaymath}
N' = N - \Delta N = N e^{-\tau N} .
\end{displaymath} (3.6)

Раскладывая экспоненту в ряд, имеем
\begin{displaymath}
e^{\tau N}=1+\tau N+\frac{(\tau N)^2}{2}+\frac{(\tau N)^3}{6}
+\dots~+\frac{(\tau N)^k}{k!} .
\end{displaymath} (3.7)

и, ограничиваясь двумя первыми членами разложения, получаем
\begin{displaymath}
N'\approx N / (1 + \tau N) .
\end{displaymath} (3.8)

Разрешая последнюю формулу относительно N, имеем
\begin{displaymath}
N \approx N' / (1 - \tau N) .
\end{displaymath} (3.9)

Требуемые формулы получены.

Заметим, что из формулы 3.6 следует

\begin{displaymath}
N = N' e^{\tau N} .
\end{displaymath} (3.10)

Подставляя это значение $N$ снова и снова в показатель степени в правой части выражения 3.10, т.е. ``само в себя'', получим
\begin{displaymath}
N = N'e^ {\tau N'\cdot{}e^ {\tau N'\cdot{}e^ {\tau N'\dots} } }.
\end{displaymath} (3.11)

На практике вычисления можно вести как по приближенной формуле 3.9, так и по более точной 3.11. В разумных пределах величин $t$ и $N'$ бесконечное выражение в формуле (3.11) сходится за 3-4 итерации. При очень больших потоках результаты вычислений по формулам 3.9 и 3.11 начинают сильно различаться, Но в этом случае вообще нельзя пользоваться какими-либо формулами, так как трудно учесть влияние совпадений импульсов с кратностью более двух и иных труднопредсказуемых эффектов. При таких потоках работать методом счета фотонов не рекомендуется.



<< 3.8 Регистрация фототока | Оглавление | 3.10 Оценка влияния нелинейности >>

Публикации с ключевыми словами: Фотометрическая система - звездная величина - фотометрия - спектрофотометрия - атмосферное поглощение
Публикации со словами: Фотометрическая система - звездная величина - фотометрия - спектрофотометрия - атмосферное поглощение
См. также:
Все публикации на ту же тему >>

Оценка: 3.1 [голосов: 86]
 
О рейтинге
Версия для печати Распечатать

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце


Астронет | Научная сеть | ГАИШ МГУ | Поиск по МГУ | О проекте | Авторам

Комментарии, вопросы? Пишите: info@astronet.ru или сюда

Rambler's Top100 Яндекс цитирования