Д'Аламбера-Лагранжа принцип
19.06.2002 21:37 | "Физическая Энциклопедия"/Phys.Web.Ru
Д'Аламбера-Лагранжа принцип - один
из основных принципов механики, устанавливающий важное свойство движения механических
систем с любыми идеальными связями и дающий общий метод решения
задач динамики (и статики) для этих систем.
Принцип Д'Аламбера-Лагранжа можно рассматривать как соответствующее о6общение принципа
Д'Алам6ера и принципа возможных перемещений. Из принципа
Д'Аламбера следует, что действующие на каждую точку системы активные силы
и реакции связей могут быть уравновешены силой инерции
, где mi - масса этой точки, wi
ее ускорение. Принцип Д'Аламбера-Лагранжа выражает этот результат
в форме, исключающей из рассмотрения все наперёд неизвестные реакции связей: истинное
движение механической системы с любыми удерживающими идеальными связями отличается
от
всех кинематически возможных тем, что только для истинного движения сумма элементарных
работ всех активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении
системы равна в каждый данный момент времени нулю. Математически принцип Д'Аламбера-Лагранжа
выражается равенством, которое называют также общим
уравнением механики:
![]() |
(1) |
где - векторы возможных перемещений точек системы, а
и
означают символически
соответственно элементарные работы активных сил и сил инерции. Уравнение (1) может
применяться к решению задач непосредственно, так же, как и принцип возможных перемещений.
Наиболее простую форму принцип Д'Аламбера-Лагранжа принимает при переходе к обобщённым
координатам qi, число которых равно числу
степеней свободы системы. Тогда для голономных
связей уравнение
(1) принимает вид
![]() | (2) |
где Qia - обобщенные активные силы, Qiи - обобщенные силы инерции. Из (2), в силу независимости между собой координат qi, вытекают s равенства:
![]() | (3) |
Отсюда следует, что при движении голономной системы каждая из обобщенных активных сил может быть в данный момент времени уравновешена соответствующей обобщенной силой инерции. Если выразить все Qiи через кинетическую энергию системы, то равенства (3) обратятся в уравнения Лагранжа механики.