Rambler's Top100Astronet    
  по текстам   по ключевым словам   в глоссарии   по сайтам   перевод   по каталогу
 

На первую страницу
Физические основы строения и эволюции звезд

<< 1.7 Вариационный принцип | Оглавление | 2. Аналитическая теория политропных ... >>

1.8 Теорема вириала

Предположим, что уравнение состояния степенное: $ P=K\rho^\gamma$. Тогда удельная тепловая энергия $ E={K\over {\gamma-1}}\rho^{\gamma-1}={K\over {\gamma-1}}v^{-(
\gamma-1)}$. Мы знаем, что в равновесии $ \delta {\cal{E}}=0$ при произвольной $ \delta r(m)$. Пусть $ \delta r=(1+\alpha) r \;(\vert\alpha\vert \ll 1)$. Такое возмущение описывает подобное (гомологическое) расширение или сжатие звезды. Тогда $ v'=(1+
3\alpha)v, \;\delta U=-\alpha U, \;\delta Q=-3(\gamma-1)\alpha Q$. Следовательно,

$\displaystyle \delta {\cal{E}}=-3(\gamma-1)\alpha Q-\alpha U=0,
$

откуда

$\displaystyle Q=-{1\over {3(\gamma-1)}}U
$

(это соотношение и называют теоремой вириала). Для одноатомного газа с $ \gamma=
{5\over 3}$ имеем $ Q=-{U\over 2}, \;{\cal{E}}={U\over 2}=-Q$.

\begin{wrapfigure}{l}{0.5\textwidth}
\epsfxsize =0.45\textwidth
\hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfbox{fig/f11.ai}\hss}
\end{wrapfigure}
Рис. 11.

Теперь положим $ r'=\beta r$, причем не будем считать $ \vert\beta-1\vert$ малой величиной, а исходное состояние -- равновесным. Обозначим через $ U_1$ и $ Q_1$ соответствующие величины энергий исходной модели. Тогда после преобразования $ U={1\over \beta}U_1,
\;Q={1\over {\beta^{3(\gamma-1)}}}Q_1$ (для степенного уравнения состояния). Если $ \gamma=
{5\over 3}$, то $ Q={1\over \beta^2}Q_1$. Как выглядит в этом случае кривая $ {\cal{E}} (\beta)$? При $ \beta \to \infty$ асимптотика определяется величиной $ U$, при $ \beta \to 0$ -- величиной $ Q$ (рис. 11). Получаем, что при $ \gamma=5/3$ кривая имеет один и только один минимум, т.е. равновесие устойчиво.

Получим теорему вириала другим способом из уравнения равновесия, причем зависимость $ P(\rho)$ может быть произвольной. (Выше при выводе теоремы вириала из вариационного принципа зависимость $ P=K\rho^\gamma$ была существенна). Умножим уравнение равновесия (1.6) на $ r$:

$\displaystyle -{r\over \rho} \,{dP\over {dr}}={Gm\over r}
$

и проинтегрируем по $ dm$:

\begin{displaymath}
\begin{array}{ll}
\int {Gmdm\over r}&=-\int {r\over \rho} \,...
...ight\vert _0^R+3\int P \,4\pi r^2 dr=3\int PdV, \cr
\end{array}\end{displaymath}

т.е.

$\displaystyle \int {Gmdm\over r}=3\int PdV
$

теорема вириала при произвольном $ P(\rho)$.

При степенном уравнении состояния, используя $ P=(\gamma-1)E \,\rho$, имеем уже известное соотношение $ U=-3(\gamma-1)Q$.

В действительности уравнение состояния не степенное, но для многих оценок полезно знать свойства звезд с таким уравнением состояния. Для степенного уравнения состояния имеется подобие, т.е. достаточно решить задачу при данном $ \gamma$ для одного значения $ \rho_c$, чтобы найти функциональную зависимость $ M(\rho_c)$ и $ R(\rho_c)$. В систему уравнений

$\displaystyle -{1\over \rho} \,{dP\over {dr}}={Gm\over r^2},\quad {dm\over dr}=4\pi r^2
\,\rho,\quad P=K\rho^\gamma
$

входят размерные константы

$\displaystyle [G]={\mbox{см}^3\over \mbox{г} \cdot \mbox{с}^2}, \;[K]={\mbox{см...
...\over \mbox{см}^3}\right)^{-\gamma+1}, \;[\rho_c]=
{\mbox{г}\over\mbox{см}^3}.
$

Поэтому, комбинируя $ G, \;K, \;\rho_c$ в различных степенях, можно получить массу, радиус и другие характеристики звезды. Эту задачу можно решить формально, составляя систему уравнений типа

$\displaystyle [R]=$см$\displaystyle ^1=[G]^x \,[K]^y \,[\rho_c]^z=$см$\displaystyle ^\alpha \,$г$\displaystyle ^\beta \,$   с$\displaystyle ^\delta\,,
$

$\displaystyle \alpha=1, \;\beta=0, \;\delta=0, \;$т.е.$\displaystyle $

$\displaystyle 3x+(3\gamma-1)y-3z=1,
$

$\displaystyle -x+(1-\gamma)y+z=0,
$

$\displaystyle -2x-2y=0;
$

откуда $ x=-{1\over 2}, \;y={1\over 2}, \;z={{\gamma-2}\over 2}$, т.е. $ R\sim (
K/G)^{1\over 2}\rho_c^{{\gamma-2}\over 2}$.

Более наглядно эта связь получается с помощью порядковых оценок:

$\displaystyle P_c \simeq {GM^2\over R^4}, \quad\rho_c \simeq {M\over R^3}, \quad P_c=K\rho_c^\gamma.
$

Смысл первого соотношения легко понять, если вспомнить, что сила притяжения между двумя половинками звезды $ \sim {GM^2\over R^2}$, а давление (сила на единицу площади, пропорциональной $ R^2$) $ \sim {GM^2\over R^4}$. Исключая из этих выражений $ M$, имеем выражение для $ R$, а исключая $ R$, находим

$\displaystyle {P_c\over \rho_c^{4/3}} \sim GM^{2/3} \sim K\rho_c^{\gamma-4/3}, \quad
\rho_c \sim \left({GM^{2/3}\over K}\right)^{1\over {\gamma-4/3}}.
$

Подчеркнем, что вид кривых $ M(\rho_c)$ и $ R(\rho_c)$ зависит от безразмерной величины $ \gamma$, т.е. кривые для разных $ \gamma$ не подобны.


<< 1.7 Вариационный принцип | Оглавление | 2. Аналитическая теория политропных ... >>

Публикации с ключевыми словами: Эволюция звезд - внутреннее строение звезд - термоядерные реакции - физические процессы
Публикации со словами: Эволюция звезд - внутреннее строение звезд - термоядерные реакции - физические процессы
См. также:
Все публикации на ту же тему >>

Оценка: 3.0 [голосов: 115]
 
О рейтинге
Версия для печати Распечатать

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце


Астронет | Научная сеть | ГАИШ МГУ | Поиск по МГУ | О проекте | Авторам

Комментарии, вопросы? Пишите: info@astronet.ru или сюда

Rambler's Top100 Яндекс цитирования