Astronet > Razmernosti i podobie astrofizicheskih velichin

po tekstam po klyuchevym slovam v glossarii po saitam perevod po katalogu

Razmernosti i podobie astrofizicheskih velichin << § 3.1 Sootnoshenie massa — svetimost' | Oglavlenie | § 3.3 Belye karliki, neitronnye zvezdy i "chernye dyry" >>

§ 3.2 Ravsnovesie i ustoichivost' zvezd

V sleduyushei glave my budem zanimat'sya analizom uravnenii ravnovesiya zvezd s tochki zreniya kriteriev podobiya. Odnako i ne pribegaya k analizu uravnenii vnutrennego stroeniya zvezd, mozhno poluchit' iz odnih tol'ko soobrazhenii analiza razmernostei ryad sootnoshenii, opisyvayushih usloviya ravnovesiya i ustoichivosti zvezd.

Ravnovesie zvezd obespechivaetsya tem, chto szhatiyu pod deistviem sobstvennogo tyagoteniya prepyatstvuet davlenie veshestva. Razmernost' davleniya:

$[p] = \frac{\mbox{erg}}{\mbox{sm}^3} = \frac{\mbox{g}}{\mbox{sm} \cdot \mbox{sek}^2}.$ (3.12)

Uslovie ravnovesiya opredelyaetsya bezrazmernoi kombinaciei chetyreh opredelyayushih parametrov: G, M, R i r. Zdes' tol'ko odin bezrazmernyi kompleks:

$\Pi = GM^2 R^{-4} p^{-1},$ (3.13)

otkuda sleduet obshee sootnoshenie:

$p = const \cdot \frac{GM^2}{R^4} \approx const \cdot \frac{|U|}{R^3},$ (3.14)

gde U - polnaya energiya zvezdy soglasno (2.28).

Sootnosheniya (3.13) - (3.14) mozhno ispol'zovat' togda, kogda velichina davleniya zadana - otsyuda mozhno opredelit' radius telya dannoi massy. Odnako, kak pravilo, zadano ne davlenie, a ego zavisimost' ot drugih parametrov. Prosteishii sluchai, kotoryi my snachala rassmotrim, sootvetstvuet odnoznachnoi zavisimosti mezhdu davleniem r i plotnost'yu ρ. Soobrazheniya analiza razmernostei udobno primenyat' togda, kogda eti zavisimosti stepennye. Budem primenyat' politropnoe sootnoshenie

$p = K_{\gamma}\rho^{\gamma} = K_{\gamma}\rho^{1+\frac{1}{n}},$ (3.15)

uzhe vvedennoe fenomenologicheski v gl. 2. Kak my uvidim nizhe, eto sootnoshenie chasto opisyvaet vpolne real'nye uravneniya sostoyaniya veshestva v nedrah zvezd.

V zadache opredeleniya usloviya ravnovesiya zvezdy s politrapnym uravneniem sostoyaniya est' takzhe tol'ko chetyre razmernyh parametra: G, M, R i

$[K_{\gamma}] = \frac{\mbox{sm}^{3\gamma - 1}}{\mbox{g}^{\gamma -1} \cdot \mbox{sek}^2}.$ (3.16)

Imeem matricu razmernosti:

$\begin{matrix} \, & [M] & [R] & [G] & [K_\gamma] \\ \mbox{g}&1&0&-1&1-\gamma \\ \mbox{sm}&0&1&3&3\gamma - 1 \\ \mbox{sek}&0&0&-2&-2\\ \end{matrix}$

Reshenie etoi matricy daet tol'ko odin bezrazmernyi kompleks:

$\Pi_\gamma = K_\gamma G^{-1}M^{\gamma - 2} R^{4 - 3\gamma}$ (3.17)

Eto sootnoshenie opredelyaet, naprimer, radius konfiguracii dannoi massy s zadannymi velichinami K_γ i γ. Uslovie (3.17) mozhno poluchit' iz (3.13), esli tam zamenit' r na (3.15), prichem vmesto plotnosti ρ podstavit' M/R³.

Znachenie P_γ iz soobrazhenii analiza razmernostei ne opredelyaetsya, no etu velichinu netrudno naiti iz resheniya uravnenii ravnovesiya (sm. tablicu na str.128).

Prostoe sootnoshenie (3.17) pri P_γ = const pozvolyaet izuchit', po krainei mere kachestvenno, mnogie harakternye osobennosti ravnovesiya zvezd ili voobshe gravitiruyushih konfiguracii s protivodavleniem.

Sluchayu γ → ∞ (n = 0) sootvetstvuyut shary iz neszhimaemoi zhidkosti. Zdes' prosto M ∼ R³, poskol'ku plotnost' takih sharov postoyanna. Sluchai γ = 2 (ili n = 1) inogda primenyayut dlya ochen' grubogo opisaniya uravneniya sostoyaniya tverdogo tela, poetomu etot sluchai ranee ispol'zovalsya dlya ocenki svoistv planet. Vprochem, eto ochen' gruboe priblizhenie i v nastoyashee vremya im ne pol'zuyutsya. No etot sluchai interesen tem, chto zdes' radius konfiguracii sovsem ne zavisit ot ee massy; polagaya P₂ ≈ 1, imeem

$R \approx \sqrt{\frac{K_2}{G}}.$ (3.18)

Sleduyushii osobyi sluchai: γ = 4/3 (n=3). Zdes' massa konfiguracii odnoznachno opredelena velichinoi K_4/3 i radius ee mozhet byt' proizvol'nym. Imeem pri P_4/3 = 1:

$M \approx \left({\frac{K_{4/3}}{G}}\right)^{3/2}.$ (3.19)

Analiz uravnenii ravnovesiya pokazyvaet, chto politropnye konfiguracii vozmozhny lish' pri γ ≥ 6/5 (n ≤ 5). Sluchayu γ = 6/5 i n = 5 sootvetstvuet konfiguraciya konechnoi massy, no beskonechnogo radiusa. Zametim, chto pri γ = 6/5 vmesto sootnosheniya (3.17) mozhno napisat' bezrazmernuyu kombinaciyu

$\Pi_{6/5} = K_{6/5}G^{3/2}|U|^{2/5},$ (3.20)

gde U - polnaya energiya takoi konfiguracii, kotoraya tozhe ostaetsya konechnoi. Pri γ < 6/5 i massa i radius ravnovesnyh konfiguracii dolzhny byt' beskonechnymi.

Takim obrazom, ravnovesie gravitiruyushih politropnyh zvezd vozmozhno lish' v intervale znachenii 6/5 ≤ γ < ∞ ili 0 ≤ n ≤ 5. Odnako ne vo voem etom intervale oni ustoichivy. Kriterii ustoichivosti takzhe sleduet iz (3.17), kotoryi, odnako, luchshe zapisat' v vide

$\frac{GM^2}{R^4} = \frac{K_\gamma}{\Pi_\gamma}\left(\frac{M}{R^3}\right)^\gamma.$ (3.21)

Kazhdaya iz chastei etogo ravenstva est' davlenie v konfiguracii, prichem znak ravenstva sootvetstvuet ravnovesiyu mezhdu sobstvennym gravitacionnym prityazheniem i protivodavleniem.

Pust' teper' radius konfiguracii R samoproizvol'no umen'shaetsya. Pri etom obe chasti ravenstva (3.21) vozrastut. Esli 3γ > 4, to protivodavlenie vozrastet bol'she i konfiguraciya vernetsya v prezhnee sostoyanie. Esli zhe Zγ < 4, to sobstvennoe prityazhenie vozrastaet bystree protivodavleniya i konfiguraciya nachnet samoproizvol'no szhimat'sya. Itak, politropnye shary pri γ < 4/3 neustoichivy i sushestvovat' ne mogut.

Uchet effektov obshei teorii otnositel'nosti, vrasheniya i drugih prichin delaet neustoichivymi konfiguracii i pri slegka prevyshayushem 4/3. Naprimer, s uchetom effektov obshei teorii otnositel'nosti nahodim, chto ustoichivy lish' konfiguracii s

$\gamma - \frac{4}{3} \gtrsim \frac{R_g}{R}.$ (3.22)

Iz sootnosheniya (3.17) takzhe sleduet, chto central'nye plotnosti dlya konfiguracii s dannymi znacheniyami γ i K_γ zavisyat ot ih massy sleduyushim obrazom:

$\rho_c \sim M^{\frac{3\gamma - 4}{2}}.$ (3.23)

Pri γ > 4/3 s uvelicheniem massy rastet i central'naya plotnost'. Umen'shenie central'noi plotnosti pri uvelichenii massy pri γ < 4/3 takzhe oznachaet neustoichivost' podobnyh konfiguracii.

Poka rassmotrenie bylo obshim, my ne kasalis' fizicheskoi prirody protivodavleniya. Teper' rassmotrim konkretnee razlichnye fizicheskie prichiny, opredelyayushie davlenie veshestva v zvezdah.

V podavlyayushem bol'shinstve zvezd glavnoi posledovatel'nosti osnovnoi prichinoi protivodavleniya yavlyaetsya gazovoe i luchevoe davlenie. Imeem iz izvestnyh uravnenii sostoyaniya:

$p = p_{gas} + p_{radiation} = \frac{\mathfrak{R}}{\mu}\rho T + \frac{4}{3}\frac{\sigma}{c}T^4,$ (3.24)

gde σ - postoyannaya Stefana - Bol'cmana i s - skorost' sveta. Podstavlyaya (3.24) v (3.14), my prezhde vsego mozhem ocenit' harakternuyu temperaturu v nedrah gazovyh zvezd. Esli luchevym davleniem mozhno prenebrech' (chto obychno imeet mesto dlya ne slishkom massivnyh zvezd), to ocenka temperatury

$T \approx \frac{\mu G M}{\mathfrak{R}R}.$ (3.25)

Estestvenno, chto i etu formulu mozhno poluchit' iz soobrazhenii analiza razmernostei. Bolee podrobno my budem rassmatrivat' gazovye zvezdy s malym luchevym davleniem v sleduyushei glave.

Ochevidno, chto chem bol'she massa stacionarnoi zvezdy, tem bol'she i temperatura v ee nedrah. S rostom temperatury rastet i rol' luchevogo davleniya. Rassmotrim neskol'ko idealizirovannyi, na pervyi vzglyad, sluchai, kogda po vsei zvezde gazovoe davlenie primerno ravno luchevomu, t. e.

$\frac{\mathfrak{R}}{\mu}\rho T = \frac{4}{3}\frac{\sigma}{c}T^4.$ (3.26)

Zdes' ρ ∼ T³, a sledovatel'no, i davlenie r ∼ ρT³ ∼ ρ^4/3. Takim obrazom, podobnaya zvezda opisyvaetsya politropnym zakonom (3.15) s γ = 4/3 i

$K_{4/3} = 2\left(\frac{\mathfrak{R}}{\mu}\right)^{\frac{4}{3}} \left(\frac{3c}{4\sigma}\right)^{\frac{1}{3}}.$ (3.27)

Massa takoi zvezdy soglasno (3.19) okazyvaetsya vpolne opredelennoi:

$M_{lim} = \left(\frac{K_{4/3}}{\Pi_{4/3}G}\right)^{\frac{3}{2}} = \left(\frac{2}{\Pi_{4/3}G}\right)^{\frac{3}{2}} \left(\frac{\mathfrak{R}}{\mu}\right)^2 \left(\frac{3c}{4\sigma}\right)^{\frac{1}{2}}.$ (3.28)

Podstavlyaya chislennoe znachenie postoyannyh i prinimaya P_4/3 = 0,363 (sm. gl. 4), poluchim

$M_{lim} \approx \frac{48}{\mu^2}M_{\odot}.$ (3.29)

U goryachih zvezd molekulyarnyi ves obychno blizok k μ ≈ 0,5-0,8; etomu znacheniyu sootvetstvuet polnaya ionizaciya vodoroda, osnovnoi komponenty veshestva zvezd. Otsyuda massa takih zvezd poryadka 100-200 mass Solnca. Obychno eto znachenie schitaetsya predel'nym dlya massy stacionarnyh gazovyh zvezd, hotya, po-vidimomu, ne nablyudalis' zvezdy s massoi, bol'shei 60-80 solnechnyh.

U zvezd bol'shih mass luchevoe davlenie okazyvaetsya bol'she gazovogo, i zdes' pokazatel' politropy okazyvaetsya v opasnoi blizosti k tochnomu znacheniyu γ = 4/3. Takie konfiguracii, kak my videli, neustoichivy. Chem bol'she rol' gazovogo davleniya, tem bol'she otklonenie real'nogo znacheniya γ ot 4/3.

Predpolozhenie o proporcional'nosti luchevogo i gazovogo davleniya po vsemu ob'emu zvezdy bylo sdelano Eddingtonom pri pervom postroenii zvezdnyh modelei.

Osnovannaya na etom predpolozhenii tak nazyvaemaya standartnaya model' sygrala bol'shuyu rol' v razvitii teorii vnutrennego stroeniya zvezd. Hotya teper' standartnaya model' i schitaetsya proidennym etapom, vse zhe ona bolee ili menee udovletvoritel'no opisyvala nekotorye osobennosti stroeniya zvezd. V chastnosti, kak my videli vyshe, ona pozvolila poluchit' neplohuyu ocenku verhnego predela massy zvezd.

Vprochem, ocenki ustoichivosti massivnyh zvezd dolzhny uchityvat' eshe ryad effektov, kak, naprimer, obrazovanie elektronno-pozitronnyh par (em. [2]). Chetkih ocenok verhnego predela massy ustoichivyh gazovyh zvezd poka net.

Odnako dlya zvezdy dannoi massy legko poluchit' ocenku ee maksimal'noi svetimosti - tak nazyvaemyi predel Eddingtona. Ochevidno, chto svetimost' zvezdy ne mozhet byt' bol'she togo znacheniya, pri kotorom luchevoe davlenie na naruzhnyi sloi ravno gravitacionnomu prityazheniyu. Sila prityazheniya edinicy ob'ema v sloe s plotnost'yu ρ so storony zvezdy ravna

$f = \frac{GM\rho}{R^2}.$ (3.30)

Razmernost' etoi velichiny g/(sm² ⋅ sek²). S drugoi storony, luchevoe davlenie v etom zhe sloe svyazano s poglosheniem ili rasseyaniem impul'sa, perenosimogo izlucheniem. Potok izlucheniya cherez edinichnuyu ploshadku raven

$F = \frac{L}{4\pi R^2},$ (3.31)

a ego impul's est'

$p = \frac{F}{c} = \frac{L}{4\pi R^2 c},$ (3.32)

Pogloshaemyi ili rasseivaemyi v edinice ob'ema potok energii zavisit ot koefficienta poglosheniya i plotnosti sredy i, ochevidno, raven

$\frac{\varkappa\rho F}{c} = \frac{\varkappa\rho L}{4\pi R^2 c},$ (3.33)

s toi zhe razmernost'yu, chto i (3.30). Priravnivaya obe velichiny, poluchaem verhnii predel svetimosti

$L_{max} = 4\pi\frac{GMc}{\varkappa}.$ (3.34)

Pri bol'shoi svetimosti i vysokoi temperature osnovnym mehanizmom poglosheniya yavlyaetsya tomsonovskoe rasseyanie na svobodnyh elektronah (2.45) - (2.46). Otsyuda nahodim

$\frac{L_{max}}{M} = \frac{3}{2}\frac{Gm_p c \mu_e}{r_0^2} \approx 6,1 \cdot 10^4 \frac{\mbox{erg}}{\mbox{g} \cdot \mbox{sek}}.$ (3.35)

U zvezd s massoi, ravnoi masse Solnca, eddingtonovskii predel svetimosti

$L_{max} = 1,2 \cdot 10^{38} \frac{\mbox{erg}}{\mbox{sek}} \approx 4 \cdot 10^4 L_{\odot}.$

Sravnenie (3.35) s (3.11) daet eshe odin predel massy gazovyh zvezd M_lim ≈ 200 M_☉, kotoryi togo zhe poryadka, chto i (3.29).

<< § 3.1 Sootnoshenie massa — svetimost' | Oglavlenie | § 3.3 Belye karliki, neitronnye zvezdy i "chernye dyry" >>

Mneniya chitatelei [4]

Versiya dlya pechati

Astrometriya - Astronomicheskie instrumenty - Astronomicheskoe obrazovanie - Astrofizika - Istoriya astronomii - Kosmonavtika, issledovanie kosmosa - Lyubitel'skaya astronomiya - Planety i Solnechnaya sistema - Solnce