<< C. Vychislenie integralov | Oglavlenie | Literatura >>

D. Analiticheskoe reshenie dlya uravnenii dvizheniya yadra komety

V dannom prilozhenii budet rassmotrena zadacha o poiske analiticheskogo resheniya dlya uravnenii dvizheniya yadra komety (pervaya para sistemy (50)). Rassmotrim vtoroe uravnenie sistemy (50)

Proizvedem zamenu peremennyh vida . Togda (78) mozhno perepisat' v vide:

otkuda

Integriruya poslednee vyrazhenie, poluchaem

ili

zdes' - postoyannaya ploshadei (udvoennaya sektornaya skorost') [2].

Sledovatel'no, pervoe uravnenie sistemy (50) mozhno predstavit' v vide:

Dlya resheniya poslednego uravneniya proizvedem zamenu peremennyh , togda - radial'naya sostavlyayushaya skorosti yadra (lineinaya orbital'naya skorost'). V itoge (83) mozhno predstavit' v vide:

Zdes' uchteno, chto . Prointegriruem poslednee sootnoshenie.

Otkuda

inache

gde - postoyannaya integrirovaniya. Uchtem takzhe, chto

sledovatel'no

otkuda

Prointegriruem (87)

Proizvedem zamenu peremennyh vida , togda , sledovatel'no (88) mozhno predstavit' v vide:

Proizvedem zamenu peremennyh vida

sledovatel'no, (89) mozhno predstavit' v vide:

proizvedem v (91) zamenu sleduyushego vida , togda poslednee vyrazhenie mozhet byt' predstavleno v vide:

otkuda poluchaem

Vernemsya k ishodnoi peremennoi , togda (93) mozhno predstavit' v vide:

gde

- ekscentrisitet orbity. Esli napravlenie na afelii vzyat' za nachal'noe napravlenie radiusa-vektora, to postoyannaya integrirovaniya i uravnenie orbity prinimaet vid:

gde . Sledovatel'no, vyrazhenie (86) v terminah novyh parametrov mozhet byt' predstavleno v vide:

uchityvaya opredelenie bol'shoi poluosi orbity yadra :

vyrazhenie (97) mozhno perepisat' v vide:

Podstavlyaya iz (96) v (82) i integriruya, poluchaem

Situaciya  1: Parabolicheskaya orbita ( ).

Togda posle integrirovaniya v pravoi chasti (101) i uchityvaya, chto , gde - perigeliinoe rasstoyanie yadra, budem imet':

Prinimaya za nachalo shkaly vremeni moment vremeni, kogda yadro nahoditsya v afelii (), to poluchaem:

Reshaya poslednee uravnenie otnositel'no , poluchaem zavisimost' . Podstavlyaya poslednee vyrazhenie v (96), poluchaem yavnuyu zavisimost' . Takim obrazom, naiden zakon dvizheniya yadra komety, dvizhushegosya po parabolicheskoi orbite.

Situaciya  2: Ellipticheskaya orbita ( ).

V dannom sluchae neposredstvennoe integrirovanie (101) zatrudnitel'no. V etom sluchae udobno vvesti vspomogatel'nyi ugol - ekscentricheskuyu anomaliyu i vyrazit' , v funkcii etogo ugla (smotri ris. 27).

Na bol'shoi osi kak na diametre stroim okruzhnost'. Provodim cherez polozhenie yadra komety (tochka ) perpendikulyar k bol'shoi osi orbity do peresecheniya s okruzhnost'yu. Ugol i est' ekscentricheskaya anomaliya . Ochevidno, chto ili

Zdes' po-prezhnemu . S drugoi storony (96) mozhno predstavit' v vide:

ili

Podstavlyaya znachenie iz (104), poluchaem

Isklyuchaya iz (105) i (106) peremennuyu , imeem

(pered kornem berem znak "+", poskol'ku imeet tot zhe znak, chto i ). Ostaetsya naiti zavisimost' . Zametim, chto na osnovanii (107)

Podstavim znachenie i vyrazhenie dlya iz (106) v (82). V rezul'tate integrirovaniya (82) poluchaem uravnenie Keplera.

Reshaya poslednee uravnenie otnositel'no peremennoi , poluchaem zavisimost' , a, sledovatel'no, i zakon dvizheniya yadra komety .

Situaciya  3: Giperbolicheskaya orbita ( ).

V sluchae giperbolicheskoi orbity yadra komety , , a

gde . Poetomu (96) prinimaet vid:

Dlya integrirovaniya (101) vvedem vspomogatel'nyi ugol