
§ 4.4 Звезды с лучистым переносом энергии
Лучистый перенос энергии определяет основные свойства и структуру большинства звезд. Правда, вероятно, вообще нет звезд, в которых по всей их массе энергия переносилась бы только излучением. В реальных условиях есть слои и с лучистым и с конвективным переносом. В отличие от конвекции, поток энергии, переносимый лучистой теплопроводностью, лимитируется величиной коэффициента непрозрачности. Поэтому звезда как бы приспосабливается к условиям переноса энергии излучением, и ее структура определяется в первую очередь потоком лучистой энергии в тех слоях, где нет конвекции.
Задача заключается в том, чтобы, используя эту особенность строения звезд, найти критерии подобия и определить связи между основными параметрами звезды. Разумеется, мы не будем рассматривать в деталях теорию внутреннего строения звезд. В соответствии с основной темой книги основное внимание уделяется критериям подобия.
Вообще говоря, начало развития теории внутреннего строения звезд тоже было связано с принципом подобия. Еще в 1921 г. Эддингтон предположил, что все звезды построены по одной, названной им стандартной, модели, описываемой политропой с индексом n=3. Считалось, что параметр β из (4.12) одинаков по всей звезде, т.е. р ∼ T4 ∼ ρ4/3, а коэффициент непрозрачности и мощность источников энергии подбирались так, чтобы удовлетворить этому условию. Итак, по стандартной модели все звезды подобны, а различие их масс и светимостей определяется различием в значении параметра β - отношения лучевого давления к полному. Радиус звезды в этой модели теоретически не определен, поскольку, как известно, в политропе с n = 3 радиус не зависит от массы. Из формулы (4.12) при заданном β можно найти величину K4/3 для соотношения р = K4/3ρ4/3, а следовательно, по (4.36), и массу звезды с данным β Окончательный результат таков (см., например, [5]):
![]() |
(4.54) |
Случай β = ½ , где М ≈ 50М☉/μ2, был рассмотрен в гл. 3, где эта величина принималась близкой к верхнему пределу масс. У звезд малой массы β близко к единице.
На основе этой стандартной модели Эддингтоном было обнаружено и исследовано соотношение масса - светимость, а Стремгреном было дано объяснение главной последовательности на диаграмме Рессела - Герцшпрунга. Использование стандартной модели было оправдано тем, что в то время не было никаких данных об источниках энергии в звездах. До создания теории термоядерных источников энергии были предложены и другие модели звезд, также основанные на принципе подобия. В частности, следует отметить модель Коулинга, учитывающую в явном виде закон поглощения Крамерса и предполагающую, что источники энергии расположены в центре звезды. В этой модели имеется конвективное ядро в центре с радиусом 16,9% и с массой 14,5% от радиуса и массы звезды. Как мы увидим ниже, эта модель с конвективным ядром оказалась довольно близкой к реальным моделям с термоядерными источниками энергии.
Более полный анализ подобия звездных моделей, основанный на применении принципа подобия, появился уже после создания теории термоядерных источников энергии. Одним из первых было исследование Л. И. Седова ([16, 17]). Изложение подобного анализа дано также в книгах [1, 4]. Расчет структуры подобных моделей звезд дан В. С. Имшенником и Д. К. Надежиным [18]. Следующее ниже изложение основано на этих работах.
Запишем еще раз полную систему уравнений внутреннего строения звезды с учетом всех известных нам условии, предполагая лучистый перенос энергии:
![]() |
(4.55) |
Если заданы величины μ, ϰ0 и ε0, а также основные параметры звезды М, L и R, то эта система может быть решена полностью при следующих граничных условиях:
![]() |
(4.56) |
Система (4.55) - (4.56) справедлива, если ни в ядре звезды, ни вблизи ее поверхности нет зон, в которых энергия переносится конвекцией. Этот случай и рассматривался Л. И. Седовым ([17, 18]). Приведем здесь соотношения, полученные им из соображений размерности и принципа подобия (но в других обозначениях).
В звезде с лучистым переносом энергии нет перемешивания вещества и поэтому можно ожидать, что химический состав вещества меняется вдоль радиуса. В выражениях для ε и ϰ это можно учесть некоторым изменением показателей α , ν , m и n, считая величины ϰ0 и ε0 постоянными, а в выражении для молекулярного веса можно предположить существование зависимости
![]() |
(4.57) |
где ξ и η - некоторые постоянные числа. Введем теперь новые безразмерные переменные при помощи преобразования, обобщающего (4.33):
![]() |
(4.58) |
Более сложное преобразование для температуры определяется необходимостью учета соотношения (4.57). В других работах обычно пренебрегается изменением молекулярного веса, и тогда можно считать ξ = η = 1. Формула для перехода от Т(r) к t(x) оказывается более простой.
Теперь запишем уравнения (4.55) в безразмерном виде:
![]() |
(4.59) |
Здесь появились два безразмерных комплекса:
![]() |
(4.60) |
![]() |
(4.61) |
и выражение для полного давления, записанное в безразмерном виде:
![]() |
(4.62) |
где еще один безразмерный комплекс:
![]() |
(4.63) |
В частном случае постоянного молекулярного веса (ξ = η = 1) безразмерный комплекс Π3 зависит только от массы звезды:
![]() |
(4.64) |
где, по-прежнему, δ = Gmp2/ħc. Очевидно, что Π3 характеризует относительную роль лучевого давления.
Наконец, безразмерные граничные условия будут иметь такой вид:
![]() |
(4.65) |
Таким образом, задача свелась к решению безразмерных уравнений (4.59) и (4.62) с граничными условиями (4.65). Решение характеризуется тремя безразмерными комплексами: Π1, Π2, Π3. Очевидно, что эти комплексы могли быть получены и из простых соображений размерности путем построения матрицы размерности для размерных определяющих параметров М, L, R, G, а, μ0mp/k, ϰ0 и ε0, характеризующих звезду с лучистым переносом энергии и лучевым давлением.
Один из трех комплексов, например, Π3, должен задаваться произведением [х0М. Численные значения комплексов Π1 и Π2 тогда будут получены при решении системы (4.59) как ее собственные значения. В результате можно найти соотношения Π1 = ƒ(Π3) и Π2 = ƒ(Π3), а следовательно, и две зависимости, например, светимости звезды и радиуса звезды от ее массы при заданных значениях размерных и безразмерных (показатели степени) определяющих параметров.
В случае, когда роль лучевого давления мала, т. е. относительно мала масса звезды, можно пренебречь лучевым давлением, и тогда безразмерные комплексы Π1 и Π2 оказываются не зависящими от Π3. Правда, без решения системы (4.59) нам не удастся определить их численное значение, но можно утверждать, что оба эти комплекса являются константами. Отсюда и следуют две зависимости светимости и радиуса звезды от значения ее массы, впервые полученные Л. И. Седовым. Удобнее записать эти соотношения в логарифмическом виде (см. [17]):
![]() |
(4.66) |
![]() |
(4.67) |
Численные значения безразмерных комплексов Π1 и Π2 в работах [16, 17] не определялись, поэтому величины констант в (4.66) и (4.67) остались неизвестными.
Задаваясь определенным выбором параметров α и ν , n и m, ξ и η, можно получить степенные зависимости L и R как функции от М. В простейшем случае α = 1, ν = 7/2 (закон Крамерса), m = 1, n = 4 (протонный цикл) и ξ = η = 1 имеем
![]() |
(4.68) |
To же самое, но для углеродного цикла (n=16) дает
![]() |
(4.69) |
Любопытно, что соотношение светимость - масса очень слабо зависит от характеристик термоядерных реакций. Как уже подчеркивалось, это связано с тем, что структура и свойства звезды в первую очередь определяются законом переноси энергии. Но радиус звезды существенно зависит от выбора закона выделения энергии. Для иллюстрации рассмотрим и случай, когда непрозрачность определяется рассеянием на электронах (соотношение (4.21), т. е. α = ν = 0). Пренебрегая опять изменением молекулярного веса, получим для водородного цикла (n=4):
![]() |
(4.70) |
и для углеродного цикла (n=16):
![]() |
(4.71) |
Здесь источники энергии вообще не влияют на соотношение масса - светимость. Заметим, что в этом случае мы вернулись к соотношению масса - светимость L ∼ M3, полученному из простых соображений размерности в гл. 3 (формулы (3.8) и (3.11)), также в предположении независимости коэффициента непрозрачности от плотности и температуры.
Сравнение с наблюдениями мы проведем в следующем параграфе, где рассмотрим результаты численного расчета. Кроме того, надо подчеркнуть, что в соотношениях (4.66) - (4.71) не учтено влияние лучевого давления.
Полное решение системы (4.59) - (4.65) для случая однородного молекулярного веса (ξ = η = 1), но с учетом лучевого давления и конвективного переноса, было дано В. С. Имшенником и Д. К. Надежиным [18]. Это решение позволило определить значения безразмерных комплексов Π1 и Π2 для разных выборов Π3. Иными словами, в соотношениях (4.66) и (4.67) были получены значения констант и, более того, была определена зависимость этих констант от лучевого давления. Это означает, что, вообще говоря, соотношение светимость - масса определяется не только множителем перед lg М, в (4.67), но и зависимостью константы от массы, появляющейся из-за зависимости Π2 от Π3.
При расчетах численных значений безразмерных комплексов важно учесть и возможность образования конвективных ядер в центральных областях звезд. Это делается следующим образом. Третье уравнение (4.59), определяющее температурный градиент dt/dx справедливо только до тех пор, пока величина этого градиента остается меньше, чем адиабатический градиент температуры, найденный из (4.13). Как только градиент становится большим, наступает конвекция и третье уравнение (4.59) становится неприменимым. Вместо этого уравнения теперь следует из (4.13) и (4.1) определить градиент температуры в недрах звезды при переносе энергий адиабатической конвекцией. Имеем
![]() |
(4.72) |
В безразмерных переменных (4.58)
![]() |
(4.73) |
где величина β (с сохранением переменности молекулярного веса)
![]() |
(4.74) |
Очевидно, что учет конвективных зон не изменит характера самой задачи нахождения собственных значений Π1 и Π2 при заданном Π3. От наличия конвективных зон зависит только величина численных значений комплексов. Поэтому соотношения (4.66) - (4.71) с неопределенными значениями постоянных справедливы как для моделей без конвективных ядер, так и для моделей с конвективными ядрами.
Итак, основная задача заключается в нахождении собственных значений системы уравнений (4.59), где в области конвективного ядра третье уравнение (для dt/dx) заменяется на уравнения (4.73) - (4.74). Граничные условия даются соотношением (4.65).
Разумеется, аналитического решения этой задачи нет, можно получить лишь численные решения. Известной трудностью является большое количество разных параметров: α, ν , n, m, ξ и η и поэтому велико число разных вариантов решения.
В работе В. С. Имшенника и Д. К. Надежина [18] было рассмотрено несколько вариантов моделей с постоянным по всей звезде молекулярным весом, т. е. было принято условие ξ = η = 1.
В табл. 3 приведены характеристики некоторых из рассчитанных в [18] моделей. Задавалось значение комплекса Π3, который согласно (4.64) зависит только от комбинации μ0M2. Решение системы на собственные значения дает тогда величины Π1 и Π2. Кроме того, в таблице приведены относительные значения радиуса (хk) и массы (qk) конвективного ядра.
Таблица 3
Из этой таблицы сразу следует, что комплекс Π1 учитывающий роль коэффициента непрозрачности, относительно слабо зависит от выбора Π3, хотя и более существенно зависит от выбора закона непрозрачности. Комплекс Π2 очень сильно меняется с изменением роли лучевого давления. Также заметно меняются размеры и масса конвективного ядра.
В работе [18] было рассмотрено еще несколько моделей. Например, рассматривались звезды с углеродной реакцией при высоких температурах, когда n = 13, и звезды с гелиевой реакцией, где m=2, n ≈ 30. Здесь перенос энергии связан с рассеянием на свободных электронах, т.е. α = 0, ν = 0. Оказалось, что характеристики таких моделей мало отличаются от аналогичной модели в табл. 3. В частности, комплексы Π1 остаются почти такими же по своему численному значению. Мало изменяются и параметры конвективного ядра. Только комплекс Π2 оказался существенно отличным. Для моделей с μ02M/M☉ = 32 он равен 3,45 ⋅ 104 в случае горячей звезды с углеродным циклом и 1,09 ⋅ 107 - в случае модели с гелиевой реакцией.
Анализ решений уравнений этой задачи при ξ ≠ 1 был проведен В. И. Петрухиной. Оказалось, что и здесь безразмерный комплекс Π1 почти не меняется в интервале изменения ξ от 0,6 до 1,5. Даже комплекс Π2 в этой задаче меняется всего на несколько процентов. Параметры конвективного ядра также почти не чувствуют изменения молекулярного веса.
Итак, резюмируя данные анализа уравнения строения звезд с точки зрения принципа подобия, можно утверждать следующее. В широком интервале возможных значений шести показателей α, ν , n, m, ξ и η величина безразмерного комплекса Π1 может считаться почти постоянной. Все звезды подобны по безразмерному критерию (4.60).
С точки зрения физики звезд этот результат еще раз подчеркивает универсальность соотношения масса - светимость, основанного на безразмерном комплексе Π1
Правда, учет лучевого давления (т. е. комплекса Π3) все же приводит к заметным изменениям комплекса Π1 Учитывая эти изменения, В. С. Имшенник и Д. К Надежин находят, что в области больших масс при непрозрачности из-за томсоновского рассеяния вместо (4.71) лучше подходит соотношение
![]() |
(4.75) |
Формула (4.67) (в которой для того, чтобы убрать постоянную, лучше выразить светимость и массу в единицах светимости и массы Солнца) хорошо описывает соотношение масса - светимость при всех возможных вариантах, параметров, но при не слишком больших массах.
Разумеется, все сказанное относится только к теоретическому выводу критерия подобия, а отнюдь не к результатам сравнения теории и наблюдений. Наконец, нужно отметить и то, что хотя при учете лучевого давления для каждой конкретной массы звезды есть своя модель - и в этом смысле звезды разных масс не подобны друг другу,- все же строение их приблизительно одинаково и поэтому существует ограниченное подобие строения звезд разных масс с конвективными ядрами в центрах.
При построении рассмотренных выше моделей не учитывалась возможность образования конвективных зон вблизи поверхности звезды. Поэтому такие модели применимы только для звезд ранних спектральных классов, где водород и гелий ионизованы до самой поверхности и где поэтому не возникают поверхностные зоны ионизации. У звезд поздних спектральных классов поверхностная температура низка, в околоповерхностных слоях водород, а тем более гелий не ионизованы, что приводит к резкому увеличению непрозрачности. Кроме того, в зонах ионизации водорода и гелия существенно уменьшается и показатель адиабаты. Все это приводит к возбуждению конвекции, и в приповерхностных слоях звезд поздних спектральных классов энергия переносится конвекцией. Зато здесь не образуется конвективных ядер. Поскольку спектральный класс звезды связан с ее массой, то отсюда следует, что у звезд малых масс есть конвективная поверхностная зона (которая может дойти и до центра у звезд очень малых масс), а у звезд больших масс есть конвективное ядро (рис. 3).
Строго говоря, образование конвективной зоны вблизи поверхности должно следовать из решения основной системы уравнений, если в ней учесть все изменения коэффициентов непрозрачности и показателей адиабаты. Но это сделать трудно и поэтому лучше учесть образование поверхностных конвективных зон в граничных условиях.
Как известно, в конвективной зоне имеет место политропный закон р = Кγργ Показатель γ вблизи поверхностных слоев заметно отличен от 5/3 (например, в конвективной зоне Солнца вблизи фотосферы γ ≈ 1,16). Но по мере погружения в глубь конвективной зоны величина γ быстро приближается к значению 5/3. Поэтому можно считать, что уже на некоторой небольшой глубине (где, скажем, q ≈ 0,95-0,98) плотность, температура ь давление вещества связаны условиями
![]() |
(4.76) |
Здесь параметр К5/3 должен быть определен из теории звездных атмосфер, учитывающей неадиабатическую конвекцию. К сожалению, пока надежных определений параметра К5/3 Для этого случая нет. Можно лишь получить грубые оценки.
Формула (4.76) в безразмерных переменных (4.58) имеет вид
![]() |
(4.77) |
где новый безразмерный комплекс
![]() |
(4.78) |
Рис. 3. Область конвективных зон и конвективных ядер у звезд
разных масс.
![]() |
(4.79) |
где безразмерный комплекс Π4, обычно обозначаемый через Е, можно записать через безразмерный комплекс Π5/3 конфигурации, в которой уравнение состояния р ∼ ρ5/3 имеет место по всей массе:
![]() |
(4.80) |
Отсюда сразу следует, что в полностью конвективной звезде, где Π5/3 = 0,424, значение параметра Е равно 4π/(0,424)3/2 = 45,5. Если в (4.78) Π5/3 < 45,5, то конвективная зона занимает только часть радиуса.
Теперь постановка задачи по построению модели звезды с конвективной зоной заключается в следующем. Система уравнений (4.59) (с учетом (4.72) в зоне конвекции) и выражения (4.60) - (4.71) для безразмерных комплексов остаются прежними. В условии (4.62) лучевым давлением можно пренебречь, поскольку в низкотемпературных звездах с поверхностной конвективной зоной оно мало, т. е. можно принять Π3 = 0. Граничное условие в центре остается прежним (т. е. при x = 0 имеем q = l = 0, р и t - конечны). Граничное условие на поверхности меняется. Теперь следует считать, что при x = 1
![]() |
(4.81) |
Зависимость р = Et5/2 продолжается в глубь до тех пор, пока лучистый градиент температуры, определенный в системе (4.59), не станет меньшим адиабатического градиента (4.73).
И в этом случае величины Π1 и Π2 являются собственными значениями системы уравнений, но теперь они зависят от выбранного значения безразмерного комплекса Π4 = E. Подобными являются модели с одинаковыми значениями параметра Е. Иными словами, подобными являются звезды, у которых величина K5/3 = р/ρ5/3 пропорциональна M1/3R. К сожалению, как уже отмечалось, трудно надежно определить величину K5/3 на основании теории звездных атмосфер.
Подобные модели звезд с поверхностными конвективными зонами были рассчитаны Шварцшильдом и Остерброком (см. изложение в [1]) для случая поглощения по закону Крамерса и протон-протонного цикла. Учитывая большую плотность газа и меньшую температуру в недрах таких звезд, были приняты следующие значения показателей: α = 0,75 и α = 0,50; ν = 7/2 в законе поглощения и m = 1, n = 4,5 в соотношении для мощности генерации энергии. Результаты определения безразмерных комплексов Π1 и Π2, а также нижней границы конвективной зоны xk и доли массы в лучистом ядре приведены в табл. 4.
Характеристики модели | Π4 | Π1 | Π2 | xk | qk |
Модель звезды типа желтого карлика (α = 0,75, ν = 7/2, m=1, n = 4,5) |
44,83 | 3,7 ⋅ 10-6 | 7,8 | 0,413 | 0,310 |
19,66 | 1,95 ⋅ 10-6 | 1,19 | 0,698 | 0,914 | |
5,70 | 2,42 ⋅ 10-6 | 0,198 | 0,801 | 0,991 | |
1,68 | 2,88 ⋅ 10-6 | 0,074 | 0,871 | 0,999 | |
Модель звезды типа красного карлика (α = 0,50, ν = 7/2, m=1, n = 4,5) |
37,67 | 5,86 ⋅ 10-6 | 4,92 | 0,558 | 0,636 |
16,82 | 5,86 ⋅ 10-6 | 0,074 | 0,676 | 0,913 | |
8,02 | 6,35 ⋅ 10-6 | 0,0155 | 0,723 | 0,971 |
Как и следовало ожидать, уменьшение безразмерного комплекса Π4 уменьшает массу и толщину конвективной зоны. Численные значения безразмерных комплексов Π1 и Π2 того же характерного порядка, что и у звезд с конвективным ядром, хотя они, конечно, и заметно различаются.
У Солнца, принадлежащего к звездам типа желтого карлика, величина параметра Е невелика (находится, по-видимому, между единицей и десятью), поэтому конвективная зона неглубокая.
Очень протяженные конвективные зоны имеются у красных гигантов. Здесь величина параметра Е достигает обычно 25. Однако сложная структура этих звезд, состоящих из частично вырожденных изотермических ядер, топких слоевых источников энергии, зон лучистого и зон конвективного переноса, затрудняет исследования подобия моделей этого типа звезд. Обычно для расчета таких моделей делают какие-либо предположения, не позволяющие определить их подобие в явном виде. Например, в известных расчетах Шварцшильда (см. [1]) вместо нахождения безразмерного комплекса Π2 просто задавалась температура газа в слоевом источнике энергии (T = 2 ⋅ 10-7 градусов). Существенная неопределенность связана и с определением радиуса звезд с очень протяженными конвективными оболочками.
Роль конвекции велика и у сжимающихся протозвезд. Первоначально предполагалось, что в сжимающихся протозвездах энергия переносится излучением. Основанием для такого предположения была сравнительно слабая зависимость мощности выделения энергии от температуры и плотности при гравитационном сжатии. В первом приближении при гомологическом (однородном) сжатии имеем
![]() |
(4.82) |
т. е. m = 0 и n = 1. Такая слабая зависимость ε от Т уменьшает градиент температуры, а следовательно, приводит к конвективной устойчивости. Однако вещество протозвезд при низкой ионизации и наличии молекул, по-видимому, обладает низкой прозрачностью и поэтому можно ожидать, что здесь энергия все же переносится конвекцией. Согласно предположению Хаяши ([19]) принято считать, что в сжимающихся протозвездах энергия в основном переносится конвекцией и только на более поздних стадиях сжатия более массивных протозвезд в их центральных частях образуются лучистые ядра.
Условие подобия для протозвезды, в которой энергия переносится только излучением, нетрудно получить описанным выше методом с использованием формулы (4.82). В пренебрежении лучевым давлением (Π3 = 0) и конвективным переносам в поверхностных слоях (Π4 = 0) можно найти значение безразмерных комплексов Π1 и Π2 (см. [1]):
![]() |
(4.83) |
Так же сравнительно просто рассчитываются методом предыдущего параграфа полностью конвективные сжимающиеся протозвезды. Здесь Π4 = Е = 45,5. Величина K5/3 должна быть определена из полной светимости протозвезды и анализа условий на ее поверхности. Это сделать очень сложно, поскольку температура поверхностей протозвезд низка и вычисление непрозрачности довольно неопределенно. Сжимающиеся модели с конвективными оболочками и ядрами с лучистым переносом энергии были рассчитаны Хаяши и его сотрудниками (см. [19] и статью Хаяши в [10]).
<< § 4.3 Белые карлики и нейтронные звезды | Оглавление | § 4.5 Численное моделирование эволюции звезд >>