Rambler's Top100Astronet    
  по текстам   по ключевым словам   в глоссарии   по сайтам   перевод   по каталогу
 

На первую страницу << 6.2. Аберрация | Оглавление | 6.4. Измерение параллаксов и >>

Разделы


6.3. Параллакс

Если источник находится на конечном расстоянии от наблюдателя, то при перемещении наблюдателя из одной точки пространства в другую, направление на источник меняется (рис. 6.15).

70mm

Рис. 6.15. Параллактическое смещение звезды

Видимое направление на источник для наблюдателя задается единичным вектором , а направление на источник относительно системы отсчета, центр которой находится в точке , единичным вектором . Тогда , где R- радиус-вектор наблюдателя. Разность в направлениях векторов и называется параллаксом источника . Иногда говорят, что при перемещении наблюдателя из точки в точку имеет место параллактическое смещение источника. Вводя единичные векторы , , так что , , , получим:

Дважды умножая векторно на s, находим:

или

Так как , можно считать, что . Считая также, что , находим приближенную формулу для параллактического смещения:

(6.108)

Предположим теперь, что точка совпадает с барицентром солнечной системы, а точка с геоцентром. Тогда -это барицентрический радиус-вектор центра Земли. Определим годичный параллакс как угол между векторами и . Тогда

(6.109)

где . Если , то используя стандартное обозначение вместо , получим:

(6.110)

Величина называется тригонометрическим параллаксом.

Так как параллакс ближайших звезд не превышает , то и

(6.111)

Таким образом определение параллакса эквивалентно определению расстояния до звезды. Совместно с измерениями координат звезд на небесной сфере это дает трехмерную картину распределения звезд в пространстве. Поэтому тригонометрический параллакс является одним из важнейших астрометрических параметров. С одной стороны, он связан с расстоянием до звезды, с другой стороны, с определением параллакса тесно связан вопрос установления единицы измерения расстояний во Вселенной.

Определение 6.3.1   Если равно 1 астрономической единице (1 а.е.), то расстояние до звезды, равное 1 парсеку, соответствует параллаксу равному :

Парсек является одной из основных единиц измерения расстояний во Вселенной. Величина парсека определяется величиной астрономической единицы. Следовательно, ошибка в определении астрономической единицы приводит к ошибке, большей в раз, в величине парсека. Повышение точности определения астрономической единицы (помимо увеличения точности масштаба во Вселенной) имеет гораздо большее значение при изучении динамики солнечной системы, так как для вычисления точных эфемерид необходимо знать масштаб расстояний. До появления радиолокационных методов определения расстояний до планет солнечной системы в основе определения астрономической единицы были наблюдения Солнца для измерения его горизонтального параллакса (см. ниже).

Если точку , в которую перемещается наблюдатель, назвать апексом, то можно сформулировать следующие правила изменения координат звезды.

  1. Параллактическое смещение происходит по большому кругу, проведенному через апекс движения наблюдателя и звезду ;
  2. Параллактическое смещение приводит к кажущемуся движению звезды от апекса; это ясно из изменения направления векторов и (рис. 6.15);
  3. Параллактическое смещение пропорционально синусу угла между направлениями на звезду и апекс (6.109).

Как говорилось во "Введении", еще Аристарх Самосский предполагал, что обращение Земли вокруг Солнца должно приводить к параллактическому смещению, но из-за большого расстояния до звезд и низкой точности наблюдений это смещение не наблюдается. Первые достоверные измерения параллаксов звезд были выполнены Бесселем лишь в середине XIX века. Тем не менее правильную оценку расстояния до звезд сделал еще Ньютон.

Как Ньютон оценил расстояние до звезд?  Он использовал тот факт, что освещенность в фокальной плоскости телескопа, создаваемая Сатурном, близка к освещенности от некоторых звезд. Предположив, что эти звезды похожи на Солнце, он проделал следующие вычисления. Он считал, что на диск Сатурна падает около части солнечного света. Расстояние от Солнца до Сатурна Ньютон вычислил с помощью третьего закона Кеплера. Радиус Сатурна можно было вычислить, зная его угловые размеры. В действительности отношение площади полусферы Сатурна к площади сферы с радиусом ( - расстояние до Сатурна от Солнца) равно , где - радиус Сатурна. При км и а.е. получим , что очень близко к оценке Ньютона. Далее Ньютон предположил, что Сатурн отражает 1/2 падающего на него солнечного света, что в точности соответствует современной оценке. Тогда отраженный полусферой Сатурна свет будет составлять часть света, испущенного Солнцем. Уменьшение количества приходящего к наблюдателю света пропорционально квадрату расстояния от светящегося тела. Поэтому, если Солнце было бы на расстоянии в раз большем от Земли, чем Сатурн, оно имело бы такую же яркость, как Сатурн, и светило примерно как звезда первой величины. Таким образом, расстояние, с которого Солнце светило бы как звезда, близкая по яркости к Сатурну, приблизительно в раз больше расстояния до Сатурна, т.е. равнялось бы а.е. или парсекам. Параллакс Солнца был бы равен .

6.3.1. Изменение координат звезды из-за параллактического смещения

Из-за движения Земли вокруг Солнца направление на звезду (вектор на рис. 6.15) постоянно меняется. Это означает, что координаты звезды вследствие годичного движения Земли будут изменяться. Приблизительные формулы влияния параллакса на экваториальные координаты звезд можно получить, используя уравнение (6.108). Получим из (6.108):

В прямоугольной системе координат векторы и имеют компоненты:

(6.112)
   

где - барицентрические координаты Земли (в а.е.). Дифференцируя (6.112) по и , получим:

   
   
   

Из третьего уравнения сразу получается величина :

(6.113)

Умножив первое уравнение на , а второе - на , затем сложив их, исключим члены с . В результате после преобразований получим:

(6.114)

Формулы (6.113) и (6.114) отражают влияние годичного параллакса на прямое восхождение и склонение звезд в секундах дуги, если параллакс выражен в секундах дуги, а - в а.е.

Найдем теперь изменение эклиптических координат звезды из-за параллакса. В этом случае векторы и имеют компоненты:

   
   

Мы предполагаем, что эклиптическая широта Земли равна нулю, и следовательно, . Дифференцируя эти уравнения по и и выполняя, как это сделано выше, аналогичные вычисления, получим:

   
   

Возводя оба уравнения в квадрат и складывая, найдем, что видимое положение звезды описывает на небесной сфере эллипс с большими полуосями, соответственно равными и :

6.3.2. Суточный параллакс

Будем считать теперь, что точка на рис. 6.15 является центром Земли, а точка - местом расположения наблюдателя на поверхности Земли. В этом случае формула (6.108) описывает явление суточного параллакса, т.е. изменение направления на источник при перемещении наблюдателя с поверхности в центр Земли. Векторы и являются геоцентрическими радиус-векторами наблюдателя и источника, соответственно. Параллактическое смещение происходит в плоскости вертикала, так как вектор определяет геоцентрический зенит (рис. 6.16).

80mm

Рис. 6.16. Суточный параллакс

Зенитное расстояние источника для наблюдателя равно . Если - зенитное расстояние относительно геоцентра, то .

По теореме синусов получим:

Если (наблюдения источника выполняются в горизонте), то

и называется суточным горизонтальным параллаксом. Так как радиус Земли меняется из-за сжатия, то наибольший горизонтальный параллакс будет наблюдаться на экваторе. Часто именно экваториальный параллакс ( назовем его ) называется горизонтальным параллаксом:

(6.115)

где - экваториальный радиус Земли. Параллакс для наблюдателя, находящегося не на экваторе можно найти по формуле:

Наибольший горизонтальный параллакс имеет Луна. Из-за изменения расстояния до Луны параллакс изменяется от до . В "Астрономическом Ежегоднике" параллакс Луны приводится для каждого дня, а расстояние до Луны можно найти по формуле (6.115).

Горизонтальный параллакс планет значительно меньше. Найдем, например, горизонтальный параллакс Венеры. Минимальное расстояние до Венеры от Земли равно примерно 40 млн. км. В этом случае

Очень важным параметром в астрометрии является суточный горизонтальный параллакс Солнца, традиционно обозначаемый как , т.к. он определяет астрономическую единицу. Из (6.115) получим:  . До 1964 г., когда Международным астрономическим союзом была принята вторая система фундаментальных астрономических постоянных (см. главу 9), горизонтальный параллакс Солнца считался равным . Используя принятое значение экваториального радиуса Земли м, получим, что км, что примерно на 90 тысяч км меньше принятого в настоящее время значения.

В 1964 г. и, позднее в 1976 г., в качестве основной постоянной вместо параллакса Солнца выбрана астрономическая единица. Это вызвано тем, что точность определения астрономической единицы резко повысилась с развитием радиоастрометрических методов наблюдений. Радиолокация планет и астероидов позволяет достичь микросекундной точности определения параллакса Солнца, что соответствует нескольким километрам в линейном масштабе. Использование радиолокации дает непосредственно расстояние между Землей и небесными телами в световых секундах (время запаздывания радиосигнала, умноженное на скорость света).

На практике поступают следующим образом: измеренное расстояние (в световых секундах) сравнивается с расстоянием , вычисленным на основании эфемерид. В результате одного наблюдения получается условное уравнение относительно элементов орбиты планеты:

где - поправки к элементам орбиты , - невязки уравнений. Полученную систему уравнений для разных моментов времени решают методом наименьших квадратов и находят поправки . Далее полагают, что поправка к большой полуоси орбиты планеты вызвана неточностью астрономической единицы (в метрах).

Относительная точность определения астрономической единицы еще более повысилась после размещения на Луне уголковых отражателей и начала измерения дальности до Луны с помощью лазерной дальнометрии. В настоящее время погрешность измерения расстояния до Луны составляет единицы сантиметров, а погрешность величины астрономической единицы равна 6 м.

В связи с новым подходом к определению астрономической единицы и из-за уточнения масс Солнца, Земли и Луны , продолжительности звездного года , необходимо было бы изменить величину гауссовой гравитационной постоянной , чтобы значение большой полуоси орбиты системы Земля+Луна оставалось единицей. Однако это признано нецелесообразным, так как пришлось бы перевычислять многие эфемериды. Поэтому при сохранении величины постоянной были изменены величины полуосей орбит планет. Так как

(6.116)

где , то при постоянная равна среднему угловому движению тела с нулевой массой в поле Солнца. Звездный год равен по (6.116) 365,256898 эфемеридных суток. Если учесть массу системы Земля+Луна и исправить значение (T=365,256337 суток для 2000 г.), то должно быть а.е. Расхождение составляет примерно 8 км. По измерениям горизонтального параллакса Солнца такое изменение величины астрономической единицы не может быть обнаружено.

6.3.3. Влияние суточного параллакса на экваториальные координаты

Для вывода формул, выражающих изменение экваториальных координат , звезды из-за суточного параллакса, используем общие формулы (6.84). Так как изменение зенитного расстояния равно

- радиус Земли, - расстояние до небесного тела, то параметр в уравнениях (6.84) равен . Апексом движения при перемещении наблюдателя в геоцентр, как видно из рис. 6.16, является геоцентрический зенит наблюдателя. Параллактическое смещение приводит к смещению звезды от апекса, поэтому параметр положителен. Геоцентрический зенит находится в верхней кульминации, то есть его прямое восхождение равно звездному времени , а склонение равно геоцентрической широте места:

Подставляя эти значения в уравнения (6.84), получаем, учитывая, что часовой угол равен :

   
   

Формулы справедливы до первого порядка малости . Поэтому при вычислении координат Луны или космических аппаратов должны использоваться строгие формулы. Из формулы легко найти экваториальные координаты, например, Луны , , исправленные за горизонтальный параллакс . Если компоненты векторов , , равны

   
   
   

то, решая систему уравнений

   
   
   

относительно , , , можно найти исправленные за параллакс координаты Луны.

6.3.4. Собственное движение звезд

Рассмотренные эффекты: рефракция, аберрация, параллактическое смещение приводят к кажущемуся изменению координат звезд из-за преломления света в атмосфере или из-за движения наблюдателя. В действительности звезды помимо кажущегося движения обладают собственным движением. Собственное движение каждой звезды включает в себя движение звезды вокруг центра Галактики, а также смещение, обусловленное перемещением солнечной системы относительно звезд.

Собственное движение обозначается буквой и имеет две составляющие: одна направлена вдоль луча зрения, а вторая лежит в плоскости, перпендикулярной лучу зрения, то есть в картинной плоскости.

Рассмотрим сначала стандартную модель движения звезды, в которой предполагается, что звезда движется в пространстве с постоянной скоростью .

Пусть барицентрические координаты звезды на эпоху равны , . Единичный вектор в направлении на звезду имеет координаты:

(6.117)

Допустим, что требуется вычислить направление вектора (т.е. координаты звезды , ) на произвольную эпоху . Если направление вектора вычисляется относительно барицентра , то обозначим как , если относительно наблюдателя , то как . Векторы и являются единичными векторами. Разница между направлениями и , как мы уже знаем, равна параллаксу звезды.

Из рис. 6.17 получим для стандартной модели движения:

(6.118)

где ; - тригонометрический параллакс звезды.

80mm

Рис. 6.17. Собственное движение звезды

Тогда

Угловые скобки обозначают нормирование вектора. Это выражение нельзя использовать, так как параллакс, являющийся малой величиной появляется в знаменателе. Поэтому перепишем (6.118) в следующем виде:

и нормируем:

(6.119)

По определению, собственное движение звезды равно производной единичного вектора по времени. Рассмотрим рис. 6.18. Единичный вектор определяет направление на звезду . Единичные векторы , определяют картинную плоскость; вектор касается в точке параллели и направлен в сторону увеличения прямых восхождений, а вектор касается в точке круга склонений и направлен к северному полюсу мира .

Векторы и могут быть определены посредством уравнений:

(6.120)

где - единичный вектор в направлении . Имеем:

следовательно

Рис. 6.18. Компоненты собственного движения звезды по прямому восхождению и склонению

Из уравнения (6.120) находим

(6.121)

(6.122)

Определим вектор собственного движения звезды с помощью уравнения (рис. 6.18):

где - собственное движение по прямому восхождению и склонению, соответственно, измеренные в секундах дуги в год; модуль равен .

Учитывая, что собственное движение звезд мало (для самой быстрой звезды - звезды Барнарда в год), в первом приближении перевод координат с одной эпохи на другую можно осуществить при помощи линейных уравнений:

(6.123)

В этих уравнениях координаты , звезды соответствуют эпохе .

Для вывода более точных уравнений запишем скорость звезды в виде:

(6.124)

где - лучевая скорость звезды, которая считается положительной при удалении ее от наблюдателя. Тогда уравнение (6.119) примет вид:

(6.125)

или

(6.126)

причем лучевая скорость измеряется в а.е./год, - в годах.

Преобразование координат звезды для наблюдателя, находящегося на Земле, выполняется с учетом следующих формул. Единичный вектор , определяющий направление на звезду, равен :

(6.127)

где , - радиус-вектор наблюдателя относительно барицентра (рис. 6.19).
80mm

Рис. 6.19. Собственное движение звезды в топоцентрической системе координат

При обработке наблюдений со спутника HIPPARCOS различия между топоцентрическим и геоцентрическим положением звезды не делалось. Однако при достижении микросекундной точности наблюдений, как это планируется в проектах GAIA, FAME и других, необходимо уже будет учитывать суточный параллакс ближайших звезд. В самом деле при расстоянии до звезды парсек суточный параллакс будет равняться мкс дуги. При наблюдении с космического аппарата, находящегося на геостационарной орбите, суточный параллакс будет уже составлять мкс дуги, что сравнимо с планируемой точностью наблюдений.

Используя (6.124) и (6.126), уравнение (6.127) преобразуем к виду:

(6.128)

Если можно пренебречь суточным параллаксом, то является барицентрическим радиус-вектором геоцентра и вычисляется с помощью эфемерид.

Если требуется найти экваториальные координаты звезды на эпоху , то для этого надо преобразовать декартовы проекции вектора в сферические координаты.

На рис. 6.20 в качестве примера показано движение в течение пяти лет двух звезд из каталога HIPPARCOS для наблюдателя, находящегося в геоцентре. Различие в траектории движения связано с различием координат звезд, величин собственного движения и тригонометрического параллакса.

Рис. 6.20. Видимое движение звезд HIP10786 и HIP27989 ( )

Наблюдаемое собственное движение звезды включает кроме движения самой звезды движение Солнца в пространстве. Первая составляющая движения звезды называется пекулярной, а вторая - параллактической. Предположение об этом было впервые высказано в 1742 г. Брадлеем и позже было подтверждено вычислениями Гершеля. Полученные им формулы называются формулами параллактического смещения звезды из-за движения Солнца в пространстве. Если Солнце за год переместилось из точки в точку на расстояние (рис. 6.21), то параллактическое смещения звезды равно

или , где - угол между направлением на звезду и апекс движения Солнца.

Величина называется средним вековым параллаксом, если под понимать путь, пройденный Солнцем за год. Если - скорость Солнца относительно местной группы звезд, , , то , где - тригонометрический параллакс. Подставляя значения, найдем соотношение между вековым и тригонометрическим параллаксами:

где выражено в км/с.

Рис. 6.21. Параллактическое смещение звезды из-за движения Солнца в пространстве

Влияние движения Солнца на собственное движение звезды по прямому восхождению и склонению можно легко найти, воспользовавшись формулами (6.113) и (6.114). В этих формулах величины , , - барицентрические координаты Земли, или, если барицентр назвать апексом, то , , - это координаты Земли относительно апекса.

Значит, изменение координат звезды вследствие движения Солнца выражается такими же формулами, но вместо , , надо использовать координаты Солнца относительно апекса (рис. 6.21). Обозначим их как . Тогда:

   
   

Дифференцируя эти уравнения по времени и ограничиваясь лишь первыми производными, получим, используя (6.123):

(6.129)

Компоненты скорости Солнца относительно апекса можно найти по формулам:

   
   
   

где км/с, , .



<< 6.2. Аберрация | Оглавление | 6.4. Измерение параллаксов и >>

Публикации с ключевыми словами: астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени
Публикации со словами: астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени
См. также:
Все публикации на ту же тему >>

Мнения читателей [12]
Оценка: 3.5 [голосов: 292]
 
О рейтинге
Версия для печати Распечатать

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце


Астронет | Научная сеть | ГАИШ МГУ | Поиск по МГУ | О проекте | Авторам

Комментарии, вопросы? Пишите: info@astronet.ru или сюда

Rambler's Top100 Яндекс цитирования