Rambler's Top100Astronet    
  по текстам   по ключевым словам   в глоссарии   по сайтам   перевод   по каталогу
 

На первую страницу Современная астрономия и методика ее преподавания
<< Предыдущая

Содержание

Следующая >>

Задачи с элементами небесной механики и методы их решения

Арюткина А.А.
Арзамасский государственный педагогический институт им. А.П. Гайдара

Сила тяготения со стороны Земли, которая может быть выражена через ускорение свободного падения как F=mg, непостоянна и находится в зависимости от ряда факторов. Это нашло отражение в школьном курсе физики. Напомним, что сила гравитации, а, следовательно, и ускорение свободного падения являются функциями:

  1. высоты поднятия тела над Землёй,
  2. аномалии в строении земной поверхности,
  3. широты местонахождения тела на поверхности Земли, что вызвано натуральной сплюснутостью, и эффектом осевого вращения нашей планеты. (1).

Одна из простейших задач на расчет силы тяжести может быть сформулирована следующим образом:

Задача 1. Определить силу, с которой Земля притягивает к себе тело, находящееся от нее на высоте 630 км, если сила тяготения близ поверхности Земли известна и равна 600 H. Радиус Земли считать равным 6370 км.

Дано:

h=630 км.
R=6370 км.
F=600 H.

Решение:

 В соответствии с законом тяготения выражения силы тяжести для двух случаев могут быть записаны в скалярной форме:

                

F-?

Их отношение позволит легко определить значение искомой величины

и после подстановки данных

В качестве примера можно привести определение силы тяжести на земном спутнике, Луне, на одной из планет-гигантов или их спутниках, либо на одном из астероидов, воспользовавшись при этом конкретными сведениями о величинах поперечников рассматриваемых объектов, плотностей и их масс.

Задача 2. С каким периодом должен вращаться космический корабль диаметром 6м., чтобы космонавт чувствовал себя как в поле тяготения Луны, находясь на ее поверхности. Известны отношения масс, радиусов Земли и Луны (81 и 11/3 соответственно). Ускорение свободного падения на поверхности Земли считать известным. 

Дано:

Mл=81 Mз.
Rл=3/11 Rз.
D=6 м.
g=9,8 м/с2

Решение:

Во вращающемся космическом корабле возникает сила F, прижимающая космонавта в направлении от оси вращения к стенке корабля. Эта сила есть результат ускоренного движения системы и связана с центростремительным ускорением знаком минус F = -ma,

Т - ?

где m - масса космонавта, a - центростремительное ускорение, равное w2r. Через диаметр выражение для F примет вид

В том случае, если космонавт находится в поле силы тяжести спутника Земли, последняя может быть представлена через ускорение свободного падения на поверхности Луны g'.  F=mg'. Связывая два соотношения для силы F, будем иметь

В условии задачи известны отношения масс, радиусов планеты и спутника, а потому ускорение свободного падения на поверхности Луны найдется из отношения следующих выражений:

После подстановки данных

 

Задача 3. Астероид Церера (4) с средней плотностью вещества около 2500 кг/м3 имеет размер поперечника 770 км. Зная массу своего тела, определите с какой силой притягивает вас к своей поверхности Церера. Как долго смогли бы вы падать на поверхность планеты с высоты 10м. (сравните с временем падения на Земли при g=9,81 м/с2). Какую скорость, во-первых, необходимо сообщить телу на поверхности Цереры, и, во-вторых, вышло из поля гравитации планеты. (Цереру считать однородным шаром). 

Дано:

ρ=2500 кг/м3
D=770 км=7,7*105 м
g=9,8 м/с2.
G=6,67*10-112/кг2.

Решение:

Первых три вопроса не представляют трудности для их разрешения. Из закона тяготения следует, что

где M, R - масса и радиус астероида.

Р-? t-? V-? V-?

Масса Цереры легко рассчитывается через плотность и объем сферического тела.

Следовательно

В результате подстановки числовых данных будем иметь

 

Если учесть массу человека, скажем, в 60 кг., то F=16,2 H. Считая ускорение свободного падения близ поверхности планеты постоянным, можно, применив формулу пути равнопеременного движения, определить время, за которое свободно падающее без начальной скорости тело пройдет расстояние 10 метров.

Оно, оказывается в 6,02 раза больше времени падения тела на поверхности Земли.

Третий и четвертый вопросы преследуют цель нахождения первой и второй космической скоростей, с приобретением которых тела становятся либо искусственными спутниками планет, либо выходят из поля гравитации планет. Определение космических скоростей - это второй тип задач, предлагаемых вниманию читателя.

С процессом нахождения первой космической скорости тело относительно Земли учащийся хорошо знаком из курса физики средней школы. С одной стороны, центростремительное ускорение, сообщаемое движущемуся по круговой орбите телу силой земного притяжения,

, и с другой стороны,

, где R - радиус Земли, а скорость рассчитывается относительно поверхности Земли. Эта скорость и есть первая космическая.

Расписывая силу земного тяготения, будем иметь

С увеличением высоты тела над Землей круговая скорость уменьшается и тем значительнее, чем больше h.

После подстановки данных в формулу для первой космической скорости получаем хорошо знакомую цифру

Для Цереры, в частности, первая космическая скорость примет значение:

Определение скорости освобождения тела из поля гравитации планеты или звезды ведется с позиции интегрального метода исчисления, с которым старшеклассник и, более того, студент ВУЗа хорошо знаком.

Рассуждаем следующим образом: кинетическая энергия, которую следует сообщить телу у поверхности Земли, должна полностью расходоваться на работу по преодолению сил земного тяготения
, где VII - есть вторая космическая скорость.

Поскольку сила тяжести переменна и зависит от расстояния до планеты, то рассчитать работу этой силы можно, выделив очень малый участок пути (dr), на котором направление, а также величину силы можно считать постоянной. Тогда элементарная работа на малом участке перемещения примет вид dA=Fdr. А полная работа определяется путем интегрирования

Пределы интегрирования выбраны с учетом того, что в начале пути тело находилось на поверхности Земли, а в конце ушло в бесконечность относительно поля земного тяготения.

Итак:

Подставив в выражение для кинетической энергии вместо работы А, будем иметь для второй космической скорости значение

Относительно астероида Цереры вторая космическая скорость вычисляется согласно выражению:

Ввести определение скоростей космических объектов аналогичным образом можно, вкладывая в содержание задач несколько иной смысл.

Перечень предлагаемых задач может быть значительно расширен, и, естественно, в компетенции преподавателя видоизменить ассортимент как качественных, так и вычислительного характера примеров раздела небесной механики. Полагаем, что с привлечением рекомендуемого в данной работе типа задач существенно повысится интерес учащихся (студентов) к изучению темы "Всемирное тяготение" обязательных курсов физики, астрономии и факультативных курсов, спецкурсов в школе и ВУЗе, что приведет к интенсификации процесса усвоения материала.

<< Предыдущая

Содержание

Следующая >>

Публикации с ключевыми словами: астрономия - ВУЗ - конференции - курс астрономии - дидактика - дидактический материал
Публикации со словами: астрономия - ВУЗ - конференции - курс астрономии - дидактика - дидактический материал
См. также:
Все публикации на ту же тему >>

Мнение читателя [1]
Оценка: 3.1 [голосов: 155]
 
О рейтинге
Версия для печати Распечатать

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце


Астронет | Научная сеть | ГАИШ МГУ | Поиск по МГУ | О проекте | Авторам

Комментарии, вопросы? Пишите: info@astronet.ru или сюда

Rambler's Top100 Яндекс цитирования