Geometriya zvezdnogo neba

V.Yu. Protasov
Moskovskii Gosudarstvennyi Universitet, Mehaniko-matematicheskii fakul'tet, Vorob'evy Gory, Moskva, 119992, e-mail: v-protassov@yandex.ru

Nebo nad golovoi - samyi drevnii uchebnik geometrii. Pervye ponyatiya, takie kak tochka i krug - ottuda. Skoree dazhe ne uchebnik, a zadachnik. V kotorom otsutstvuet stranichka s otvetami. Dva kruga odinakovogo razmera - Solnce i Luna, dvizhutsya po nebu, kazhdyi so svoei skorost'yu. Ostal'nye ob'ekty - svetyashiesya tochki, dvizhutsya vse vmeste, slovno oni prikrepleny k sfere, vrashayusheisya so skorost'yu 1 oborot v 24 chasa. Pravda, sredi nih est' isklyucheniya - 5 tochek dvizhutsya kak im vzdumaetsya. Dlya nih podobrali osoboe slovo - "planeta", po-grecheski - "brodyaga". Skol'ko chelovechestvo sushestvuet, ono pytaetsya razgadat' zakony etogo vechnogo dvizheniya. Pervyi proryv proizoshel v 3 veke do n.e., kogda grecheskie uchenye, vzyav na vooruzhenie moloduyu nauku - geometriyu, smogli poluchit' pervye rezul'taty ob ustroistve Vselennoi. Ob etom i poidet rech'. Chtoby imet' nekotoroe predstavlenie o slozhnosti zadachi, rassmotrim takoi primer. Predstavim sebe svetyashiisya shar diametrom 10 sm., nepodvizhno visyashii v prostranstve. Nazovem ego . Vokrug nego na rasstoyanii chut' bol'she 10 metrov obrashatsya malen'kii sharik  diametrom 1 millimetr, a vokrug  na rasstoyanii  sm. obrashaetsya sovsem krohotnyi sharik , ego diametr - chetvert' millimetra. Na poverhnosti srednego sharika  zhivut mikroskopichekie sushestva. Oni obladayut nekim razumom, no pokidat' predely svoego sharika ne mogut. Vse chto oni mogut - smotret' na dva drugih shara - i . Sprashivaetsya, mogut li oni uznat' diametry etih sharov, i izmerit' rasstoyaniya do nih ? Skol'ko ni dumai, delo, kazalos' by, beznadezhnoe. My narisovali sil'no umen'shennuyu model' Solnechnoi sistemy ( - Solnce, - Zemlya, - Luna). Vot takaya zadacha stoyala pered drevnimi astronomami. I oni ee reshili ! Bolee 22 vekov nazad, ne pol'zuyas' nichem, krome s samoi elementarnoi geometrii, na urovne 8 klassa (svoistva pryamoi i okruzhnosti, podobnye treugol'niki i teorema Pifagora). I, konechno, nablyudaya za Lunoi i za Solncem. Nad resheniem trudilis' neskol'ko uchenyh. My vydelim dvuh. Eto matematik Eratosfen, izmerivshii radius zemnogo shara, i astronom Aristarh, vychislivshii razmery Luny, Solnca i rasstoyaniya do nih. Kak oni eto sdelali ?

E.N.Koneva, M.V.Perepuhov. Cherez terniii k zvezdam

To, chto Zemlya ne ploskaya, lyudi znali davno. Drevnie moreplavateli nablyudali, kak postepenno menyaetsya kartina zvezdnogo neba: stanovyatsya vidny novye sozvezdiya, a drugie, naprotiv, zahodyat za gorizont. Uplyvayushie vdal' korabli "uhodyat pod vodu", poslednimi skryvayutsya iz vida verhushki ih macht. Kto pervyi vyskazal ideyu o sharoobraznosti Zemli, neizvestno. Skoree vsego - pifagoreicy, schitavshie shar sovershenneishei iz figur. Poltora veka spustya Aristotel' privodit neskol'ko dokazatel'stv togo, chto Zemlya - shar. Glavnoe iz nih: vo vremya lunnogo zatmeniya na poverhnosti Luny otchetlivo vidna ten' ot Zemli, i eta ten' kruglaya ! S teh por postoyanno predprinimalis' popytki izmerit' radius zemnogo shara. Dva prostyh sposoba izlozheny v uprazhneniyah 1 i 2. Izmereniya, pravda, poluchalis' netochnymi. Aristotel', naprimer, oshibsya bolee, chem v poltora raza. Schitaetsya, chto pervym, komu udalos' sdelat' eto s vysokoi tochnost'yu, byl grecheskii matematik Eratosfen Kirenskii (276-194 do n. e.). Ego imya teper' vsem izvestno, blagodarya reshetu Eratosfena - sposobu nahodit' prostye chisla (ris.1). Esli vycherknut' iz natural'nogo ryada edinicu, zatem vycherkivat' vse chetnye chisla, krome pervogo (samogo chisla ), zatem vse chisla, kratnye trem, krome pervogo iz nih (chisla ), i t.d., to v rezul'tate ostanutsya odni prostye chisla.

Ris. 1.

Dlya sovremennikov Eratosfen byl znamenit kak krupneishii uchenyi-enciklopedist, zanimavshiisya ne tol'ko matematikoi, no i geografiei, kartografiei i astronomiei. On dolgoe vremya vozglavlyal Aleksandriiskuyu biblioteku - centr mirovoi nauki togo vremeni. Rabotaya nad sostavleniem pervogo atlasa Zemli (rech', konechno, shla ob izvestnoi k tomu vremeni ee chasti), on zadumal provesti tochnoe izmerenie zemnogo shara. Ideya byla takova. V Aleksandrii vse znali, chto na yuge, v gorode Siena (sovremennyi Asuan) odin den' v godu, v polden', Solnce dostigaet zenita. Ischezaet ten' ot vertikal'nogo shesta, na neskol'ko minut osveshaetsya dno kolodca. Proishodit eto v den' letnego solncestoyaniya, 22 iyunya - den' naivysshego polozheniya Solnca na nebe. Eratosfen napravlyaet svoih pomoshnikov² v Sienu, i te ustanavlivayut, chto rovno v polden' (po solnechnym chasam) Solnce nahoditsya tochno v zenite. Odnovremenno (kak napisano v pervoistochnike: "v tot zhe chas"), t.e., v polden' po solnechnym chasam, Eratosfen izmeryaet dlinu teni ot vertikal'nogo shesta v Aleksandrii. Poluchilsya treugol'nik ( - shest, - ten', ris.2).

Ris. 2.

Itak, solnechnyi luch v Siene perpendikulyaren poverhnosti Zemli, a znachit prohodit cherez ee centr - tochku . Parallel'nyi emu luch v Aleksandrii sostavlyaet ugol s vertikal'yu. Pol'zuyas' ravenstvom nakrestlezhashih uglov pri parallel'nyh, zaklyuchaem, chto . Esli oboznachit' cherez cherez dlinu okruzhnosti, a cherez  dlinu ee dugi , to poluchaem proporciyu  . Ugol  v treugol'nike Eratosfen izmeril, poluchilos' . Velichina  - ne chto inoe, kak dlina puti ot Aleksandrii do Sieny, primerno  km. Ee Eratosfen akkuratno vychislyaet, ishodya iz srednego vremeni dvizheniya verblyuzh'ih karavanov, regulyarno hodivshih mezhdu dvumya gorodami, a takzhe, ispol'zuya dannye bematistov - lyudei special'noi professii, izmeryavshih rasstoyaniya shagami. Teper' ostalos' reshit' proporciyu  , poluchiv dlinu okruzhnosti (t.e., dlinu zemnogo merediana)  km. Togda radius Zemli  raven , eto primerno  km. To, chto dlina zemnogo merediana vyrazhaetsya stol' kruglym chislom v  km., ne udivitel'no, esli vspomnit', chto edinica dliny v 1 metr i byla vvedena (vo Francii v konce 18 veka), kak odna sorokamillionnaya chast' okruzhnosti Zemli (po opredeleniyu !). Eratosfen, konechno, ispol'zoval druguyu edinicu izmereniya - stadii (okolo 200 m). Stadiev bylo neskol'ko: egipetskii, grecheskii, vavilonskii, i kakim iz nih pol'zovalsya Eratosfen - neizvestno. Poetomu trudno sudit' navernyaka o tochnosti ego izmereniya. Krome togo, neizbezhnaya oshibka voznikala v silu geograficheskogo polozheniya dvuh gorodov. Eratosfen rassuzhdal tak: esli goroda nahodyatsya na odnom merediane (t.e., Aleksandriya raspolozhena v tochnosti k severu ot Sieny), to polden' v nih nastupaet odnovremenno. Poetomu, sdelav izmereniya vo vremya naivysshego polozheniya Solnca v kazhdom gorode, my dolzhny poluchit' pravil'nyi rezul'tat. No na samom dele Aleksandriya i Siena - daleko ne na odnom merediane. Seichas v etom legko ubedit'sya, vzglyanuv na kartu, no u Eratosfena takoi vozmozhnosti ne bylo, on kak raz i rabotal nad sostavleniem pervyh kart. Poetomu ego metod (absolyutno vernyi !) privel k oshibke v opredelenii radiusa Zemli. Tem ne menee, mnogie issledovateli uvereny, chto tochnost' izmereniya Eratosfena byla vysoka, i chto on oshibsya menee, chem na . Esli eto tak, to uluchshit' etot rezul'tat chelovechestvo smoglo tol'ko cherez 2 tysyachi let, v seredine 19 veka. Nad etim trudilas' gruppa uchenyh vo Francii i ekspediciya V.Ya.Struve v Rossii. Dazhe v epohu velikih geograficheskih otkrytii, v 16 veke, lyudi ne smogli dostich' rezul'tata Eratosfena, i pol'zovalis' nevernym znacheniem dliny zemnoi okruzhnosti v 37.000 km. Ni Kolumb, ni Magellan ne znali, kakovy istinnye razmery Zemli, i kakie rasstoyaniya im pridetsya preodolevat'. Oni-to schitali, chto dlina ekvatora na 3 tysyachi km. men'she, chem na samom dele. Znali by - mozhet i ne poplyli by.

V chem prichina stol' vysokoi tochnosti metoda Eratosfena (konechno, esli on pol'zovalsya nuzhnym stadiem) ? Do nego izmereniya byli lokal'nymi, na rasstoyaniyah, obozrimyh chelovecheskim glazom, t.e., ne bolee 100 km. Takovy, naprimer, sposoby v uprazhneniyah 1 i 2. Pri etom neizbezhny oshibki iz-za rel'efa mestnosti, atmosfernyh yavlenii, i t.d. Chtoby dobit'sya bol'shei tochnosti, nuzhno provodit' izmereniya global'no, na rasstoyaniyah, sravnimyh s radiusom Zemli. Rasstoyanie v km. mezhdu Aleksandriei i Sienoi okazalos' vpolne dostatochnym.

Uprazhnenie 1. Kak vychislit' radius Zemli po sleduyushim dannym: s gory vysotoi 500 m. prosmatrivayutsya okrestnosti na rasstoyanii 80 km.?

Uprazhnenie 2. Kak vychislit' radius Zemli po sleduyushim dannym: korabl' vysotoi 20 m., otplyv ot berega na 16 km., polnost'yu ischezaet iz vida ?.

Uprazhnenie 3. Dva druga - odin v Moskve, drugoi - v Tule, berut po metrovomu shestu i stavyat ih vertikal'no. V moment, v techenie dnya, kogda ten' ot shesta dostigaet naimen'shei dliny, kazhdyi iz nih izmeryaet dlinu teni. V Moskve poluchilos'  sm., a v Tule -  sm. Vyrazite radius Zemli cherez i . Goroda raspolozheny na odnom meridiane na rasstoyanii 185 km.

Kak vidno iz uprazhneniya 3, opyt Eratosfena mozhno prodelat' i v nashih shirotah, gde Solnce nikogda ne byvaet v zenite. Pravda, dlya etogo nuzhny dve tochki obyazatel'no na odnom merediane. Esli zhe povtorit' opyt Eratosfena dlya Aleksandrii i Sieny, i pri etom sdelat' izmereniya v etih gorodah odnovremenno (seichas dlya etogo est' tehnicheskie vozmozhnosti), to my poluchim vernyi otvet, pri etom budet ne vazhno, na kakom merediane nahoditsya Siena (pochemu ?).

Pamyatnik Aristarhu-Samosskomu v Salonikah

Grecheskii ostrov Samos v Egeiskom more - teper' gluhaya provinciya. Sorok kilometrov v dlinu, vosem' - v shirinu. Na etom krohotnom ostrove v raznoe vremya rodilis' tri velichaishih geniya - matematik Pifagor, filosof Epikur i astronom Aristarh. Pro zhizn' Aristarha Samosskogo izvestno malo. Daty zhizni priblizitel'ny: rodilsya okolo 310 do n. e., umer okolo 230 do n. e. Kak on vyglyadel, my ne znaem, ni odnogo izobrazheniya ne sohranilos' (sovremennyi pamyatnik Aristarhu v grecheskom gorode Saloniki - lish' fantaziya skul'ptora). Mnogo let provel v Aleksandrii, gde rabotal v biblioteke i v observatorii. Glavnoe ego dostizhenie - kniga "O velichinah i rasstoyaniyah Solnca i Luny", po edinodushnomu mneniyu istorikov yavlyaetsya nastoyashim nauchnym podvigom. V nei on vychislyaet radius Solnca, radius Luny i rasstoyaniya ot Zemli do Luny i do Solnca. Sdelal on eto v odinochku, pol'zuyas' ochen' prostoi geometriei i vsem izvestnymi rezul'tatami nablyudenii za Solncem i Lunoi, tozhe vpolne elementarnymi. Na etom Aristarh ne ostanavlivaetsya, on delaet neskol'ko vazhneishih vyvodov o stroenii Vselennoi, kotorye namnogo operedili svoe vremya. Ne sluchaino ego nazvali vposledstvii "Kopernikom antichnosti".

Vychislenie Aristarha mozhno uslovno razbit' na tri shaga. Kazhdyi shag svoditsya k prostoi geometricheskoi zadache. Pervye dva shaga sovsem elementarny, tretii - chut' poslozhnee. V geometricheskih postroeniyah my budem oboznachat' cherez i centy Zemli, Solnca i Luny sootvetstvenno, a cherez i - ih radiusy. Vse nebesnye tela budem schitat' sharami, a ih orbity - okruzhnostyami, kak i schital sam Aristarh (hotya, kak my teper' znaem, eto ne sovsem tak). My nachinaem s pervogo shaga, i dlya etogo nemnogo ponablyudaem za Lunoi.

Shag 1. Vo skol'ko raz Solnce dal'she, chem Luna ?

Kak izvestno, Luna svetit otrazhennym solnechnym svetom. Esli vzyat' shar, i posvetit' na nego so storony bol'shim prozhektorom, to v lyubom polozhenii osveshennoi okazhetsya rovno polovina poverhnosti shara. Granica osveshennoi polusfery - okruzhnost', lezhashaya v ploskosti, perpendikulyarnoi lucham sveta. Takim obrazom, Solnce vsegda osveshaet rovno polovinu poverhnosti Luny. Vidimaya nam forma Luny zavisit ot togo, kak raspolozhena eta osveshennaya polovina. Pri novolunii, kogda Luna vovse ne vidna na nebe, Solnce osveshaet ee obratnuyu storonu. Zatem osveshennaya polusfera postepenno povorachivaetsya v storonu Zemli. My nachinaem videt' tonkii serp, zatem - mesyac ("rastushaya Luna"), dalee - polukrug (eta faza Luny nazyvaetsya "kvadraturoi"). Zatem den' oto dnya (vernee, noch' ot nochi) polukrug dorastaet do polnoi Luny. Potom nachinaetsya obratnyi process: osveshennaya polusfera ot nas otvorachivaetsya. Luna "stareet", postepenno prevrashayas' v mesyac, povernutyi k nam levoi storonoi, podobno bukve "C", i, nakonec, v noch' novoluniya ischezaet. Period ot odnogo novoluniya do drugogo dlitsya primerno chetyre nedeli. Za eto vremya Luna sovershaet polnyi oborot vokrug Zemli. Ot novoluniya do poloviny Luny prohodit chetvert' perioda, otsyuda i nazvanie "kvadratura".

Ris. 3.

Zamechatel'naya dogadka Aristarha sostoyala v tom, chto pri kvadrature solnechnye luchi, osveshayushie polovinu Luny, perpendikulyarny pryamoi, soedinyayushei Lunu s Zemlei. Takim obrazom, v treugol'nike ugol pri vershine - pryamoi (ris. 3). Esli teper' izmerit' ugol  (oboznachim ego cherez ), to poluchim, chto . Dlya prostoty my schitaem, chto nablyudatel' nahoditsya v centre Zemli. Eto nesil'no povliyaet na rezul'tat, poskol'ku rasstoyanie ot Zemli do Luny i do Solnca znachitel'no prevoshodit radius Zemli.

Itak, izmeriv ugol mezhdu luchami i vo vremya kvadratury, Aristarh vychislyaet otnoshenie rasstoyanii do Luny i do Solnca. Kak odnovremenno zastat' Solnce i Lunu na nebosvode ? Eto mozhno sdelat' rannim utrom, kogda v yasnuyu pogodu vidny oba nebesnyh tela. Slozhnost' voznikaet po drugomu, neozhidannomu, povodu. Vo vremena Aristarha ne bylo kosinusov. Pervye ponyatiya trigonometrii poyavyatsya pozzhe, v rabotah Apolloniya i Arhimeda. No Aristarh znal, chto takoe podobnye treugol'niki, i etogo bylo dostatochno. Nachertiv malen'kii pryamougol'nyi treugol'nik s tem zhe ostrym uglov , i izmeriv ego storony, poluchaem, chto , i eto otnoshenie primerno ravno . Poluchaetsya, chto Solnce v 400 raz dal'she ot Zemli, chem Luna. Etu konstantu - otnoshenie rasstoyanii ot Zemli do Solnca i ot Zemli do Luny, my my budem oboznachat' bukvoi . Itak, my nashli, chto .

Shag 2. Vo skol'ko raz Solnce bol'she Luny ?

Dlya togo, chtoby naiti otnoshenie radiusov Solnca i Luny, Aristarh privlekaet Solnechnye zatmeniya (ris.4). Oni proishodyat, kogda Luna zagorazhivaet Solnce. Pri chastichnom, ili kak govoryat astronomy, chastnom zatmenii Luna lish' prohodit po disku Solnca, ne zakryvaya ego polnost'yu. Poroi takoe zatmenie dazhe nel'zya razglyadet' nevooruzhennym glazom, Solnce svetit kak v obychnyi den'. Lish' skvoz' sil'noe zatemnenie, naprimer, zakopchenoe steklo, vidno, kak chast' solnechnogo diska zakryta chernym krugom.

Ris. 4.

Gorazdo rezhe proishodit polnoe zatmenie, kogda Luna na neskol'ko minut polnost'yu zakryvaet solnechnyi disk. V eto vremya s