
Глава II. Гравитация и электромагнетизм
Все многообразие процессов, протекающих в природе, как известно, определяется четырьмя видами взаимодействий: сильным, электромагнитным, слабым и гравитационным. Сильные взаимодействия определяют ядерные силы. Электромагнитные взаимодействия существенны для структуры атомов, химических реакций, явлений излучения. Слабые взаимодействия определяют некоторые превращения элементарных частиц (например, протона в нейтрон и обратно) и поэтому также существенны для характеристики атомных ядер. Гравитационное взаимодействие характеризует всю крупномасштабную структуру мира.
Каждое из этих взаимодействий характеризуется своей константой и радиусом действия. Два из четырех взаимодействий - электромагнитное и гравитационное считаются далыюдействующими - сила взаимодействия спадает обратно пропорционально квадрату расстояния. Константы этих взаимодействий определяются достаточно уверенно: α; = е2/ħс = 1/137 для электромагнитного и δ = Gmp2/ħс = 6 ⋅; 10-39 для гравитационного. Два других взаимодействия имеют очень малый радиус действия (порядка размера ядра) и плохо определяемые константы взаимодействия - порядка 1-10 для сильного и около 10-12 для слабого.
В астрофизических проблемах определенную роль играют все четыре вида взаимодействий. Ядерные реакции определяют энергетику звезд. Слабые взаимодействия существенны для нейтринной астрофизики. Но наибольшую роль в астрофизике играют гравитационное и электромагнитное взаимодействия. И именно при изучении явлений, связанных с этими взаимодействиями, методы теории размерностей оказываются наиболее полезными.
Поэтому в данной главе будут рассмотрены некоторые простые примеры, характеризующие размерностные соотношения между астрофизическими величинами. Как правило, мы не будем выводить новых соотношений. Задача этой главы заключается в том, чтобы показать, какими наглядными и простыми становятся уже известные формулы, если проанализировать их размерностную структуру. В частности, мы увидим, что таким путем легче получить простые количественные оценки явлений.
§ 2.1 Определяющие параметры гравитации
Закон всемирного тяготения управляет структурой и развитием подавляющего большинства различных небесных тел. Поэтому постоянная гравитационного взаимодействия, G, входит в качестве одного из определяющих параметров в очень многие астрофизические задачи. Очень часто этот параметр является и самым главным. Например, структура звездных систем и галактик почти исключительно определена законом всемирного тяготения; характеристики "черных дыр" также целиком определяются гравитационными свойствами материи; гравитационное сжатие протозвезд объясняет образование звезд вообще; велика роль гравитации в эффекте аккреции. Таких примеров много.
Разумеется, гравитация существенна и для определения характеристик всех типов звезд. Но их структура тесно связана и с давлением газа, которое уравновешивает силу притяжения, и с ролью переноса энергии в звезде. Поэтому при определении свойств звезд гравитация выступает лишь в качестве одного из нескольких определяющих равновесных параметров, основанных на разных физических законах. Свойствам звезд будут посвящены следующие главы. В этом параграфе мы рассмотрим такие системы, свойства которых почти целиком зависят от закона всемирного тяготения.
Перечислим основные определяющие параметры в системах с преобладающей ролью гравитации. Основных единиц размерности здесь три - грамм, сантиметр, секунда. Тепловых эффектов мы не учитываем и поэтому температурная единица опускается. Первые три параметра с независимыми размерностями, входящие в качестве определяющих почти в любую задачу, это
![]() |
(2.1) |
Во многих случаях масса и размер встречаются в комбинации, соответствующей определению средней плотности системы или тела:
![]() |
(2.2) |
В плоских системах, где размер в одном направлении много меньше размера в двух других направлениях, определяющим параметром является поверхностная плотность
![]() |
(2.3) |
Гравитирующие системы часто вращаются, колеблются или пульсируют, сжимаются или расширяются. Эти явления характеризуются параметрами с размерностью времени. В дальнейшем угловую скорость вращения будем обозначать через Ω;;; , частоту колебаний через ω, а характерное время сжатия или расширения будем обозначать через Р. Таким образом,
![]() |
(2.4) |
Еще одна группа важных параметров гравитационных систем и тел имеет размерность скорости. Но сами величины скорости различны. Во вращающихся системах существенна линейная скорость вращения, которую мы будем записывать в виде vR = Ω;;;R, Линейная скорость вращения различна на разных расстояниях от оси вращения, как, впрочем, может меняться с этим расстоянием и Ω;;; , но величина vR служит характерным значением этого параметра.
В звездных системах, состоящих из отдельных взаимодействующих друг с другом звезд и подсистем (скоплений) звезд, существенную роль играет дисперсия хаотических скоростей звезд. Эту величину мы будем обозначать как 〈v2〉.
Если в системе возникнет какое-либо возмущение, то оно может распространяться по всей системе. Скорость распространения возмущений мы обозначим через vc. В газовой среде это может быть обычная скорость звука, но возмущения распространяются, например, и по звездным системам, где нет газа и звука в его обычном понимании. Кроме того, если в системе есть магнитное поле, то скорость распространения возмущений включает в себя и альвеновскую скорость. Иными словами, ис есть некоторый параметр, задаваемый физическими условиями в системе. Наконец, в тех случаях, когда важны эффекты теории относительности, определяющим параметром является и скорость света с. Таким образом, следующая группа определяющих параметров имеет размерность скорости:
![]() |
(2.5) |
Последним, но очень важным параметром, который мы здесь определим, является давление вещества, обозначаемое в дальнейшем через р. Во многих случаях давление вещества в гравитирующей системе определяет условие равновесия, обеспечивая стационарность системы. Равновесные звездные системы могут существовать и без давления. С другой стороны, есть случаи, когда никакое давление вещества не в состоянии остановить гравитационное сжатие.
Давление определяется состоянием вещества, его плотностью, температурой, молекулярным весом. В астрофизике часто употребляется так называемое политропное состояние, когда предполагается, что давление вещества определяется только его плотностью и что эту зависимость можно записать в степенном виде:
![]() |
(2.6) |
где γ - постоянное число, называемое показателем политропы (часто употребляется индекс политропы n = 1/(γ - 1)), и Kγ - некоторая константа, называемая политропной температурой (хотя она ничего общего с обычной температурой не имеет).
Политропная зависимость (2.6) часто встречается в реальных условиях. Например, этой формулой можно описать давление вырожденного газа, где роль температурных эффектов вообще мала. Формула (2.6) описывает связь между давлением и плотностью в тех случаях, когда энтропия таза одинакова во всех частях системы, например, это имеет место тогда, когда энергия переносится конвекцией. Так что выводы, полученные с помощью политропного закона, могут быть использованы для интерпретации многих явлений. Но даже и в тех случаях, когда давление не определяется однозначно плотностью, или когда нет степенной зависимости, формула (2.6) может служить хорошим аппроксимациоиным выражением. Размерности параметров (2.6) следующие:
![]() |
(2.7) |
Кроме этих основных определяющих параметров, в зависимости от условий задачи, вводятся и другие параметры. Так, например, можно ввести определяющий параметр с размерностью силы, можно также находить энергию гравитационных конфигураций. В задаче об аккреции определяющим параметром является скорость изменения массы тела и т. д.
Итак, три определяющих параметра G, М, R или G, М, ρ имеют независимые размерности и включают в себя три основные единицы размерности: г, см, сек. Поэтому простейшими задачами будут такие, в которых всего четыре определяющих параметра. Тогда из П-теоремы следует, что в этом случае имеется только одна безразмерная комбинация. Для иллюстрации начнем со следующей простой задачи.
Пробное тело обращается вокруг центра массы М. Требуется найти зависимость между периодом обращения Р и радиусом орбиты R. Составим матрицу размерности для четырех определяющих параметров: G, М, Р, R.
Имеем:
![]() |
Решение уравнений, следующих из этой матрицы, дает только один безразмерный комплекс
![]() |
(2.8) |
Это есть не что иное, как хорошо известный закон Кеплера:
![]() |
(2.9) |
которому соответствует численное значение безразмерного комплекса П=(2π)2. В системе из двух звезд сравнимых масс M1 и M2:
![]() |
(2.10) |
Как известно, исследование двойных систем звезд очень важно тем, что здесь можно определить массу компонент звездной системы. Из (2.10) это с очевидностью следует. Серьезной трудностью является то, что в (2.10) входит сумма масс звезд, и для определения массы каждой звезды нужна дополнительная информация. Например, при исследовании спектрально-двойных или визуально-двойных звезд, когда можно измерить лучевые скорости каждой из компонент, отдельные массы определяются тем, что лучевые скорости звезд в системе обратно пропорциональны их массам. Еще одна трудность связана с тем, что обычно не известно наклонение плоскости орбиты к лучу зрения - в таком случае определяется только проекция расстояния на картинную плоскость. Однако в затменных системах, где луч зрения лежит в плоскости орбиты, величины M1 и M2 определяются однозначно.
В результате многочисленных исследований двойных систем звезд были определены массы многих отдельных звезд с достаточной точностью именно на основе соотношения (2.10), с учетом всех дополнительных фактров, в том числе и соотношения масса - светимость, о котором будет идти речь в следующей главе.
Соотношение (2.10) можно использовать и для определения масс двойных систем галактик, которые также встречаются довольно часто. Как и в случае звездных систем, здесь можно определить только суммарную массу двух галактик. Практически никогда нельзя оценить наклон плоскости орбиты к лучу зрения (т. е. наблюдается лишь проекция R). Но есть и еще одна трудность - период обращения галактик вокруг общего центра тяжести не может быть, разумеется, определен непосредственно из наблюдений, как это сравнительно легко делается в случае звезд. Поэтому здесь лучше вместо периода обращения ввести скорость движения галактик на орбите вокруг центра тяжести и переписать соотношение (2.8) в виде
![]() |
(2.11) |
где v = 2ρR/P и П1 = 1 согласно (2.10). Из наблюдений можно определить только лучевую компоненту скорости vr. Из всего сказанного выше следует, что применить это соотношение к определению масс в некоторой конкретной индивидуальной двойной системе галактик нельзя. Но можно воспользоваться статистическими соображениями, использовав средние лучевые скорости и средние проекции расстояний между компонентами в двойной системе галактик, полученными при наблюдениях многих подобных систем. Тогда численное значение безразмерного комплекса в (2.11) уже отлично от единицы и его можно определить статистически, если считать, что компоненты пары галактик равномерно распределены по своим орбитам, а сами орбиты равномерно ориентированы в пространстве. Тогда в (2.11) имеем для средних значений расстояний между компонентами и их средних лучевых скоростей соотношение
![]() |
(2.12) |
которое определяет среднее значение суммарной массы галактик в двойных системах. Благодаря тому, что измеряемые значения лучевой скорости всегда меньше истинных полных скоростей, а среднее значение измеряемой проекции расстояния меньше его истинного значения, численное значение безразмерного комплекса оказалось больше единицы.
Этим путем Пейдж определил массы разных типов галактик. Для выборки из 45 эллиптических галактик типа Е и SO средняя масса оказалась равной 4 ⋅ 1011 масс Солнца, а для выборки из 20 спиральных и иррегулярных галактик получено среднее значение массы порядка 3 ⋅ 1010 масс Солнца. По аналогии с комплексом П1 можно построить и другие безразмерные комплексы, в которых к трем основным параметрам G, М, R добавлен параметр с размерностью времени (или угловая скорость с размерностью обратного времени), например,
![]() |
(2.13) |
Эти соотношения выражают следующий общий закон гравитнрующих систем - их временные характеристики определяются средней плотностью системы. Следствие этого закона для пульсирующих звезд было рассмотрено в гл. 1 (формулы (1.16) - (1.18)).
Комплекс П2 можно использовать при рассмотрении самых различных объектов: двойных звезд и галактик, пульсирующих звезд, вращающихся галактик, простейших космологических моделей. Всюду, где существенны характеристики с размерностью времени, безразмерные комплексы П2 оказываются порядка единицы. Так, ничего не зная о структуре звездной системы, кроме того, что она плоская и быстро вращается, можно утверждать, что ее угловая скорость порядка . Если звезда может пульсировать, то независимо от ее строения частота колебаний порядка
, где
- средняя плотность. Не зная деталей сжатия протозвезды, но считая, что противодавление не играет заметной роли, можно утверждать, что характерное время сжатия порядка
. Разумеется, эти оценки грубые, дающие только порядок величин, но здесь важна именно общность этих оценок.
Теперь построим безразмерный комплекс, используя величину дисперсии скоростей. Запишем матрицу размерности в таком виде:
![]() |
Отсюда следует единственный безразмерный комплекс
![]() |
(2.14) |
Если величина скорости имеет другой физический смысл (вращательная скорость, скорость распространения возмущений, скорость света), то мы получим аналогичные выражения:
![]() |
(2.15) |
Первый из этих комплексов совпадает с первым из комплексов П2; он существен для анализа вращающихся систем. В невращающихся системах средняя дисперсия скоростей, если система находится в равновесии, порядка GM/R. Это означает, что их кинетическая энергия порядка абсолютной величины потенциальной энергии скопления
![]() |
(2.16) |
Это соотношение, в силу его общности, широко применяется в астрономии для определения масс систем, если известны их размеры и дисперсия скоростей (или скорости вращения во вращающихся системах).
Возможность оценки масс звездных систем по наблюдаемой дисперсии скоростей была предложена впервые Эддингтоном. Величину численного значения комплекса П3 можно оценить из разных соображений. Если скорости звезд в скоплении близки к параболическим, то П3 = 1, если же имеет место вириальное распределение, когда кинетическая энергия равна половине гравитационной потенциальной энергии, то П3 = ½ (вторая половина потенциальной энергии представляет собой энергию связи скоплений). Поэтому с точностью до постоянной, отличающейся от единицы не более чем в два раза можно написать формулу для определения массы скопления гравитирующих объектов, если известны дисперсия скоростей и характерный размер:
![]() |
(2.17) |
С помощью этой формулы Паренаго, например, для скопления Плеяды ( км ⋅ сек-1 и R = 3,5 пс = 1019 см) получил M ≈ 300 M☉. Для шарового скопления М 92 измерения дают
км ⋅ сек-1, R = 21 пс; получаем