Journal "Peremennye Zvezdy"

<< A.1 Матричная алгебра | Оглавление | A.3 Декартовы прямоугольные и >>

A.2 Линейная алгебра

Система линейных уравнений

$\displaystyle \sum_{j=1}^n a_{ij}x_j = b_i,\quad i=1,2,\ldots,m$

эквивалентна матричному уравнению

$\displaystyle Ax=B \quad \textrm{или} \quad \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}.$

Если матрица $A$ не вырождена, то матричное уравнение имеет единственное решение:

$\displaystyle x=A^{-1}B.$

Если матрица $A$ является ортогональной и ее детерминант равен единице $(\textrm{det}\,A=1)$ , то линейное преобразование $y=Ax$ называется вращением.

$m$ уравнений

$\displaystyle f_i(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j - b_i=0 \quad (i=1,2,\ldots,m)$

линейно независимы, если из условия $\sum_{i=1}^m \lambda_i f_i(x_1,\ldots,x_n)\equiv 0$ при всех значениях $x_1,\ldots,x_n$ следует, что $\lambda_1=\lambda_2=\ldots=\lambda_m=0$ . В противном случае эти $m$ уравнений линейно зависимы, т.е. по крайней мере одно из уравнений может быть представлено в виде линейной комбинации остальных.

Векторы ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2, {\mathbf{a}}_3$ линейно независимы, если из уравнения

$\displaystyle \lambda_1{\mathbf{a}}_1+\lambda_2{\mathbf{a}}_2+ \lambda_3{\mathbf{a}}_3 =0$

следует, что $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0$ . В противном случае векторы ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2, {\mathbf{a}}_3$ линейно зависимы и по крайней мере один из них, например, ${\mathbf{a}}_1$ может быть выражен в виде линейной комбинации ${\mathbf{a}}_1=\xi_2{\mathbf{a}}_2+ \xi_3{\mathbf{a}}_3$ остальных векторов.

В трехмерном пространстве каждое множество трех линейно независимых векторов является базисом.

Любой вектор $\mathbf{a}$ в трехмерном пространстве может быть представлен в виде разложения:

$\displaystyle {\mathbf{a}} = a_1{\mathbf{e}}_1+a_2{\mathbf{e}}_2+ a_3{\mathbf{e}}_3$

относительно базисных векторов ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2, {\mathbf{e}}_3$ . В трехмерном пространстве числа $a_1,a_2,a_3$ являются координатами вектора $\mathbf{a}$ в системе координат, определяемых базисными векторами ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2, {\mathbf{e}}_3$ .

<< A.1 Матричная алгебра | Оглавление | A.3 Декартовы прямоугольные и >>