
§ 3.2 Равсновесие и устойчивость звезд
В следующей главе мы будем заниматься анализом уравнений равновесия звезд с точки зрения критериев подобия. Однако и не прибегая к анализу уравнений внутреннего строения звезд, можно получить из одних только соображений анализа размерностей ряд соотношений, описывающих условия равновесия и устойчивости звезд.
Равновесие звезд обеспечивается тем, что сжатию под действием собственного тяготения препятствует давление вещества. Размерность давления:
![]() |
(3.12) |
Условие равновесия определяется безразмерной комбинацией четырех определяющих параметров: G, М, R и р. Здесь только один безразмерный комплекс:
![]() |
(3.13) |
откуда следует общее соотношение:
![]() |
(3.14) |
где U - полная энергия звезды согласно (2.28).
Соотношения (3.13) - (3.14) можно использовать тогда, когда величина давления задана - отсюда можно определить радиус теля данной массы. Однако, как правило, задано не давление, а его зависимость от других параметров. Простейший случай, который мы сначала рассмотрим, соответствует однозначной зависимости между давлением р и плотностью ρ. Соображения анализа размерностей удобно применять тогда, когда эти зависимости степенные. Будем применять политропное соотношение
![]() |
(3.15) |
уже введенное феноменологически в гл. 2. Как мы увидим ниже, это соотношение часто описывает вполне реальные уравнения состояния вещества в недрах звезд.
В задаче определения условия равновесия звезды с политрапным уравнением состояния есть также только четыре размерных параметра: G, М, R и
![]() |
(3.16) |
Имеем матрицу размерности:
![]() |
Решение этой матрицы дает только один безразмерный комплекс:
![]() |
(3.17) |
Это соотношение определяет, например, радиус конфигурации данной массы с заданными величинами Kγ и γ. Условие (3.17) можно получить из (3.13), если там заменить р на (3.15), причем вместо плотности ρ подставить M/R3.
Значение Пγ из соображений анализа размерностей не определяется, но эту величину нетрудно найти из решения уравнений равновесия (см. таблицу на стр.128).
Простое соотношение (3.17) при Пγ = const позволяет изучить, по крайней мере качественно, многие характерные особенности равновесия звезд или вообще гравитирующих конфигураций с противодавлением.
Случаю γ → ∞ (n = 0) соответствуют шары из несжимаемой жидкости. Здесь просто M ∼ R3, поскольку плотность таких шаров постоянна. Случай γ = 2 (или n = 1) иногда применяют для очень грубого описания уравнения состояния твердого тела, поэтому этот случай ранее использовался для оценки свойств планет. Впрочем, это очень грубое приближение и в настоящее время им не пользуются. Но этот случай интересен тем, что здесь радиус конфигурации совсем не зависит от еэ массы; полагая П2 ≈ 1, имеем
![]() |
(3.18) |
Следующий особый случай: γ = 4/3 (n=3). Здесь масса конфигурации однозначно определена величиной K4/3 и радиус ее может быть произвольным. Имеем при П4/3 = 1:
![]() |
(3.19) |
Анализ уравнений равновесия показывает, что политропные конфигурации возможны лишь при γ ≥ 6/5 (n ≤ 5). Случаю γ = 6/5 и n = 5 соответствует конфигурация конечной массы, но бесконечного радиуса. Заметим, что при γ = 6/5 вместо соотношения (3.17) можно написать безразмерную комбинацию
![]() |
(3.20) |
где U - полная энергия такой конфигурации, которая тоже остается конечной. При γ < 6/5 и масса и радиус равновесных конфигураций должны быть бесконечными.
Таким образом, равновесие гравитирующих политропных звезд возможно лишь в интервале значений 6/5 ≤ γ < ∞ или 0 ≤ n ≤ 5. Однако не во воем этом интервале они устойчивы. Критерий устойчивости также следует из (3.17), который, однако, лучше записать в виде
![]() |
(3.21) |
Каждая из частей этого равенства есть давление в конфигурации, причем знак равенства соответствует равновесию между собственным гравитационным притяжением и противодавлением.
Пусть теперь радиус конфигурации R самопроизвольно уменьшается. При этом обе части равенства (3.21) возрастут. Если 3γ > 4, то противодавление возрастет больше и конфигурация вернется в прежнее состояние. Если же Зγ < 4, то собственное притяжение возрастает быстрее противодавления и конфигурация начнет самопроизвольно сжиматься. Итак, политропные шары при γ < 4/3 неустойчивы и существовать не могут.
Учет эффектов общей теории относительности, вращения и других причин делает неустойчивыми конфигурации и при слегка превышающем 4/3. Например, с учетом эффектов общей теории относительности находим, что устойчивы лишь конфигурации с
![]() |
(3.22) |
Из соотношения (3.17) также следует, что центральные плотности для конфигураций с данными значениями γ и Kγ зависят от их массы следующим образом:
![]() |
(3.23) |
При γ > 4/3 с увеличением массы растет и центральная плотность. Уменьшение центральной плотности при увеличении массы при γ < 4/3 также означает неустойчивость подобных конфигураций.
Пока рассмотрение было общим, мы не касались физической природы противодавления. Теперь рассмотрим конкретнее различные физические причины, определяющие давление вещества в звездах.
В подавляющем большинстве звезд главной последовательности основной причиной противодавления является газовое и лучевое давление. Имеем из известных уравнений состояния:
![]() |
(3.24) |
где σ - постоянная Стефана - Больцмана и с - скорость света. Подставляя (3.24) в (3.14), мы прежде всего можем оценить характерную температуру в недрах газовых звезд. Если лучевым давлением можно пренебречь (что обычно имеет место для не слишком массивных звезд), то оценка температуры
![]() |
(3.25) |
Естественно, что и эту формулу можно получить из соображений анализа размерностей. Более подробно мы будем рассматривать газовые звезды с малым лучевым давлением в следующей главе.
Очевидно, что чем больше масса стационарной звезды, тем больше и температура в ее недрах. С ростом температуры растет и роль лучевого давления. Рассмотрим несколько идеализированный, на первый взгляд, случай, когда по всей звезде газовое давление примерно равно лучевому, т. е.
![]() |
(3.26) |
Здесь ρ ∼ T3, а следовательно, и давление р ∼ ρT3 ∼ ρ4/3. Таким образом, подобная звезда описывается политропным законом (3.15) с γ = 4/3 и
![]() |
(3.27) |
Масса такой звезды согласно (3.19) оказывается вполне определенной:
![]() |
(3.28) |
Подставляя численное значение постоянных и принимая П4/3 = 0,363 (см. гл. 4), получим
![]() |
(3.29) |
У горячих звезд молекулярный вес обычно близок к μ ≈ 0,5-0,8; этому значению соответствует полная ионизация водорода, основной компоненты вещества звезд. Отсюда масса таких звезд порядка 100-200 масс Солнца. Обычно это значение считается предельным для массы стационарных газовых звезд, хотя, по-видимому, не наблюдались звезды с массой, большей 60-80 солнечных.
У звезд больших масс лучевое давление оказывается больше газового, и здесь показатель политропы оказывается в опасной близости к точному значению γ = 4/3. Такие конфигурации, как мы видели, неустойчивы. Чем больше роль газового давления, тем больше отклонение реального значения γ от 4/3.
Предположение о пропорциональности лучевого и газового давления по всему объему звезды было сделано Эддингтоном при первом построении звездных моделей.
Основанная на этом предположении так называемая стандартная модель сыграла большую роль в развитии теории внутреннего строения звезд. Хотя теперь стандартная модель и считается пройденным этапом, все же она более или менее удовлетворительно описывала некоторые особенности строения звезд. В частности, как мы видели выше, она позволила получить неплохую оценку верхнего предела массы звезд.
Впрочем, оценки устойчивости массивных звезд должны учитывать еще ряд эффектов, как, например, образование электронно-позитронных пар (ем. [2]). Четких оценок верхнего предела массы устойчивых газовых звезд пока нет.
Однако для звезды данной массы легко получить оценку ее максимальной светимости - так называемый предел Эддингтона. Очевидно, что светимость звезды не может быть больше того значения, при котором лучевое давление на наружный слой равно гравитационному притяжению. Сила притяжения единицы объема в слое с плотностью ρ со стороны звезды равна
![]() |
(3.30) |
Размерность этой величины г/(см2 ⋅ сек2). С другой стороны, лучевое давление в этом же слое связано с поглощением или рассеянием импульса, переносимого излучением. Поток излучения через единичную площадку равен
![]() |
(3.31) |
а его импульс есть
![]() |
(3.32) |
Поглощаемый или рассеиваемый в единице объема поток энергии зависит от коэффициента поглощения и плотности среды и, очевидно, равен
![]() |
(3.33) |
с той же размерностью, что и (3.30). Приравнивая обе величины, получаем верхний предел светимости
![]() |
(3.34) |
При большой светимости и высокой температуре основным механизмом поглощения является томсоновское рассеяние на свободных электронах (2.45) - (2.46). Отсюда находим
![]() |
(3.35) |
У звезд с массой, равной массе Солнца, эддингтоновский предел светимости
![]() |
Сравнение (3.35) с (3.11) дает еще один предел массы газовых звезд Mlim ≈ 200 М☉, который того же порядка, что и (3.29).
<< § 3.1 Соотношение масса — светимость | Оглавление | § 3.3 Белые карлики, нейтронные звезды и "черные дыры" >>