Rambler's Top100Astronet    
  по текстам   по ключевым словам   в глоссарии   по сайтам   перевод   по каталогу
 

На первую страницу << 6.1. Рефракция | Оглавление | 6.3. Параллакс >>

Разделы



6.2. Аберрация

Наблюдения проводятся с поверхности Земли, которая вращается вокруг своей оси. Помимо этого Земля движется по орбите вокруг Солнца и вместе с Солнцем обращается вокруг центра Галактики. Каждое из этих движений, в которых вместе с Землей участвует наблюдатель, приводит к изменению истинного положения небесных объектов: звезд, радиоисточников, тел Солнечной системы.

Как говорилось выше, топоцентрическая система координат не является инерциальной из-за вращения Земли вокруг оси и обращения вокруг Солнца. Поэтому результаты наблюдений, выполненных в топоцентрической системе, преобразуют сначала в геоцентрическую, а затем в барицентрическую системы координат, которая реализуется координатами внегалактических источников и, поэтому, близка к инерциальной системе. Преобразование наблюденных координат в инерциальную систему отсчета включает учет скорости движения топоцентрической системы и перенос начала системы координат, т.е. перенос наблюдателя в барицентр солнечной системы. Изменение положения небесных тел на небесной сфере вследствие движения системы отсчета называется аберрацией. Перемещение наблюдателя в другую точку пространства (перенос начала системы координат) также приводит к изменению направления на небесное тело. Этот эффект называется параллактическим смещением. Очевидно, что чем дальше будет небесное тело от наблюдателя, тем меньше будет его параллактическое смещение. Три вида движений Земли приводят к трем видам вариаций положений тел на небесной сфере: суточному, годичному и вековому параллактическому смещению и аберрации.

Небесные тела также, как и наблюдатель, движутся относительно инерциальной системы отсчета. Поэтому, смещение тел на небесной сфере, которое видит наблюдатель, связаны не только с движением наблюдателя, но и с движением самого тела. Аберрация из-за этого складывается из двух частей: первая часть, не зависящая от движения небесного тела и определяющаяся только скоростью наблюдателя, называется звездной аберрацией; вторая часть, не зависящая от скорости наблюдателя, определяется смещением тела за промежуток времени распространения света от тела до наблюдателя. В сумме эти две части дают планетную аберрацию, которая равна углу между направлением на тело в момент испуская фотона света и направлением на тело в момент приема этого фотона наблюдателем.

Параллактическое смещение также можно разделить на две части: первая часть соответствует изменению направлению на небесный объект при перемещении наблюдателя в другую точку пространства; вторая часть связана с перемещением самого объекта в пространстве за некоторый промежуток времени. По традиции проекция вектора этого перемещения на картинную плоскость называется собственным движением.

Рассмотрим сначала явление аберрации.

Аберрация была объяснена Джеймсом Брадлеем в 1728г. С 1725 г. он проводил наблюдения ряда звезд, в частности Дракона. После учета необходимых поправок Брадлей обнаружил, что эта звезда, находящаяся в зените, совершает кажущееся движение по почти круговой траектории с диаметром . Для других звезд он наблюдал эллиптическое движение.

О причине аберрации Брадлей догадался во время прогулки на паруснике по Темзе. Он заметил, что каждый раз, когда парусник менял курс, флюгер на его мачте поворачивался, как будто изменялось направление ветра. На вопрос Брадлея матросы ответили, что ветер не меняет направление, а кажущееся изменение вызвано переменой направления движения парусника. Это случайное наблюдение привело Брадлея к объяснению аберрации.

Аберрацию проще всего можно объяснить, проведя аналогию между распространением света и падением дождевых капель. При безветренной погоде капли падают вертикально, и человек не промокнет, если будет стоять неподвижно под зонтиком. Если же он побежит, то, чтобы не промокнуть, он должен наклонить зонт в сторону движения. Относительно движущегося человека дождевые капли уже не падают вертикально, а имеют горизонтальную составляющую скорости , если - скорость человека относительно земли. Если - вертикальная скорость движения капель, то угол , на который нужно наклонить зонт, определяется уравнением .

Фактически наблюдения Брадлея доказали, что наблюдатель движется вместе с Землей вокруг Солнца, так как непосредственно обнаруживается происходящее в течение года изменение направления скорости Земли относительно звезд.

Допустим, что истинное положение звезды задается единичным вектором , и неподвижный наблюдатель, находящийся в положении , наблюдает ее в телескоп (рис. 6.11). Для большей точности наблюдатель наводит на звезду перекрестье нитей. Если наблюдатель движется со скоростью , то в системе координат, связанной с ним, свет имеет составляющую скорости . Чтобы звезда осталась в перекрестье нитей, наблюдатель должен наклонить телескоп в положение (так же, как бегущий под дождем человек наклоняет зонт).

80mm

Рис. 6.11. Явление аберрации

В результате аберрации звезда смещается со своего истинного положения по большому кругу к той точке небесной сферы , в которую направлен в данный момент вектор скорости наблюдателя. Будем считать, что видимое положение звезды задается единичным вектором .

Если - скорость света, то

где n - единичный вектор в направлении точки , называемой апексом движения наблюдателя. Значит разность истинного и видимого направлений на звезду равна:

(6.77)

Умножим уравнение (6.77) дважды векторно на и, так как , получим

Преобразуя левую часть по правилу ), получим:

Если , можно записать, что . Таким образом, видимое направление на звезду определяется выражением

(6.78)

где .

Приближенное значение аберрации можно определить из треугольника (рис.6.11). По теореме синусов имеем:

Если , ( - промежуток времени, за который свет проходит расстояние от объектива телескопа до глаза наблюдателя), то

Деля обе части на и приводя подобные члены, получим:

Так как член мал, с точностью до членов получим:

Из вышесказанного следует, что положение звезды вследствие аберрации меняется по следующим законам:

  1. Аберрация приводит к смещению положения звезды по большому кругу, проведенному через звезду и апекс, в сторону апекса.
  2. Аберрационное смещение пропорционально синусу углового расстояния между направлением на звезду и апекс движения наблюдателя.

6.2.1. Изменение координат звезды из-за рефракции или аберрации

Как мы видели выше, рефракция и аберрация приводят к изменению координат звезд по направлению к фиксированной точке наблюдения. Рефракция приводит к смещению видимого изображения звезды к зениту по вертикалу. Аберрация приводит к смещению изображения также вдоль большого круга, проходящего через звезду и апекс, в сторону апекса. Общие закономерности смещения позволяют получить формулы, подходящие для этих и других эффектов, которые рассматриваются ниже. Предположим, что звезда с координатами , смещается в точку с координатами , , причем , (рис. 6.12).

Рис. 6.12. Изменение положения звезды из-за рефракции или аберрации

Смещение происходит по дуге большого круга, проходящего через звезду и некоторую фиксированную точку с координатами , . Пусть длина дуги , а дуги , причем

(6.79)

где - некоторый коэффициент. Проведем через точку параллель. Дуга параллели равна согласно (2.21):

(6.80)

Будем считать, что смещение, т.е. дуга является малой величиной. Это означает, что при раскрытии скобки и перемножении членов в (6.80) мы будем пренебрегать членами второго порядка малости (типа ):

Обозначим угол через . Так как треугольник - малый, то будем считать, что он плоский. Тогда:

   
   

или

(6.81)
   

Исключим и , используя формулы синусов и подобия для треугольника :

(6.82)
(6.83)

В результате подстановки в уравнения (6.81), получим:

(6.84)
   

Чтобы применить уравнения (6.84) к конкретному случаю, необходимо подставить в (6.84) коэффициент и координаты точки . В частности для рефракции имеем , . Рефракция поднимает звезду над горизонтом, зенитное расстояние при этом уменьшается. Поэтому коэффициент отрицателен. Точка является зенитом наблюдателя. Значит , где - местное звездное время, , где - астрономическая широта. В результате подстановки этих значений в формулу (6.84) получим:

   
   

которые совпадают с формулами (6.11).

Вместо экваториальной системы можно использовать эклиптическую систему, и уравнения (6.84) могут быть записаны относительно переменных (, ) простой заменой переменных: , .


6.2.2. Суточная аберрация

Суточная аберрация является следствием вращения Земли вокруг оси. Движение наблюдателя, вызванное вращением Земли, приводит к смещению звезды, истинное направление на которую определяется единичным вектором . Смещение определяется уравнением (6.78):

(6.85)

Для вычисления суточной аберрации необходимо вычислить вектор скорости наблюдателя .

Допустим, что наблюдатель находится в точке с геоцентрической широтой и геоцентрическом расстоянии (рис. 4.3). Тогда вектор скорости наблюдателя равен:

где - угловая скорость вращения Земли. Если наблюдатель встанет лицом к северу, то обнаружит, что вектор всегда будет направлен вправо, то есть апексом является точка востока.

Вычислим изменение координат из-за суточной аберрации. Дуга на рис. 6.12 эквивалентна углу (рис. 6.11) между направлением на звезду и апекс. Следовательно, коэффициент в (6.79) равен (дуга уменьшается из-за аберрации). Координаты апекса равны: , где - местное звездное время на меридиане наблюдателя, (вектор параллелен экватору). Так как

то из (6.84), получим:

   
   

где - часовой угол.

Если пренебречь разницей между геоцентрической широтой и астрономической широтой , получим:

(6.86)
   

где за звездные сутки, т.е.

Уравнения (6.86) дают разницу между координатами звезды для наблюдателя на поверхности Земли и неподвижного наблюдателя в центре Земли.

6.2.3. Формулы учета годичной аберрации низкой точности

Помимо вращения вокруг оси Земля перемещается относительно барицентра солнечной системы, и скорость движения Земли по орбите равна км/с. Отношение в этом случае , и годичная аберрация равна . Эффекты второго порядка, пропорциональные , имеют величину , что соответствует . При современной точности наблюдений члены второго порядка малости обязательно должны учитываться. Точные формулы для годичной аберрации будут получены в следующем параграфе.

Формулы низкой точности (порядка ) могут быть получены, если пренебречь различием между барицентром солнечной системы и центром Солнца. В этом случае можно считать, что Земля движется по эллиптической орбите относительно центра Солнца и вектор скорости Земли лежит в плоскости эклиптики. Апексом является точка с эклиптической широтой , равной , и долготой , равной (рис. 6.13), так как , где и - эклиптическая долгота и скорость Солнца.

80mm

Рис. 6.13. Учет годичной аберрации

Применяя формулы (6.84), получим:

   
   

где есть постоянная аберрации. Из этих уравнений легко получить формулу

которая является уравнением эллипса. Это означает, что в течение года видимое (искаженное аберрацией) положение звезды описывает на небесной сфере эллипс с большой полуосью , перпендикулярной кругу широты, и малой полуосью , лежащей в плоскости круга широты. Для звезды в полюсе эклиптики эллипс превращается в окружность с радиусом . Если звезда находится в плоскости эклиптики, то эллипс трансформируется в дугу эклиптики длиной .

Можно преобразовать эклиптические координаты в экваториальные, выразив координаты апекса через элементы орбиты Земли (см., например, Куликов, стр. 104-107). До 1984 г. по этим формулам учитывалась годичная аберрация, т.е. вычислялись координаты звезд по известным видимым координатам, которые уже исправлены за рефракцию и суточную аберрацию.

Однако проще найти изменение экваториальных координат звезды из-за годичной аберрации, воспользовавшись уравнением (6.85). Если , где - радиус-вектор Земли относительно барицентра солнечной системы, то из (6.85) получим:

(6.87)

Компоненты векторов и равны:

   
   

где , , - компоненты барицентрической скорости центра Земли в декартовой системе координат, - экваториальные координаты звезды в ICRS. В компонентах уравнение (6.87) имеет вид:

   
(6.88)
   

Из третьего уравнения сразу получим:

   
   

Исключая из первых двух уравнений (6.88), имеем:

Скорость света должна быть выражена в тех же самых единицах, что и компоненты скорости . Так как компоненты скорости в "Астрономическом Ежегоднике" выражаются в астрономических единицах в сутки (а.е./сутки), то

Компоненты скорости можно найти из матричного уравнения (3.65), предполагая, что Земля движется по кеплеровской орбите, или, если требуется большая точность, используя эфемериды DE200 или DE405.


6.2.4. Точные формулы учета годичной аберрации

Точный учет влияния аберрации на положение объектов на небесной сфере выполняется в рамках специальной теории относительности.

Если инерциальная система , которую назовем , движется относительно инерциальной системы (или ), то преобразования координат тела и шкалы времени из одной системы в другую выполняются с помощью формул Лоренца. Обычно предполагают, что оси двух систем попарно параллельны, в некоторый момент времени начала систем совпадали, и скорость движения системы совпадает с направлением осей и . Для удобства переобозначим координаты так, что , . В этом случае преобразования длин и промежутков времени (преобразования Лоренца) из нештрихованной в штрихованную систему имеют вид:

(6.89)

где , , . В качестве четвертой координаты определим величину , . При таком определении интервал записывается в виде:

Тогда

Теперь, используя матричные обозначения, преобразования Лоренца (6.89) запишем в виде:

(6.90)

Матричное уравнение (6.90) описывает поворот четырехмерной системы координат в плоскости . Это легко проверить: матрица является ортогональной .

Допустим, что в начальный момент времени начало штрихованной системы отсчета имеет координаты относительно . Очевидно, что преобразования Лоренца, учитывающие параллельный перенос осей координат системы в точку , могут быть записаны в виде:

(6.91)

Для того, чтобы вычислить изменение экваториальных координат из-за годичной аберрации, необходимо получить общие формулы Лоренца. Вектор скорости V штрихованной системы координат в общем случае может не совпадать ни с одной из осей. Кроме этого, в нулевой момент времени начала систем и могут не совпадать.

Пусть компоненты вектора скорости начала отсчета системы в системе отсчета равны . Сначала повернем систему так, чтобы ось совпала с вектором . Затем выполним преобразование Лоренца (6.90),и, наконец, выполним обратное вращение системы , чтобы оси системы вернулись в исходное положение. Результатом этого преобразования будут формулы Лоренца, записанные в векторном виде.

Применительно к нашей задаче будем считать, что начало системы отсчета находится в барицентре солнечной системы, ось направлена в точку весеннего равноденствия, а ось - в северный полюс мира. Барицентрический радиус-вектор центра Земли, в котором находится наблюдатель, равен , и наблюдения проводятся в момент барицентрического координатного времени .

Предположим, что вектор направлен в точку с экваториальными координатами . Для совмещения оси с направлением на апекс необходимо выполнить два вращения: первое - относительно оси на угол , второе - относительно оси на угол , т.е. вычислить матрицу . Повороты системы координат вычисляются в четырехмерном пространстве , при этом ход времени не меняется. Следовательно, матрицы имеют размерность :

После вращения системы , описываемого матрицей , направление оси совпадает с направлением вектора скорости . Следовательно, можно применить уравнение (6.91) и затем выполнить обратный поворот: . В результате общее преобразование Лоренца имеет вид:

(6.92)

Умножение пяти матриц размером - занятие довольно утомительное. Для экономии времени можно, например, воспользоваться пакетом MAPLE. Программирование произведения матриц в (6.92) занимает несколько минут. После приведения подобных членов (также с помощью MAPLE), учета того, что и т.д., , элементы матрицы приобретают компактный вид:

(6.93)

Легко проверить, что при , матрица  (6.93) совпадает с матрицей в (6.90), и общее преобразование (6.92) становится частным (6.89).

Если - координаты вектора в системе , измеренные в момент , - координаты того же события, обозначаемые вектором , в системе , то матричное уравнение (6.92) можно записать в векторном виде:

(6.94)

(6.95)

Если в момент времени вектор , то

(6.96)

(6.97)

Обратное преобразование векторов и времени из системы в систему можно найти, вычислив матрицу, равную или обратную (6.93) (например, с помощью MAPLE). Тогда:

(6.98)

(6.99)

Пусть скорость фотона в барицентрической системе равна , а в штрихованной - . Вектор определяет направление на видимое положение источника, и, следовательно, разность векторов и является аберрационным смещением. Мировая линия фотона, регистрируемого наблюдателем, в барицентрической системе как функция координатного времени может быть представлена уравнениями:

(6.100)

причем

В штрихованной системе координат мировая линия фотона определяется уравнениями:

(6.101)

и

Скорость фотона в штрихованной и нештрихованной системах координат должна равняться скорости света: , однако проекции скорости в разных системах различаются; эти различия определяются законом преобразования (6.92). Для того, чтобы выразить вектор через , выразим из (6.100) и подставим в (6.94):

Из последнего уравнения можно исключить , используя (6.95):

и дифференцируя по , получим в векторном виде:

(6.102)

Пусть - единичный вектор в направлении видимого положения источника, - единичный вектор источника для наблюдателя, находящегося в покое относительно барицентрической системы в точке , а - единичный вектор в направлении апекса. Тогда , , и (6.102) имеет вид:

(6.103)

Эта формула определяет точное направление на источник из точки . Так как предполагалось, что источник фотонов неподвижен относительно системы , то формула (6.103) дает величину звездной аберрации.

Если ограничиться членами порядка , то

Подставляя эти выражения в (6.103), находим, что

После несложных преобразований получим, что (сравни с (6.78))

Рассмотрим теперь вековую аберрацию. Выше мы предполагали, что звезды находятся в покое относительно барицентрической системы координат ICRF. Это, конечно же, не так. Звезды движутся относительно центра Галактики. Так как для большей части звезд радиальная компонента скорости движения неизвестна, то наблюдатель может измерить лишь проекцию скорости на плоскость, перпендикулярную к лучу зрения и касательную к небесной сфере (картинную плоскость). Как говорилось выше, это движение называется собственным движением звезд. Исправляя видимое положение звезды за суточную и годичную аберрацию и параллакс, наблюдатель не получит реального положения звезды в пространстве, так как за время распространения света от звезды к наблюдателю звезда сместится. Чтобы получить истинное положение звезды на момент наблюдения, необходимо учесть это смещение, т.е. умножить собственное движение на . Кроме этого, солнечная система обращается вокруг центра Галактики со скоростью примерно 220 км/с и за время переместится в другую точку пространства.

Оба эффекта имеют вековой характер и потому обычно называются вековой аберрацией. Однако на практике учет вековой аберрации не производится, так как с одной стороны велика неопределенность расстояний до звезд и, следовательно, величины . С другой стороны, направление скорости солнечной системы практически не меняется на коротких промежутках времени, и, значит, вековая аберрация постоянна. Она приводит к постоянному смещению звезд на небесной сфере. В самом деле, если солнечная система движется со скоростью 220 км/с по круговой орбите с радиусом 8,5 килопарсек относительно центра Галактики, период обращения равен 240 млн лет, то вековая аберрация составляет .

Применяя формулы (6.84), получим, что вековая аберрация приводит к следующему изменению галактических координат звезды:

   
   

где , - координаты апекса. Если , то постоянная часть вековой аберрации равна:

   
   

Как говорилось выше, этот эффект приводит к постоянному смещению звезд на небесной сфере и, поэтому, измерить его невозможно. Если мы предположим, что Солнце движется вокруг центра Галактики по круговой орбите, то годичное изменение направления на апех (или поворот вектора скорости Солнца за год) равно , где - среднее движение, лет - период обращения. Тогда изменение координат звезды за год вследствие изменения апекса равно:

   
   

Коэффициент равен мкс дуги. Максимальное изменение галактической долготы будет наблюдаться для звезд с , . Максимальное изменение галактической широты будет иметь место для звезд с координатами: и .

В настоящее время измерить годичное изменение координат из-за вековой аберрации невозможно. Однако в будущем при построении высокоточных каталогов по проектам GAIA, FAME, DIVA, когда координаты звезд будут измеряться с микросекундной точностью, учитывать вековую аберрацию обязательно будет нужно.

Подчеркнем, что величина коэффициента мкс дуги соответствует годичному изменению вековой аберрации. За 25-летний промежуток наблюдений коэффициент будет равняться уже 100 мкс дуги, и, в принципе, обращение Солнца относительно центра Галактики можно попытаться обнаружить уже сейчас на основе имеющейся базы РСДБ наблюдений.

Непосредственное измерение обращения солнечной системы вокруг центра Галактики - это фундаментальный результат, который станет возможным на основе высокоточных астрометрических измерений.


6.2.5. Планетная аберрация

Если в качестве объекта наблюдения рассматривается тело (планета, астероид и т.д.) в Солнечной системе, то его видимое положение в момент наблюдения отличается от истинного положения из-за 1) движения тела по орбите за время распространения света от тела до Земли и 2) движения Земли по орбите. Планетная аберрация включает, таким образом, годичную аберрацию, и поправку, зависящую от движения тела.

Допустим, что в момент времени взаимное расположение планеты и центра Земли относительно барицентра задается векторами . Пусть - радиус-вектор между точками и (рис. 6.14). Если , где - единичный вектор, то для момента времени можно записать векторное равенство:

75mm

Рис. 6.14. Планетная аберрация

В действительности наблюдаемые в момент фотоны пришли от планеты, когда она находилась в точке в момент , причем радиус-вектор равен . Если скорость Земли равна , то видимое положение планеты, исправленное за годичную аберрацию, определяется единичным вектором , который согласно (6.85) равен:

(6.104)

Если пренебречь ускорением планеты за промежуток времени , то . Тогда

или

(6.105)

так как . Умножая векторно последнее уравнение дважды на , получим:

Так как , то:

(6.106)

Складывая (6.104) и (6.106), получим:

Подставим вместо выражение (6.105). С точностью до ( получим:

(6.107)

Аберрационное смещение положения планеты зависит только от относительной скорости Земли и планеты.



<< 6.1. Рефракция | Оглавление | 6.3. Параллакс >>

Публикации с ключевыми словами: астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени
Публикации со словами: астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени
См. также:
Все публикации на ту же тему >>

Мнения читателей [12]
Оценка: 3.5 [голосов: 292]
 
О рейтинге
Версия для печати Распечатать

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце


Астронет | Научная сеть | ГАИШ МГУ | Поиск по МГУ | О проекте | Авторам

Комментарии, вопросы? Пишите: info@astronet.ru или сюда

Rambler's Top100 Яндекс цитирования