---

<< 4.3 Неустойчивости газового грав... | Оглавление | 4.5 Гидродинамические неустойчивости ... >>

Разделы

• 4.4.1 Влияние диссипации на гравитационные и энтропийные возмущения
• 4.4.2 Быстрая диссипативная неустойчивость
• 4.4.3 Равновесные флуктуации в газовом диске

---

4.4 Диссипативные эффекты

При решении вопроса о гравитационной устойчивости газового диска и определении спектра колебаний в его плоскости учет диссипативных членов в первом приближении несуществен. Это можно проиллюстрировать следующей оценкой. Величина характерной "вязкой" частоты с по параметрам газового диска Галактики в окрестности Солнца (здесь -- молекулярная кинематическая вязкость). В то же время эпициклическая частота с .

Тем не менее исследование эффектов, связанных с учетом диссипативных членов, может привести к важным результатам. Во-первых, потому, что некоторые типы возмущений в плоскости газового диска могут обладать отрицательной энергией [2] и, следовательно, быть диссипативно неустойчивыми даже в гравитационно устойчивом диске. Во-вторых, учет диссипативных членов позволяет в принципе определить уровень равновесных флуктуаций, пользуясь флуктуационно-диссипативной теоремой [221,339]. Hаконец, мелкомасштабную туpбулентность можно учитывать в pамках диссипативной модели с эффективной (туpбулентной) вязкостью (см. п. 5.1.1).

4.4.1 Влияние диссипации на гравитационные и энтропийные возмущения

Используем приближение тонкого диска и ограничимся изучением коротковолновых осесимметричных возмущений. Для таких возмущений фурье-гармоники линеаризованных уравнений газодинамики с учетом диссипативных членов имеют вид [329] [сp. с (4.2.14)-(4.2.17)]

где ; , -- первая и вторая кинематические вязкости, -- возмущение энтpопии, -- коэффициент температуропроводности, -- удельная теплоемкость при постоянной плотности.

Система (4.4.1)-(4.4.4) должна быть дополнена уравнением Пуассона, коротковолновое решение которого имеет вид , и двумя термодинамическими соотношениями

где -- удельная теплоемкость при постоянном давлении и

Решая приведенную выше систему алгебраических уравнений, получим дисперсионное уравнение, описывающее свойства рассматриваемых возмущений

где ; . В бездиссипативном приближении из (4.4.8) получаем дисперсионное уравнение осесимметричных гравитационных возмущений

Выясним теперь влияние диссипации на эти возмущения. В соответствии с приведенными выше оценками полагаем , где . Тогда в линейном по диссипативным коэффициентам приближении получаем ( ; )

Поскольку , и в дисках плоских галактик , то в гравитационно устойчивом диске ( ) джинсовские возмущения затухают, а в гравитационно неустойчивом диске ( ) испытывают дополнительную дестабилизацию из-за диссипативных эффектов. Этот результат кажется естественным, так как джинсовские возмущения представляют собой звуковые () возмущения с учетом гироскопических эффектов () и самосогласованных возмущений гравитационного потенциала ( ). Звуковые же возмущения затухают [327]

и этот результат нетрудно получить из (4.4.9) в пределе коротковолновых () возмущений.

Общее дисперсионное уравнение (4.4.8) -- уравнение четвертой степени по . В бездиссипативном приближении из него следует, что кроме джинсовских , существует еще два (энтропийных) типа возмущений с . С учетом диссипации, полагая , для этих возмущений из (4.4.8) получаем упрощенное (квадратное по ) дисперсионное уравнение

Если пренебречь теплопроводностью ( ) и считать диск твердотельно вращающимся, то из (4.4.11) следуют результаты работ [340,341]

и, следовательно, в гравитационно устойчивом ( ) газовом диске может развиваться диссипативная неустойчивость в области длин волн ^4.3. Учет конечной теплопроводности расширяет интервал диссипативно неустойчивых длин волн [329] до

Этот результат качественно согласуется с полученным Кумаром [342] для модели гравитирующего цилиндра.

4.4.2 Быстрая диссипативная неустойчивость

Из дисперсионного уравнения (4.4.11) следует, что инкремент диссипативной неустойчивости по порядку величины равен . Нетрудно также видеть, что учет дифференциальности вращения диска не меняет порядок величины этого результата. Эти результаты, однако, можно считать корректными только в том случае, если характерное время нестационарности диска много больше обратного инкремента. Характерное время динамической нестационарности , а характерное время тепловой нестационарности (эта оценка вытекает из уравнения баланса тепла). В общем случае инкремент диссипативных возмущений порядка и . Отсюда нетрудно видеть, что . Таким образом, характерные времена тепловой нестационарности диска и развития диссипативной неустойчивости оказываются одного порядка.

В связи со сказанным выше обратим внимание на следующее обстоятельство [343]. Инкремент диссипативной неустойчивости (равно как и декремент затухания гравитационных возмущений) по порядку величины равен за пределами довольно узкой зоны волновых чисел, лежащей в окрестности . Но для близкого к границе гравитационной устойчивости диска в пределах указанной зоны волновых чисел инкремент диссипативной неустойчивости оказывается порядка . Ясно, что в таком диске возможно , или иначе

и, следовательно, приведенные выше результаты в малой окрестности будут неприменимы. В этом случае термин "гравитационные возмущения" теряет смысл и дисперсионные свойства всех четырех типов возмущений должны определяться из общего дисперсионного уравнения (4.4.8), решения которого при и имеют вид (без учета дифференциальности вращения диска)

где

Из этого спектра решений неустойчивыми являются только возмущения с и их инкремент

а остальные решения соответствуют затухающим возмущениям.

Учитывая тот факт, что по порядку величины и ( -- длина свободного пробега частиц), нетрудно видеть, что . Поэтому диссипативная неустойчивость (4.4.14) является быстрой и для динамических процессов, определяемых этой неустойчивостью, тепловая нестационарность диска несущественна.

Нетрудно обобщить результат (4.4.14) и на случай дифференциально вращающегося диска. В пределе из исходного дисперсионного уравнения (4.4.8) получаем

Поскольку