Rambler's Top100Astronet    
  по текстам   по ключевым словам   в глоссарии   по сайтам   перевод   по каталогу
 

На первую страницу << 5.4. Атомное время | Оглавление | 5.6. Пульсарная шкала времени >>

Разделы


5.5. Динамические шкалы времени

Шкала эфемеридного времени была первой шкалой динамического времени. Одним из недостатков шкалы ЕТ была задержка при вычислении поправки и сложность в практической реализации шкалы. Необходимо было провести наблюдения тел Солнечной системы и получить их координаты, затем сравнить их с теоретическими координатами. Лишь по прошествии минимум одного года определялась разница ; точность вычисления ограничивалась точностью оптических наблюдений.

Повышение точности наблюдений и определение атомной шкалы времени привело к созданию новых динамических шкал времени. Такими шкалами являются шкалы барицентрического и земного динамического времени (TDB и TDT, соответственно), барицентрического и геоцентрического координатного времени (TCB и TCG, соответственно) и земного времени (TT). На уровне точности, с которой могло быть определено эфемеридное время ET ( ), эти шкалы эквивалентны.

На практике только изучение солнечной системы может обеспечить нас точными динамическими шкалами. Однако построение идеальной равномерной шкалы времени ограничено незнанием строения солнечной системы, точностью наблюдений тел солнечной системы и вычислений их положений, а также точностью определения моментов наблюдений.

Эфемеридное время ET являлось аргументом в уравнениях классической небесной механики. Пространство, в котором происходит движение тел солнечной системы, предполагается плоским (евклидовым), а время абсолютным. Переход к системе динамических времен TDB, TDT, TCB, TCG, TT означает, что преобразования координат и времени в евклидовом пространстве при переносе начала системы координат заменяются релятивистскими преобразованиями, трехмерное пространство заменяется четырехмерным. Свойства пространства-времени в каждой точке определяются согласно теории А.Эйнштейна распределением вещества в пространстве; пространство-время становится кривым.

Чтобы разобраться для чего было определено столько шкал времени, какая между ними разница, необходимо обратиться к основам специальной и общей теорий относительности.

При обработке результатов наблюдений в рамках общей теории относительности необходимо различать два вида величин: собственные и координатные величины. Собственные величины определяются непосредственно в результате эксперимента или наблюдения в лаборатории без привлечения каких-либо соглашений о выборе системы отсчета, аксиом и т.д. Фундаментальными величинами являются собственное время и длина, в единицах которых измеряются промежутки времени и размеры тел в конкретной лаборатории. В общем случае промежуток времени между двумя событиями, измеряемый в разных лабораториях будет разным; разными будут и измеренные размеры одного и того же тела.

Координатные величины (например, время и длина) зависят от выбора системы отсчета. Другими словами координатные величины определяются на основе соглашения о свойствах системы отсчета.

В ньютоновской механике всегда можно определить координаты таким образом, что единицы измерения координат всегда будут равны собственным единицам во всем пространстве; поэтому нет необходимости делать различие между координатными и собственными величинами. В общей теории относительности из-за кривизны четырехмерного пространства-времени соотношение между координатными и собственными величинами не остается постоянным, а зависит от положения и скорости наблюдателя. Поэтому при переходе из одной точки пространства в другую единицы измерения собственных величин меняются. При измерениях времени это говорит о том, что соотношение между координатным временным интервалом и собственным (измеренным) интервалом зависит от положения часов наблюдателя в пространстве. При уменьшении скорости наблюдателя до нуля относительно начала отсчета и удалении на бесконечно большое расстояние пространство для наблюдателя становится плоским (евклидовым), а собственное время - координатным.


5.5.1. Координатное и собственное время

Определим понятие события местом (т.е. тремя координатами ), где оно произошло, и временем , когда оно произошло. Например, наблюдение некоторого объекта есть событие, которое происходит в четырехмерном пространстве, причем пространственные координаты определяют положение наблюдателя, а время определяет момент наблюдения. В четырехмерном пространстве событие изображается точкой, называемой мировой точкой. Изменение координат наблюдателя с течением времени означает движение точки по некоторой кривой, называемой мировой линией.

Если и - координаты двух событий, то величина

называется интервалом между этими событиями, - скорость света. Если событиями являются излучение и прием одного и того же светового сигнала, то . В силу постоянства скорости света и равноправности инерциальных систем отсчета в любой системе отсчета.

Для двух бесконечно близких событий интервал равен:

(5.22)

Если есть две инерциальные системы отсчета и , то из обращения интервала в нуль в одной системе следует его обращение в нуль в другой (и обратно). Так как величины и - бесконечно малые одного порядка, то в разных системах отсчета интервалы должны быть пропорциональны: . Коэффициент не должен зависеть ни от времени, ни от координат (пространство и время однородно, т.е. начала систем и могут быть заданы произвольным образом), ни от направления относительной скорости систем отсчета (пространство изотропно, т.е. пространственные оси систем и могут быть повернуты произвольным образом), т.е. может зависеть только от абсолютной величины относительной скорости. Поэтому, если рассмотреть последовательные преобразования - сначала от системы к , а затем от к , то коэффициент преобразования стал бы равняться : . Это означает, что и . Из равенства бесконечно-малых интервалов следует равенство конечных интервалов: .

Интервал между событиями одинаков во всех инерциальных системах отсчета, т.е. интервал является инвариантом по отношению к преобразованию от одной инерциальной системы отсчета к любой другой. Квадрат интервала может равняться, как мы видели, нулю (в этом случае интервал называется светоподобным), быть больше нуля (если рассматриваются события, произошедшие в одной и той же точке пространства, но в разное время - это времениподобный интервал), а также быть меньше нуля (пространственноподобный интервал между событиями, произошедших в одно и то же время в разных точках пространства).

Координаты события удобно считать компонентами контравариантного четырехмерного вектора (или 4-вектора), причем индексы принимают значения :

т.е. время рассматривается как одна из координат в 4-пространстве и, поэтому, называется координатным временем.

Если интервал рассматривать как расстояние между двумя мировыми точками в четырехмерной системе координат, то преобразование координат из одной системы отсчета в другую должно сохранять все длины неизменными. Такими преобразованиями являются только параллельные переносы и вращения системы координат.

Пусть инерциальная система отсчета с осями двигается относительно системы со скоростью . Допустим, что оси и направлены по , оси и , и соответственно параллельны, и начала координат и совпадают при . Преобразования координат из системы в в этом случае называются преобразованиями Лоренца:

(5.23)

так как . В следующей главе будет показано, что преобразования Лоренца могут быть представлены в виде четырехмерной ортогональной матрицы, т.е. формулы (5.23) действительно представляют вращение в 4-пространстве.

Предположим теперь, что в некоторой инерциальной системе отсчета расположены неподвижные часы, и мы измерили по ним промежуток времени между какими-то двумя событиями. Спрашивается, какой промежуток времени между этими же событиями покажут другие, точно такие же часы, которые покоятся относительно системы отсчета , движущейся относительно со скоростью . За промежуток времени координаты часов в относительно системы изменятся на , т.е. часы пройдут расстояние . Интервал в системе равен, следовательно, . В системе отсчета за время пространственные координаты часов не изменяются, т.е. , и интервал в равен . Из инвариантности интервала следует уравнение:

Так как

то

(5.24)

Переходя к бесконечно малым величинам и интегрируя это выражение, найдем промежуток времени, измеренный движущимися относительно системы часами, если по неподвижным часам проходит время :

(5.25)

Промежуток времени , измеряемый часами, которые связаны с движущимся телом, называется промежутком собственного времени. Из уравнения (5.25) следует, что собственное время течет не быстрее, чем координатное время в неподвижной системе отсчета.

Определим теперь единицу времени в системе отсчета, связанной с наблюдателем, как секунду и введем обозначение - . Единицу времени в неподвижной системе отчета также назовем секундой и обозначим ее как . Перепишем уравнение (5.24) в виде:

(5.26)

где представляют собой числа - показания движущихся и неподвижных часов в выбранных единицах измерения. Если используются одинаковые часы и , то показания часов связаны известным соотношением

описывающим замедление времени движущихся часов.

С другой стороны, можно потребовать, чтобы показания часов в разных системах отсчета оставались неизменными: . Это требование означает, что единица времени в движущейся системе отсчета должна изменяться согласно уравнению:

(5.27)

где .

Оба определения, связывающие две шкалы времени, совершенно равноправны. При определении шкал динамического времени TDB и TDT в резолюциях МАС говорится, что между этими шкалами не должно быть векового (линейного) хода. Это означает, что Международный астрономический союз отдал предпочтение второму методу; поэтому единицы времени шкал TDB и TDT должны быть связаны уравнением (5.27). В обозначениях, принятых МАС, уравнение (5.27) записывается в виде: , , , а символ обозначает усреднение в бесконечных пределах. Коэффициент , как будет показано ниже, определяется строением солнечной системы.

Зная коэффициент преобразования , можно по лабораторным часам определить барицентрическое время TDB. Коэффициент зависит от гравитационного потенциала в точке, где расположены лабораторные часы и от скорости часов. Согласно определению МАС земное динамическое время TDT (Temps Dynamique Terrestrial) - это собственное время наблюдателя, измеряемое атомными часами, расположенными на поверхности геоида. Единицей времени является секунда СИ. Шкала TDT была введена с 1 января 1977 г. и заменила шкалу эфемеридного времени ET. В момент 1 января 1977 г. значение эпохи в TDT равняется сутки 1 января 1977 г. Так как сутки, то для сохранения непрерывности шкалы TDT с эфемеридным временем принято считать, что

(5.28)

Аргумент TDT используется в уравнениях движения для вычисления видимых геоцентрических эфемерид.

Барицентрическое динамическое время TDB (Temps Dynamique Baricentrique) определяется на основе уравнения (5.27) и принятой метрики пространства-времени солнечной системы. Шкала TDB определена МАС как координатное время, которое должно отличаться от TDT только периодическими членами. Однако из этого определения следует, что шкала TDB не реализуема. Причины этого понятны. При определении TDB требуется исключить вековое расхождение шкал времени. Так как в действительности операция усреднения осуществляется в течение конечного промежутка времени, то становится невозможным разделение долгопериодических членов от вековых. Другими словами, с практической точки зрения существует неоднозначность в удалении векового расхождения шкал, что делает определение TDB неоднозначным. Другая проблема связана с введением коэффициента в преобразование шкалы TDT в TDB. Если принимается постулат о постоянстве скорости света, то при использовании шкал TDT в TDB должны быть приняты различные значения констант в разных системах отсчета. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Определение единицы длины выполняется на основе аксиомы о независимости скорости света от системы отсчета. Если и - единицы длины (метр) в движущейся и неподвижной системах отсчета, то

где - численные значения скорости света. Используя соотношение (5.27), находим:

(5.29)

Тогда, если численное значение скорости света одинаково в разных системах отсчета: , то единицы длины удовлетворяют уравнению:

(5.30)

Если в качестве единицы массы в солнечной системе принять массу Солнца , то единица длины - астрономическая единица (а.е.) - может быть определена на основе третьего закона Кеплера. Большая полуось орбиты связана с периодом обращения и массами планеты и Солнца согласно уравнению (3.50):

Запишем закон Кеплера для системы Земля-Луна ( ) в следующем виде:

где - масса Земли, - масса Луны. Гауссова гравитационная постоянная является определяющей и связана с ньтоновской постоянной как

(5.31)

Численное значение было определено МАС в 1938 г.:

сутки определяются как внесистемная единица времени, причем их длительность равна 86400 с. Так как - определяющая постоянная, то считается, что величина известна точно. Численно гауссова постоянная равна среднему угловому движению (в радианах в эфемеридные сутки) тела с нулевой массой в поле Солнца на расстоянии в 1 а.е.:

(5.32)

при и , равному числу эфемеридных суток в сидерическом году, получим .

Для определения величины астрономической единицы в принятых единицах длины (метрах) необходимы прямые измерения расстояний между телами солнечной системы. Для этого сначала использовались измерения суточного горизонтального параллакса Солнца (см. стр. ). Точность определения астрономической единицы резко повысилась с развитием радиоастрометрических методов наблюдений. Радиолокация планет и астероидов позволяет достичь микросекундной точности определения параллакса Солнца, что соответствует нескольким десятков метров в линейном масштабе. Используя измерения задержки между испущенным радиосигналом и сигналом, отраженным от тела солнечной системы, было определено время, за который радиосигнал проходит 1 а.е. В стандартах Международной службы вращения Земли (IERS2000) оно равно (в TDB единицах):

Фундаментальную роль в астрометрических измерениях играет значение скорости света в принятых единицах длины и времени. Скорость света является определяющей постоянной, значение которой равно:

Зная значение скорости света в единицах СИ, можно выразить 1 а.е. в метрах. Так как одним из постулатов теории относительности является постоянство скорости света в любой системе отсчета, то уравнение (5.27) означает, что единицы длины в барицентрической и земной системах отсчета также должны различаться. Уравнение (5.27) приводит к тому, что некоторые астрономические постоянные будут зависеть от того, в какой системе, геоцентрической или барицентрической, они используются. Такими постоянными являются, например, геоцентрическая и солнечная гравитационные постоянные. В таблице 5.2 приводятся значения некоторых постоянных в геоцентрической или барицентрической системе координат при использовании шкал времени TDT и TDB.

Таблица. Значения астрономических постоянных.
Постоянная Значение в TDT Значение в TDB Разность Ошибка
        постоянной
1 а.е. [м] 149597873011 149597870691 2320 30
[м] 6378136,6 6378136,5 0,10 0,10

Как видно из таблицы 5.2, различия констант в геоцентрической и барицентрической системах значимы (кроме экваториального радиуса Земли ). Их разница значительно превышает ошибки измерений.

Поэтому в 1991 г. на Генеральной Ассамблее МАС было принято решение отказаться от использования шкал времени TDT и TDB, и были введены новые шкалы времени TCB и TCG.

Для определения этих шкал рассмотрим как собственное время определяется в общей теории относительности.

Допустим, что имеется неинерциальная система координат , которая равномерно вращается со скоростью относительно оси . Преобразование координат к инерциальной системе может быть записано в виде:

где угол . Квадрат интервала при во вращающейся системе приобретет вид

(5.33)

Дополнительные неквадратичные члены связаны с кориолисовыми и центробежными силами, которые появляются в неинерциальных системах отсчета. В общем виде интервал можно записать в виде:

(5.34)

где - функции координат . При записи этого выражения использовалось соглашение, по которому в выражении должно быть выполнено суммирование, если есть повторяющиеся индексы, а знак суммирования опускается.

Величины определяют геометрию системы координат (или метрику пространства-времени) и образуют тензор. В инерциальной системе при использовании декартовых координат величины равны:

   при (5.35)

и определяют метрику Минковского. С помощью обратного преобразования

величины в (5.33) могут быть преобразованы к значениям (5.35). Гравитационные поля в общей теории относительности проявляются в изменении метрики, но никакими преобразованиями координат ее невозможно привести к метрике Минковского.

Для определения собственного времени в общей теории относительности рассмотрим два бесконечно близких события, произошедших в одной и той же точке пространства и разделенных промежутком времени . Полагая, что и , получим по (5.34):

откуда собственное время для данной точки пространства равно:

Собственное время в разных точках пространства связано с координатой посредством компоненты метрического тензора. Если часы движутся, то временной интервал между двумя событиями 1 и 2, равный разности показаний часов , зависит от пути. Если мировые линии между событиями 1 и 2 различаются (назовем пути как и ), то в общем случае .

Гравитационное поле, как показал Эйнштейн, проявляется в изменении метрики пространства-времени, т.е. определяется величинами . Поэтому собственное время наблюдателей, расположенных в разных точках пространства и движущихся относительно друг друга, течет по разному. Это означает, что единица времени будет разной для разных наблюдателей. Разной будет и единица собственной длины.

Если наблюдатель неподвижен относительно некоторой системы отсчета, то квадрат интервала между какими-нибудь событиями для него равен . Мировая линия, по которой движется наблюдатель, является времени-подобной, т.е. любая пара точек разделена времени-подобным интервалом. Собственное время, таким образом, является временем, которое измеряется наблюдателем, находящимся на этой мировой линии. С большой точностью можно считать, что атомные часы показывают собственное время в точке их установки. С точки зрения общей теории относительности TAI является координатным временем, определенным в геоцентрической системе координат на поверхности геоида. Для вычисления шкалы TAI используется большое число часов, размещенных в разных точках Земли, и, строго говоря, TAI не может называться собственным временем.


5.5.2. Связь между динамическими шкалами времени

Итак, чтобы можно было преобразовать собственное время в координатное время или сравнить собственные времена разных наблюдателей, необходимо знать компоненту метрического тензора. Метрический тензор определяется решением уравнений поля Эйнштейна для заданного распределения массы. В настоящее время получено много частных точных или приближенных решений этих уравнений. Однако для практического использования в сферической астрономии особое значение имеет метрика солнечной системы. Для самых простых вычислений хорошим приближением гравитационного поля солнечной системы является поле точечной массы, так как массы солнечной системы сосредоточено в Солнце.

Точное решение уравнений Эйнштейна для случая сферически симметричного, невращающегося тела было найдено Шварцшильдом в 1916 г. Гравитационный потенциал точки с массой на расстоянии определяется формулой (4.4):

Тогда в сферических координатах решение Шварцшильда можно записать в виде:

Начало пространственных координат системы отсчета совпадает с центром масс тела.

Следовательно, . Метрика Шварцшильда довольно точно описывает гравитационное поле солнечной системы. При метрика Швардшильда совпадает с метрикой плоского пространства - метрикой Минковского: , . Следовательно, на бесконечно большом расстоянии от точечной массы связь собственного и координатного времени выражается преобразованиями Лоренца и уравнением (5.25). При получим, что , и координатное время - это время, которое показывают часы, находящиеся на бесконечно большом расстоянии и покоящиеся относительно точечной массы.

Гравитационное поле солнечной системы определяется не только Солнцем, но и остальными телами. Поэтому потенциал в точке с барицентрическим радиус-вектором на поверхности Земли, где расположены часы, определяется выражением

и суммирование выполняется по всем телам солнечной системы, радиус-векторы которых равны . Координаты тел определяются относительно барицентра - центра масс солнечной системы.

Более точное выражение метрического тензора солнечной системы было получено с использованием так называемого пост-ньютоновского (PPN) формализма. Это приближенное решение уравнений поля, справедливое для слабого гравитационного поля и малых скоростей тел для нескольких гравитирующих, вращающихся, несферических тел. Выражение метрического тензора солнечной системы было рекомендовано Генеральной Ассамблеей МАС 1991 г. и уточнено в 2000 г. для того, чтобы предусмотреть решение астрометрических задач с микросекундной точностью. Для простоты мы рассмотрим выражения для , рекомендованное в 1991 г. Альтернативные теории гравитации не исключаются из рассмотрения путем введения в компоненты метрического тензора так называемых PPN-параметров.

Метрика пространства-времени солнечной системы может быть записана в виде:

   
(5.36)
   

где - символ Кронекера, . Из метрики (5.36) следует выражение для квадрата интервала:

(5.37)

где - мгновенный "потенциал" в точке расположения часов. В дальнейшем опустим кавычки; будем называть функцию потенциалом и помнить, что в действительности эта функция равна гравитационному потенциалу , деленному на квадрат скорости света.

Обозначая скорость атомных часов относительно барицентра солнечной системы через , получим

(5.38)

Подставляя уравнение (5.38) в (5.37), найдем, что

или, используя формулу Тэйлора ( ):

(5.39)

Правая часть (5.39) изменяется во времени из-за движения Земли по орбите и вращения, так как меняется барицентрическая скорость часов и потенциал в точке расположения часов. Это значит, что промежуток в единицах собственного времени меняется по сравнению с промежутком в единицах координатного времени.

В уравнении (5.39) предполагается, что и измеряются в одних и тех же единицах (например, секундах СИ). Однако можно считать, что и измеряются в разных единицах (например, отношение этих единиц описывается уравнением (5.27)); в этом случае правая часть уравнения (5.39) должна быть умножена на коэффициент . Интегрирование уравнения (5.39) дает:

(5.40)

причем предполагается, что две шкалы времени синхронизованы в момент времени , так что в момент .

Вычислим интеграл в уравнении (5.40). Для этого будем считать, что

(5.41)

где - векторы положения и скорости центра Земли, - векторы положения и скорости часов относительно центра Земли. Все векторы измеряются в барицентрической системе координат. Потенциал является суммой потенциалов Земли и остальных тел солнечной системы : . Заметим, что потенциал для часов, расположенных на поверхности Земли, является почти постоянной величиной (если пренебречь движением полюса и неравномерностью вращения), тогда как потенциал меняется из-за движения часов, вызванного вращением и орбитальным движением Земли. Подставляя выражения (5.41) в (5.39), получим:

(5.42)

Члены, входящие в формулу (5.42), имеют следующий порядок: орбитальное движение Земли характеризуется членом ; движение часов относительно геоцентра - ; гравитационный потенциал тел солнечной системы на орбите Земли - ; геопотенциал на поверхности Земли - .

Разлагая потенциал при в ряд Тейлора относительно центра Земли и сохраняя только линейные члены, получим, учитывая, что потенциал Земли в ее центре равен нулю:

(5.43)

Градиент вычисляется в центре Земли, причем с точностью ускорение центра Земли совпадает с ньютоновским ускорением: .

Используя разложение потенциала (5.43), можно представить интеграл в (5.40) в виде суммы двух интегралов или двух поправок к собственному времени, одна из которых является общей для всех часов, расположенных на поверхности Земли, другая - зависит от координат часов:

(5.44)

   
(5.45)

При интегрировании предполагалось, что для данной точки на поверхности Земли и практически постоянны.

Квазипериодический член в (5.45) имеет величину примерно 2 мкс. Основной период равен суткам. Эта поправка объясняется в рамках специальной теории относительности: одновременные события в неподвижной барицентрической системе отсчета не являются одновременными в движущейся геоцентрической системе.

Уравнение (5.40) определяет собственное время атомных часов, фиксированных на поверхности Земли, в зависимости от их положения и скорости в барицентрической системе отсчета и координатного времени. Так как при измерениях времени и в астрономии, и в повседневной жизни лежит шкала UTC, связанная с TAI, необходимо связать шкалу времени отдельных часов с шкалой TAI. Для этого атомные часы должны периодически сравниваться, и разность показаний двух часов и будет определяться разностью , причем вычисляются по формуле (5.40). Таким образом уравнение (5.40) может быть использовано для понимания проблемы синхронизации часов.

Поправка является общей для всех часов, расположенных на Земле. Поэтому она одинакова для всех часов, и ее можно не учитывать при синхронизации. Однако при преобразовании между собственным и координатным временем член является основным.

Релятивистская поправка различна для разных часов. Это означает, что в результате релятивистских эффектов шкалы атомных часов расходятся. Это расхождение выражается в виде линейного дрейфа и малых квазипериодических вариаций. Линейный член в (5.45) определяется гравитационным потенциалом и скоростью часов относительно центра масс Земли. Так как часы расположены не точно на поверхности геоида, то различие их положения по высоте на приводит к изменению гравитационного потенциала на величину:

- вектор от центра Земли до часов, находящихся на геоиде. Для часов, расположенных на поверхности Земли, , где - ортометрическая высота часов, , и с большой точностью предыдущее выражение можно записать как

- ускорение силы тяжести на геоиде. Релятивистская теория предсказывает, следовательно, изменение хода часов в зависимости от высоты с коэффициентом .

Таким образом, если , то . Квадрат скорости можно представить в виде , причем зависит от высоты . Тогда

(5.46)

Первая скобка в правой части (5.46) представляет собой гравитационный потенциал на геоиде , деленный на . Это - величина постоянная, которая по определению XXIX Генеральной Ассамблеи МАС (2000 г.) равна . Коэффициент

является определяющей константой и его значение известно точно. Так как константы и известны, можно найти геопотенциал на геоиде: и, таким образом, задать геоид.

Вторая скобка в правой части (5.46) представляет релятивистскую поправку в ход часов, которая различна для разных часов, но может быть точно вычислена по теории. После исправления показаний часов (учета этой поправки) все часы оказываются "расположенными" на геоиде. Полученная шкала времени называется земным временем TT (Terrestrial Time):

Шкала TT была введена в 1991 г. резолюциями МАС и заменила шкалу TDT. По определению шкала TT является основой для вычисления видимых геоцентрических эфемерид; единица измерения TT равна секунде СИ на геоиде. В момент времени 1997, январь 1, TAI значение времени TT равно 1997, январь 1, . Таким образом

Так как часы не располагаются на геоиде, поправка (второй член в правой части (5.46)) учитывается при синхронизации часов и выводе статистической шкалы TAI. Следовательно, шкала TAI является реализацией TT и в настоящее время из-за ошибок синхронизации часов и вычисления имеет малое линейное смещение ( мкс/год) относительно идеальной шкалы TT.

Рассмотрим теперь, как вычисляется поправка  (5.44).

Интеграл в (5.44) можно вычислить достаточно просто, если считать орбиты планет кеплеровскими невозмущенными гелиоцентрическими орбитами. Если - масса Солнца, - масса планеты , - барицентрический радиус-вектор Солнца, - гелиоцентрический радиус-вектор планеты, то уравнение для радиуса-вектора центра масс солнечной системы может быть записано в виде:

или с точностью до линейных по членов:

(5.47)

Для простоты будем далее учитывать влияние только Юпитера и Сатурна.

Если гелиоцентрический радиус-вектор центра Земли равен , то . Взаимное расположение Солнца, Земли, Луны и планеты показано на рис. 5.11.

Рис. 5.11. Определение радиус-векторов тел солнечной системы; - барицентр солнечной системы, - барицентр системы Земля+Луна.

Так как , то

(5.48)

Барицентрической скоростью Солнца можно пренебречь по сравнению со скоростью Земли (см. раздел. 3.10).

Гравитационный потенциал в центре Земли можно найти по формуле:

(5.49)

где - масса Луны и ее геоцентрический радиус-вектор. Так как , то

Значит

   
(5.50)

Упростим это выражение, воспользовавшись вторым законом Ньютона:

и уравнением (3.63), которое перепишем в виде:

(5.51)

- большая полуось орбиты планеты. Так как

то

(5.52)

Приравнивая уравнения (5.51) и (5.52), получим после приведения подобных членов:

(5.53)

В результате упрощения уравнение (5.50) примет вид:

(5.54)

Выразим теперь радиус-вектор через и . По определению радиус-вектор центра тяжести (барицентра) системы Земля+Луна равен:

или

Так как , то

(5.55)

Первые два члена в (5.55) преобразуем следующим образом. Перепишем уравнение (3.63) для барицентра системы Земля+Луна:

- большая полуось орбиты системы Земля + Луна. Тогда

В результате получим:

(5.56)

И, наконец, член в уравнении (5.54) выразим через большую полуось орбиты Луны и параметр , воспользовавшись формулой (5.53). Для этого достаточно заменить на , на , на :

После простого преобразования находим:

(5.57)

Подставляя в (5.54) выражения (5.55), (5.56), (5.57), получим окончательное выражение:

   
(5.58)

Правая часть уравнения (5.58) есть сумма постоянного и переменных членов. Величина постоянного члена зависит от масс и параметров орбит тел солнечной системы. В настоящее время принятое МАС значение равно:

Максимальный по величине переменный член есть . Его появление обусловлено обращением Земли и Луны вокруг Солнца, следовательно, его амплитуда определяется параметрами орбиты системы Земля+Луна; периодичность изменения кратна году. Для оценки амплитуды используем уравнения (3.56), (3.57), (3.62). Тогда

где - среднее движение барицентра системы Земля+Луна, - эксцентриситет орбиты. Так как , то можно выразить через среднюю аномалию по формуле (3.69):

Подставляя численные значения , найдем

Таким образом амплитуда максимального релятивистского солнечного члена не превышает 2 мс; период равен одному году. Вклад Юпитера и Сатурна можно оценить аналогичным образом; он составляет и мкс, соответственно.

Для вычисления с ошибкой в несколько наносекунд необходимо использовать разложение на гармоники, включающее около 800 членов.

Проинтегрировав уравнение (5.58), перепишем (5.40) следующим образом:

(5.59)

В зависимости от выбора величины уравнение (5.59) выражает связь шкалы времени TT и одной из шкал координатного времени .

5.5.3. Барицентрическая и геоцентрическая небесные системы отсчета

Шкалы координатного времени TCG и TCB были введены резолюциями Генеральной Ассамблеи МАС в 1991 г. как временные координаты в системах отсчета с началом в центрах масс Земли и солнечной системы, соответственно. В резолюциях Генеральной Ассамблеи МАС в 2000 г. эти системы названы как геоцентрическая (GCRS) и барицентрическая (BCRS) небесные системы отсчета. Для обеспечения обработки астрометрических наблюдений с микросекундной точностью метрические тензоры, описывающие пространство-время солнечной системы, заданы с учетом членов до .

Координаты события в BCRS обозначаются как с временной координатой . Начало пространственных координат находится в барицентре солнечной системы, причем оси BCRS неподвижны относительно удаленных внегалактических радиоисточников. Потенциал солнечной системы определяется выражением:

в котором суммирование выполняется по всем телам.

Координаты события в GCRS обозначаются как с временной координатой . Начало пространственных координат находится в центре масс Земли, и оси GCRS не вращаются относительно удаленных внегалактических радиоисточников. Резолюции МАС 2000 г. рекомендуют представлять геопотенциал в виде:

где - потенциал Земли, выражаемый формулой (4.11) и - приливный потенциал. Заметим, что вклад приливов вносит в ход часов поправку порядка .

Так как наблюдения проводятся с Земли, то они являются событиями с координатами в GCRS. Оси GCRS фиксированы относительно квазаров, но сама геоцентрическая небесная система отсчета движется вокруг барицентра солнечной системы. В искривленном пространстве вектор в GCRS при параллельном переносе вдоль некоторого замкнутого контура не возвращается, в общем случае, в первоначальное положение относительно BCRS. Само явление изменения направления вектора называется геодезической прецессией и нутацией, хотя причины существенно отличаются от причин классической прецессии и нутации. В результате в преобразовании координат вектора из GCRS в BCRS появляются дополнительные члены, которые согласно стандартам МСВЗ 2000 г. должны быть учтены.

Угловая скорость геодезического вращения в эйнштейновской теории тяготения дается выражением:

где - скорость и ускорение центра Земли. Если предположить, что Земля движется по кеплеровской орбите в плоскости эклиптики , то геодезическое вращение происходит вокруг оси, перпендикулярной к эклиптике. Только -компонента угловой скорости отлична от нуля; используя выражения для скорости (3.62) и ускорения (3.64) при кеплеровском движении, получим:

где - среднее движение, - большая полуось и - эксцентриситет орбиты.

Угол геодезического поворота можно найти, проинтегрировав скорость по времени :

причем - это момент прохождения через перигей. Выражая через истинную аномалию и делая замену переменной на

получим:

Интегрирование дает:

Заменим истинную аномалию средней аномалией , воспользовавшись уравнением центра (3.70):

Тогда

В окончательном виде получим:

(5.60)

Средняя аномалия барицентра системы Земля+Луна равна средней аномалии Солнца, которая в стандартных обозначениях есть (стр.7.4). Поэтому, подставляя значения средних орбитальных элементов системы Земля+Луна, получим:

где измеряется в юлианских столетиях по 36525 суток от эпохи J2000.0, - начальное значение угла.

Если вековую часть геодезического вращения Земли назвать геодезической прецессией , а периодическую часть - геодезической нутацией , то

   
   
   

Угол измеряется вдоль эклиптики, и в результате геодезического вращения Земли изменения наклона эклиптики к экватору не происходит; поэтому .

В кинематической невращающейся системе ICRS геодезическое вращение Земли происходит навстречу классическому прецессионно-нутационному движению. Следовательно, поправки за геодезическую прецессию и нутацию должны быть вычтены из значений нутационных углов.



После определения систем отсчета BCRS и GCRS допустим, что в выражении (5.59). Тогда, по определению, . Математическое соотношение между шкалами времени определяется как

(5.61)
(5.62)

Так как , то

(5.63)

где символ обозначает усреднение по бесконечно большому промежутку времени, проводимому в геоцентре. Соотношения между TT и TCG, TCB и TDB определяются как

(5.64)

где .

Шкала TT отличается от шкалы TCG только линейным дрейфом, и на геоиде потенциал . Поэтому TT может быть названо координатным временем на геоиде. Шкала TT может рассматриваться как идеализированная шкала TAI.

Определение TT является строгим, так как задана метрика GCRS, следовательно, определена шкала TCG, и известна константа . Согласно резолюции A4 Генеральной Ассамблеи МАС 1991 г. "единица измерения TT выбирается таким образом, чтобы она согласовывалась с секундой СИ на геоиде".

Атомное время TAI может также считаться реализацией TCG, отличаясь лишь фиксированным смещением на начальный момент и линейным дрейфом.

Выбор параметра приводит к тому, что длительность секунды в BCRS приравнивается к длительности секунды в GCRS. При таком выборе величины астрономических постоянных не меняются. Однако из-за зависимости течения времени от положения наблюдателя шкалы времени TT и TCB имеют довольно большой линейный дрейф ( с/год) и периодические вариации ( мс).

В качестве второго варианта рассмотрим случай, когда . Тогда

(5.65)

Время было названо эфемеридным временем , которое служит аргументом при вычислении эфемерид DE405/LE405; несмотря на название . Эфемеридное время физически и математически эквивалентно TCB, отличаясь от TCB только линейным дрейфом и началом отсчета. Действительно из уравнений (5.64),(5.65) находим, что .

Из выражения (5.65) следует, что разность не превышает 2 мс. Линейное смещение двух шкал исключается при вычислении эфемерид соответствующим подбором параметра . Таким образом шкала близка к TDB, но . Отличие заключается в том, что при определении шкалы TDB не задана величина параметра , и, наоборот, при определении шкалы параметр автоматически вычисляется на основании принятой модели солнечной системы и времени интегрирования.

На основании этого в резолюции Генеральной Ассамблеи МАС 2000 г. записано: если разность вычисляется на основе эфемерид, в которых аргументом является время , более близкое к барицентрическому динамическому времени TDB, чем к TCB, то интеграл в (5.44) может быть вычислен как

В заключение приведем соотношения между различными шкалами времени:

   
   
(5.66)
(5.67)
(5.68)
(5.69)
   
(5.70)
(5.71)

где ,

   
   
   

Начальным моментом времени является 1 января 1977 г. Заметим, что разность моментов барицентрического координатного времени может быть заменена разностью моментов атомного времени. Ошибка вычисления разности собственного и координатного времени при этом будет порядка .

Для наглядности разности между шкалами времени показаны на рис. 5.12, причем величина периодических членов увеличена в 200 раз.

Рис. 5.12. Соотношение между шкалами времени

Если наблюдения проводятся с поверхности Земли, то процедура преобразования момента времени некоторого события из локальной топоцентрической системы координат в барицентрическую систему координат выглядит следующим образом. Напомним, что регистрация момента выполняется в шкале UTC.

  1. Используя уравнение (5.66), находим момент события в шкале TAI;
  2. из шкалы TAI переходим в шкалу TT (или TDT) (5.67);
  3. если используются эфемериды DE200/LE200, то необходимо вычислить момент события в шкале TDB согласно уравнению (5.68), для этого необходимо вычислить периодические члены и малые квазипериодические члены;
  4. если используются более новые эфемериды, то необходимо сначала перейти из шкалы TT в шкалу TCG, согласно (5.69);
  5. и наконец, используя (5.70), найти момент в шкале TCB;
  6. при использовании эфемерид DE405/LE405 необходимо использовать шкалу  (5.71).

Эфемериды DE200/LE200, DE405/LE405 и другие, построенные в Лаборатории реактивного движения (JPL) (США) можно найти на сайте JPL:
ftp://navigator.jpl.nasa.gov/pub/ephem/export/ascii/.



<< 5.4. Атомное время | Оглавление | 5.6. Пульсарная шкала времени >>

Публикации с ключевыми словами: астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени
Публикации со словами: астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени
См. также:
Все публикации на ту же тему >>

Мнения читателей [12]
Оценка: 3.5 [голосов: 294]
 
О рейтинге
Версия для печати Распечатать

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце


Астронет | Научная сеть | ГАИШ МГУ | Поиск по МГУ | О проекте | Авторам

Комментарии, вопросы? Пишите: info@astronet.ru или сюда

Rambler's Top100 Яндекс цитирования